一類非經(jīng)典邏輯“否定”概念解析

張君

摘 要：否定是邏輯的基本概念之一，大部分的邏輯都將否定作為初始概念。但是不同邏輯中的否定確有著不同的意義，比如經(jīng)典邏輯、直覺主義邏輯、相干邏輯、弗協(xié)調(diào)邏輯等對否定的理解就不同。我們說這些否定不同，是因為否定在這些邏輯中具備否定的特性，又有不同的性質(zhì)，所以我們統(tǒng)稱為否定。

關(guān)鍵詞：弗協(xié)調(diào)邏輯；相干邏輯；直覺主義邏輯

一、弗協(xié)調(diào)邏輯否定

對矛盾的邏輯描述不能不使用否定詞，或者說否定詞和各類矛盾都有著天然的聯(lián)系。弗協(xié)調(diào)否定在其邏輯系統(tǒng)中引入了一種比經(jīng)典邏輯稍弱的弗協(xié)調(diào)否定。邏輯學(xué)家達.科斯塔建立的邏輯系統(tǒng)是被人們研究最多的弗協(xié)調(diào)邏輯系統(tǒng)。在語法連接詞中有兩種否定詞：一種是經(jīng)典意義的否定詞“～”，一種是弗協(xié)調(diào)意義的否定詞“?”。因為否定詞的區(qū)別，兩類矛盾在邏輯語法上有了明顯的區(qū)別。前一種矛盾是建立在經(jīng)典否定基礎(chǔ)上的經(jīng)典矛盾，后一種矛盾是建立在弗協(xié)調(diào)否定基礎(chǔ)上的弗協(xié)調(diào)否定矛盾。兩種否定在邏輯語義上有明顯的差別：

關(guān)于“～”的賦值定義1：V（?A）=1 ?=? V（A）=0

關(guān)于“?”的賦值定義2：V（A）=0 =? V（?A）=1；

V（??A）=1 =? V（A）=1

由以上賦值可知，兩種否定都是二值的；并且由賦值定義1可知，連接詞“～”的邏輯特征是：若～A為真，則A為假；若A為真，則～A為假。由賦值二的定義可知，連接詞“?”的邏輯特征是：若A為假，則?A為真。但若A為真，則?A可真可假；并且??A為真，則A為真；若??A為假，則A可真可假。在這樣的賦值定義下A和～A不能同時為真，但A和?A可以同時為真。綜上所述，雖然都是否定詞但兩者的邏輯語義不同。

弗協(xié)調(diào)邏輯否定的出發(fā)點是對經(jīng)典邏輯矛盾普遍有效性的懷疑，弗協(xié)調(diào)邏輯的思想是包容矛盾、限制矛盾。弗協(xié)調(diào)邏輯否定刻畫了對立統(tǒng)一關(guān)系，是一種辯證否定的觀點。

二、相干邏輯否定

經(jīng)典邏輯采用二值語義，其否定“?”的定義是：?p真，當(dāng)且僅當(dāng)p假，即如果p真那么?p假，并且如果p假那么?p真。相干邏輯中的相干原理是說，如果A→B是相干邏輯的原理，那么A與B至少有一個共同的命變元，這樣顯然會把一大批經(jīng)典邏輯的規(guī)律排除在外，而在形式語義上就必須對連接詞，主要是對否定做出不同的解釋。

在情境中使用的否定是相干否定。相干邏輯的克里普克關(guān)系語義中，為了處理否定，專門為每一個狀態(tài)x配一個狀態(tài)x*（x*是x經(jīng)過運算所得到的結(jié)果）：?A在給定狀態(tài)x下為真，當(dāng)且僅當(dāng)A在狀態(tài)x*下不真，即

1、x╞?A當(dāng)且僅當(dāng)x*╞A，相干邏輯中的狀態(tài)不同于可能世界，狀態(tài)可以是不完備或者不協(xié)調(diào)的。狀態(tài)x不完備，則x╞A并不保證x╞?A，因為x可能關(guān)于A“什么也沒說”，既不肯定，也不否定。狀態(tài)x不協(xié)調(diào)，則允許有x╞A且x ╞?A，x既肯定A又否定A。由于不能只根據(jù)是否有x╞A來決定是否有x╞?A，相干邏輯引入狀態(tài)之間的相容關(guān)系C。xCy表示y與x相容，從而關(guān)于否定的語義條件又可敘述如下：

2、x╞?A，當(dāng)且僅當(dāng)，對每一個使得xCy成立的y都有y╞A。也就是說，x否定A，當(dāng)且僅當(dāng)，不存在與x相容的狀態(tài)肯定A，即x完全“排除A”。當(dāng)C具有對稱性、有向性和收斂性這些性質(zhì)時，定義1和2就是等價的?？梢?，星運算相應(yīng)于具有以上三種性質(zhì)的相容關(guān)系，用星運算處理否定只是用相容關(guān)系處理否定的一個特殊情形。

三、直覺主義邏輯否定

直覺主義的否定詞確實是一個與經(jīng)典邏輯不同的否定詞。直覺主義的否定不能與經(jīng)典否定來比較強弱，強調(diào)直覺主義的東西與經(jīng)典的東西不可比，從經(jīng)典邏輯角度來理解直覺主義邏輯是直覺主義者不能接受的，但對于經(jīng)典邏輯而言理解直覺主義的?A→A就是在經(jīng)典的假設(shè)下強調(diào)構(gòu)造性。從這個角度看?A→～A成立，～A→?A不成立，即存在不一定是構(gòu)造的，但構(gòu)造一定是存在的。

直覺主義是不接受經(jīng)典否定詞的，所以他們構(gòu)造的形式系統(tǒng)只有一個否定詞，但僅含有一個非經(jīng)典否定詞的系統(tǒng)存在缺陷，真正符合直覺主義精神的形式系統(tǒng)應(yīng)該包含有兩個否定詞，即使將否定作為虛擬的也好，然后我們可以將系統(tǒng)內(nèi)含有否定詞的定理分為三類：1、僅含直覺主義否定的；2、僅含經(jīng)典否定的；3、既含經(jīng)典否定又含直覺主義否定的。一是作為直覺主義的推理規(guī)則；二是作為經(jīng)典的推理規(guī)則；三是從經(jīng)典否定角度來理解直覺主義否定的推理規(guī)則。

直覺主義否定只有在通過一個類似語義上升到元語言的過程才能被理解，要想在一個系統(tǒng)中斷定一個語句的否定必須引入元語言，否定存在的前提是封閉類。??A→A和A→??A從邏輯上是不可解決的，它們不是邏輯規(guī)則，因此不能按照一般證成邏輯規(guī)則的方法證明它，所以直覺主義否定的邏輯規(guī)則面臨著兩難的境地。

我們說經(jīng)典邏輯中的否定大致對應(yīng)于自然語言中的“不”、“并非”，而直覺主義邏輯中的否定則是“永遠不會”，或者說是“不可能”。從這個角度來看，直覺主義邏輯中的否定其實比經(jīng)典邏輯中的否定要強。

（作者單位：中央財經(jīng)大學(xué)文化與傳媒學(xué)院）