基于數(shù)學建模的城市表層土壤重金屬污染淺析

何雨森，李驊錦，蘆 慧，王玉蘭，魏友華

（成都理工大學，成都 610059）

0 前言

近年來，城市人口不斷加劇，城市經(jīng)濟快速發(fā)展，隨之產(chǎn)生的便是日益加劇的土壤地質(zhì)環(huán)境污染問題，而導致土壤污染的原因主要歸結(jié)于地質(zhì)活動和人類活動。在現(xiàn)代相當多的關于重金屬表層土壤污染物的前沿研究當中，運用數(shù)學模型（如對流模型，熱傳導方程模型等）針對動態(tài)擴散污染物，并基于GIS等計算機軟件模擬傳播過程并使之可視化的技術(shù)日趨成熟。作者在本文對于城市表層土壤重金屬污染問題的探究，主要根據(jù)表層土壤（0cm～10cm）的采樣數(shù)據(jù)，重點分析解決人類活動對城市環(huán)境質(zhì)量的突出影響。

1 基于克里格插值的重金屬污染空間分析

克里格方法［1］（Kriging）公式可表示為式（1）。

式中Z（x0）為未知樣點的值；Z（xj）為未知樣點周圍已知樣本點的值；ωj為第j個已知樣本點對未知樣本點的權(quán)重；n為已知樣本點的個數(shù)。同時，作者引入了變差函數(shù)，來對目標函數(shù)賦予權(quán)重：

由此，根據(jù)該模型進行插值，可擬合出重金屬元素的空間分布圖。其流程圖見下頁圖1。

首先，將數(shù)據(jù)單位進行統(tǒng)一，均以微克（μg）作為測量單位。隨后，利用克里格插值法加密數(shù)據(jù)點，以得到八種重金屬的空間分布圖，見下頁圖2。在圖2中，橫坐標、縱坐標為城市中各個功能區(qū)的位置，豎坐標為各個元素在該位置的含量。

2 評價模型建立

2.1 單因子污染指數(shù)法建立評價指數(shù)模型

參照重金屬元素的背景值以及《中國土壤環(huán)境質(zhì)量標準》（GB15618－1995）［2］，得到了各種金屬的分級臨界值：

Xa（一級標準的最高值）。

Xc（二級標準的最高值）。

Xp（三級標準的最高值）。

作者采用單因子評價法［3］，建立重金屬污染評價指數(shù)模型見公式（2）。

對比標準得到了各個區(qū)域的各種重金屬的污染指數(shù)評級。結(jié)果如表1所示（見下頁）。

由于部份重金屬的含量存在極端情況，為了更嚴格地確定重金屬污染程度，作者在此采用單指標最差原則［4］，工業(yè)區(qū)的Hg、Cu指標已接近0.5，交通區(qū)的Cd、Cu、Zn 指標也已接近0.5，占絕大比重。因此，針對工業(yè)區(qū)和交通區(qū)，我們修正的結(jié)果如表2所示（見下頁）。

表1 各區(qū)域的各種重金屬的污染指數(shù)評級Tab.1 The regional various heavy metal pollution index rating

表2 修訂后該城區(qū)不同區(qū)域重金屬污染級別Tab.2 Revised heavy metal pollution level in different region

2.2 各重金屬元素含量對區(qū)域污染程度的隸屬度評價

為了得到該城區(qū)中各個重金屬污染元素對土壤的綜合影響，對于每一個重金屬元素，需分別計算出每個功能區(qū)的相應因素，對于各個等級的隸屬度，其步驟大致如下：

（1）建立因子集U＝｛As、Cd、Cr、Cu、Hg、Ni、Pb、Zn｝。

（2）計算每種金屬的隸屬度函數(shù)為式（3）。

通過分析表3中的數(shù)據(jù)可以得出：

（1）生活區(qū)主要的污染因素為Pb、Cu。

（2）工業(yè)區(qū)主要污染因素為Cu、Hg、Pb、Zn。

（3）山區(qū)均符合標準。

（4）交通區(qū)主要污染因素為Cr、Pb。

（5）公園綠地區(qū)主要污染因素為Cd、Pb、Cu、Hg。

2.3 因子的灰色關聯(lián)分析

如果重金屬之間存在顯著關聯(lián)，則其來源可能相同，否則來源可能不止一個。為此，作者建立了關聯(lián)度模型［5］，研究各個污染物因子之間的關聯(lián)性。

令ZBi為第i個重金屬元素，則有：ZBi、ZB0在第k類地區(qū)的關聯(lián)系數(shù)，如公式（4）。

其中 △i（k）＝｜xki－xoi｜，（i＝1，2，…，m；k＝1，2，…，n）；a＝min△i（k）；b＝max。

ZBi與ZB0的總體關聯(lián)度為：

從而得到不同功能區(qū)各個重金屬元素的關聯(lián)度系數(shù)。作者以Zn在各個區(qū)域和其它金屬元素的關聯(lián)度為例，結(jié)果見下頁表4。

經(jīng)過關聯(lián)度分析，最終得出該城區(qū)各功能區(qū)重金屬污染均與工業(yè)污染有關，且各個重金屬元素之間有很強的關聯(lián)性。因此，該城區(qū)工業(yè)污染相對嚴重。

