變位鼓形齒輪中變位系數(shù)的分析與研究

張博　馬天福　孟楚凡

摘 要：文本主要對漸開線變位鼓形齒輪中的變位系數(shù)進(jìn)行分析與研究，闡述變位鼓形齒輪在加工過程中變位系數(shù)的一系列變化，從而推出含變位系數(shù)的漸開線坐標(biāo)方程和變位系數(shù)在鼓形齒輪中的函數(shù)關(guān)系，為機(jī)械傳動設(shè)計(jì)者提供參考。

關(guān)鍵詞：鼓形齒輪；變位系數(shù)；函數(shù)關(guān)系

中圖分類號：TH132.413 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-5168（2018）04-0062-03

Analysis and Research of Modification Coefficient in Drum Modified Gear

ZHANG Bo MA TianFu MENG Chufan

（Xian Huanghe Electro Mechanic Co， Ltd.，Xian Shaanxi 710043）

Abstract： In this paper， the modification coefficient of the involute drum modified gear was analyzed and studied， and a series of variation of the modification coefficient in the process of drum modified gear were described， and the change of the displacement coefficient was introduced. Thus launch of modification coefficient of involute coordinate equation and displacement coefficient function relation in the drum gear， provide a reference for mechanical designers.

Keywords： drum gear；modification coefficient；function relation

鼓形齒輪常用于齒輪連軸器，這類連軸器偏斜角一般為5°，而普通齒輪連軸器偏角僅為30?[1]。鼓齒輪對應(yīng)于普通圓柱齒輪，鼓形外齒齒頂不再是圓柱面，而是球面或圓弧面[2]（如圖1所示）。該齒輪在滾齒加工過程中，刀具沿著齒輪軸向按照圓弧軌跡加工齒輪，而這種加工方法會對齒輪中的變位系數(shù)產(chǎn)生一定的影響?；诖耍疚闹饕接懮鲜龇椒ㄊ侨绾斡绊懽兾幌禂?shù)的，其對齒輪其他參數(shù)有何影響。

1 漸開線齒輪的變位系數(shù)分析

根據(jù)機(jī)械原理，當(dāng)用標(biāo)準(zhǔn)齒條刀具加工齒輪時(shí)，若刀具分度線與輪坯的分度線相切時(shí)，加工出來的齒輪為標(biāo)準(zhǔn)齒輪[3]。以分度圓為基準(zhǔn)，若刀具分度線遠(yuǎn)離或靠近齒輪輪坯中心距離為xm時(shí)，所切制的齒輪稱為變位齒輪，其中m為齒輪模數(shù)，而x稱變位系數(shù)，遠(yuǎn)離x為正值，靠近x為負(fù)值。

如圖2所示，用標(biāo)準(zhǔn)齒條刀加工齒輪時(shí)，齒條插刀與輪坯的范成運(yùn)動相當(dāng)于齒輪與齒條的嚙合運(yùn)動[3]，直線

NP為漸開線齒輪傳動的嚙合線，P點(diǎn)是標(biāo)準(zhǔn)齒輪的嚙合點(diǎn)，當(dāng)齒條沿徑向線OP遠(yuǎn)離xm位移時(shí)，而嚙合線的位置總是不變[3]，所以嚙合點(diǎn)由原來的P點(diǎn)沿嚙合線移到K點(diǎn)，根據(jù)上述幾何圖可得：

[PK=xmsinα] （1）

其中，[α]為壓力角。從式（1）中可以看出，嚙合點(diǎn)K的位置隨x的值變化而變化，當(dāng)x=0時(shí)，K點(diǎn)和P點(diǎn)重合。

在加工過程中，齒廓上的漸開線部分都是在齒輪嚙合點(diǎn)上被切制而成，根據(jù)這一點(diǎn)，可以將齒輪嚙合線看作是漸開線的發(fā)生線，回到漸開線的形成過程來研究漸開線方程。如圖2和圖3所示，P點(diǎn)和K點(diǎn)分別是標(biāo)準(zhǔn)齒輪和變位齒輪的嚙合點(diǎn)，同時(shí)也是漸開線形成的軌跡點(diǎn)。

由機(jī)械原理可得P點(diǎn)漸開線的坐標(biāo)方程[3]：

[x=rbsinu-rbucosuy=rbcosu+rbusinu] （2）

其中，u為弧度制，[rbu=NP]，由于[NK=NP+PK]，再根據(jù)式（1）可得：

[NK=rbu+XMsina] （3）

根據(jù)式（2）和式（3）可寫出K點(diǎn)的漸開線方程：

[x=rbsinu-rbu+XMcosuy=rbcosu+rbu+XMsinu] （4）

再將u弧度制轉(zhuǎn)換為角度制時(shí)，K點(diǎn)漸開線的坐標(biāo)方程為：

[x=rbsinu-rbuπ/180+XMsinαcosuy=rbcosu+rbuπ/180+XMsinαsinu] （5）

由于K點(diǎn)是變位齒輪的嚙合點(diǎn)，那么式（5）就是含變位系數(shù)的漸開線坐標(biāo)方程。

將所建立的含變位系數(shù)的漸開線坐標(biāo)方程輸入ProE軟件中進(jìn)行三維建模對比，其中，模數(shù)m為2，齒數(shù)Z為8，變位系數(shù)從0變到0.3，所生成模型如圖4所示。

