一類反應(yīng)擴(kuò)散方程的行波解

周小燕 胡萍 梁青青

摘 要：? 用試探函數(shù)法求得一類反應(yīng)擴(kuò)散方程的反應(yīng)擴(kuò)散方程通解，驗(yàn)證當(dāng)參數(shù) m =1時(shí)解的正確性，得到連接不同平衡點(diǎn)的異宿軌道.可以把該解法推廣到高維反應(yīng)擴(kuò)散方程中.

關(guān)鍵詞： 反應(yīng)擴(kuò)散方程; 行波解;平衡點(diǎn);異宿軌道

[中圖分類號(hào)]O415?? [文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

Travelling Wave Solutions to a Kind of Reaction-diffusion Equations

ZHOU Xiao-yan，?? HU-Ping?? LIANG? Qing-qing

（Lan Zhou University of arts and science?? ，Lanzhou 730070，China）

Abstract： By using the trial? function method， we obtained the general solutions of reaction diffusion equations， And obtained the heteroclinic orbit of connecting? to a different equilibrium point.The results show that it is righted when the parameter m=1， It is shown that the method? can also be used to solve high-dimensional nonlinear reaction diffusion equations.

Key words： Reaction-diffusion? equations; travelling? wave? solutions ; equilibrium point;heteroclinic orbit

非線性科學(xué)是目前科學(xué)研究的熱點(diǎn)問題之一，求解非線性偏微分方程，也是數(shù)學(xué)和物理學(xué)家研究的重要內(nèi)容.研究人員提出了很多方法，構(gòu)造非線性方程精確解，如齊次平衡法[1]、反散射法、雙曲正切函數(shù)展開法[2-5]、Darboux變換法、試探函數(shù)法[6]、Hirota雙線性法、Sine-Gonsine法[7]、齊次平衡法、輔疊加法[8]、輔助常微分方程法[9]和雙函數(shù)法[10-11]，但由于問題的復(fù)雜性，至今尚無統(tǒng)一的方法，能夠得到精確解的方程也是鳳毛麟角.因此，本文用試探函數(shù)法，解出一類反應(yīng)擴(kuò)散方程的行波解的通解，分析不同情況下解的形式并驗(yàn)證.

1 反應(yīng)擴(kuò)散方程及行波變換

反應(yīng)擴(kuò)散方程（1）中，ν，k分別為擴(kuò)散系數(shù)和反應(yīng)系數(shù)且ν>0，k>0.

（13）式恰好是方程（10）當(dāng)m=1的情況，說明方程（10）的正確性.即方程（10）就是連接鞍點(diǎn)（u*，P*）=（1，0）和結(jié)點(diǎn)（u*，P*）=（0，0）的異宿軌道，且 m 為任意值時(shí)都成立.至此，利用試探函數(shù)法解出了方程（1）的行波解的通解，并驗(yàn)證了當(dāng) m =1時(shí)結(jié)論的正確性.從而可知方程（10）就是方程（1）的通解.解對(duì)這類方程有一定的指導(dǎo)意義.

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