分析模型可知，在變位系數(shù)增大的過程中，含變位系數(shù)的漸開線齒輪齒廓沿其法線逐漸向外偏移，單邊偏移量為[XMsinα]，而齒頂圓和齒根圓也隨變位系數(shù)的增大而擴(kuò)大，其擴(kuò)大量為2xm。變位系數(shù)越大，齒輪的齒頂厚Se越小，為了保證齒輪的齒頂強(qiáng)度，一般要求[Se≥0.25-0.4m]。

2 鼓形齒加工過程中變位系數(shù)分析

鼓齒輪徑向截面的半徑長度是按照圓弧均勻變化的，加工鼓形齒時(shí)，刀具的運(yùn)動軌跡是沿齒輪中心作圓弧曲線（如圖5所示）。當(dāng)?shù)毒哌h(yuǎn)離齒輪中心時(shí)，所切制的齒輪為變位齒輪，變位量xm隨圓弧曲線逐漸變化的過程中，變位系數(shù)先逐漸變大再逐漸變小。變位系數(shù)的大小與圓弧半徑R和齒寬B有一定關(guān)系，接下來我們分析和研究這些關(guān)系。

如圖6所示，R為鼓齒輪齒頂圓弧半徑，B為齒輪齒寬，β為圓弧圓心角，以圓弧兩端點(diǎn)中心為坐標(biāo)，可得圓弧的曲線方程為：

[z=Rsinβ2t-1/2 0≤t≤1y=Rcosβ2t-1/2-Rcosβ/20≤t≤1 ] （6）

從圖6可得：[sinβ/2=B/2R] （7）

參數(shù)t從0變到1，角變量[β2t-1/2]從[-β/2]變到[β/2]，從（6）方程組可以看出：切制鼓形齒輪的刀具可繞圓弧中心運(yùn)動加工鼓形齒。

變位齒輪的變位量xm是刀具遠(yuǎn)離中心軸的位移量，在鼓齒輪中這種位移量隨圓弧y軸的變化而變化，其位移量的變化量為dxm，那么根據(jù)式（6）可得出：

[y=dxm=Rcosβ2t-1/2-Rcosβ/2] （8）

當(dāng)變位齒輪不發(fā)生根切時(shí)，變位系數(shù)[x0≤Zmin-Z/Zmin]，那么在鼓齒輪中的變位系數(shù)是：

[X=X0+dx] （9）

其中，[X0]是常量，[dx]是變量，將公式（8）代入變位系數(shù)公式中可得：

[X=X0+Rcosβ2t-1/2-Rcosβ/2/m] （10）

從式（10）可以看出鼓齒輪中的變位系數(shù)隨角變量[β2t-1]的變化而變化，角變量為某一定值時(shí)此處的變位系數(shù)為一定值。

在實(shí)際應(yīng)用中，很難通過測量角變量來確定此處變位系數(shù)值，而通過測量齒輪軸向位移量比較容易得到測量值，為此將式（6）的角變量轉(zhuǎn)化為沿z軸的位移變量。

由式（6）的z軸已知：

-B/2[≤Rsin][β2t-1/2≤B/2] （11）

式（11）同除于B/2得：

[-1≤2Rsinβ2t-1/2/B≤1] （12）

令[V=2Rsinβ2t-1/2]，[-1≤V≤1]可得：

[sinβ2t-1/2=BV/2R] （13）

那么：

[cosβ2t-1/2=4R2-B2V2/2R] （14）

將[V=2Rsinβ2t-1/2]，[-1≤V≤1]代入（6）式得沿z軸的位移變量的圓弧坐標(biāo)方程：

[z=BV/2 -1≤V≤1y=4R2-B2V2-4R2-B2/2 -1≤V≤1] （15）

從式（15）可以看出：[zV]為直線函數(shù)，[yV]為橢圓函數(shù)，從而可知：切制鼓形齒輪的刀具可以為沿z軸直線運(yùn)動和沿y軸橢圓運(yùn)動的組合。

將（15）的[yV]函數(shù)代入式（9）可得沿齒輪軸向位移變化的變位系數(shù)函數(shù)式：

[x=x0+4R2-B2V2-4R2-B2/2m -1≤V≤1] （16）

根據(jù)式（16）可得到鼓形齒輪齒頂圓和齒根圓的公式：

齒頂圓：

[da=d+2ha*+xVm] （17）

齒根圓：

[df=d-2ha*+Xc-XVm] （18）

3 結(jié)語

在設(shè)計(jì)小齒數(shù)變位鼓形齒輪時(shí)，既要考慮變位系數(shù)的取值，還要考慮變位系數(shù)隨鼓形量的變化，變位系數(shù)變化過大，齒輪齒形變化越大，就會降低齒輪強(qiáng)度和重合度，會影響齒輪的穩(wěn)定性；當(dāng)變位系數(shù)變化過小，齒輪齒形鼓向量隨之減小，從而影響連軸器偏斜角，降低連軸器的使用性能。所以，在設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)在合理范圍內(nèi)選取變位系數(shù)的值。

參考文獻(xiàn)：

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