3 模擬污染物的傳播及確定污染物的位置

3.1 基于熱傳導方程的傳播過程模擬

經(jīng)查詢文獻發(fā)現(xiàn)，在平面上重金屬污染物的傳播和平面上熱傳導過程有相似性［6］，故利用熱傳導過程的方法與思路模擬其傳播過程。

2.2 兩組患者治療前后胎兒生長指標比較 治療前，兩組患者孕20周時胎兒BPD及FL比較，差異無統(tǒng)計學意義(P>0.05)；治療后，用藥8周后胎兒BPD及FL顯著高于治療前(P<0.05)，且治療組明顯高于對照組(P<0.05)。見表2。

首先假設在某一個小區(qū)域內(nèi)僅有一個污染點“0”，在污染源處的濃度會很高，即為濃度的唯一極值點。此點類似于熱傳導模型中的點熱源，周圍區(qū)域的含量大小也類似于點熱源周圍的受熱程度。

傳統(tǒng)的熱傳導方程公式［7］如公式（5）。

3.2 差分法網(wǎng)格化

熱傳導方程是典型的偏微分方程，通過偏微分方程數(shù)值解中的差分法，可以設計疊代算法程序計算每種重金屬在城區(qū)的分布。首先，根據(jù)實際情況設定邊界、初始條件；然后，離散化方程；最后，在程序上計算得到一系列在設定的坐標系下網(wǎng)格結(jié)點處的值，即為重金屬元素的濃度值。

表3 八種重金屬元素對于五個功能區(qū)污染狀況隸屬度Tab.3 Degree of membership of 8kinds of heavy metals on 5functional areas pollution

表4 Zn在各個功能區(qū)與其它金屬的關聯(lián)度Tab.4 Association between Zn and other metal element in various functional areas

3.3 模擬退火算法找到污染源

通過差分法，已經(jīng)基本得到了各種元素在城區(qū)空間的靜態(tài)分布狀況，接下來就是尋找污染源。作者運用模擬退火算法，通過構(gòu)建模型尋找各種重金屬元素濃度的最高值，來確定污染源的位置。

在使用退火算法的過程當中，默認每次迭代得到的極大值即為最優(yōu)解。

退火系統(tǒng)在早期允許差解存在，存在概率為P，這個概率會越來越小。由于目標是要找到最優(yōu)解，所以系統(tǒng)后期基本不接受差解，可以用公式（6）來表示。

為了尋找最優(yōu)解，對每種重金屬元素的數(shù)據(jù)進行十次測試，取十次運算的最佳值作為這組數(shù)據(jù)的實驗結(jié)果。利用Matlab軟件，按照上述算法編程實現(xiàn)，最終得到每種元素在該城區(qū)內(nèi)極大值點的坐標，見后面表5。

3.4 結(jié)果驗證分析

為了提高模型的科學性、準確性，需要對模擬結(jié)果進行驗證。作者將各種金屬的模擬來源位置與城市區(qū)域圖進行疊加，如圖4所示（見下頁）。

通過觀察表5可知，As與Cu、Cr與Ni、Zn來源于同一位置，且這八種元素的位置距離較近。結(jié)合數(shù)據(jù)，極大值坐標位于（6，8）的有As、Cd、Cu，它們的污染源位置主要在工業(yè)區(qū)；而極大值坐標位于（9，22）的有Cr、Hg、Ni、Zn，它們的污染源位置主要在交通區(qū)；極大值坐標位于（16）的即Pb，它的污染源位置在生活區(qū)。

結(jié)合關聯(lián)度模型，可知各種重金屬元素具有很強的關聯(lián)性，可能是由于同一污染源所致。并且，通過對關聯(lián)度模型中污染主要原因分析可知，該城區(qū)主要受工業(yè)污染的干擾導致土壤質(zhì)量不斷惡化?？梢酝茢?，該城區(qū)污染源的位置在坐標（1647＊895～6534＊6018）這一片區(qū)域內(nèi)，且主要由坐標（1647，2728）和坐標（2383，3692）這兩地的工業(yè)區(qū)所致。因此坐標（1647，2728）和坐標（2383，3692）這兩地為該城區(qū)污染源的位置。

圖3 模擬退火模型的基本算法Fig.3 Basic algorithms of simulated annealing module

圖4 各種金屬的模擬來源位置與城市區(qū)域疊加圖Fig.4 Layout chart combined with urban area and location of simulated source of various metal element

表5 每種重金屬元素在該城區(qū)內(nèi)極大值點坐標Tab.5 Maximum point coordination of each kind of heavy metal element in the area

4 結(jié)論

綜上所述，作者所使用的方法以及所獲得的結(jié)論，可以為其它城市重金屬表層土壤污染相關的研究與分析提供參考。

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［2］百度百科.土壤環(huán)境質(zhì)量標準.http：／／baike.baidu.com／view／1738501.htm.2011.

［3］王芬，彭國照，蔣錦剛.基于雙層組合神經(jīng)網(wǎng)絡的川芎道地產(chǎn)區(qū)土壤重金屬污染評價與GIS可視化［J］.成都信息工程學院資源環(huán)境學院學報，2010（3）：75.

［4］段雪梅，蔡煥興，巢文軍.南京市表層土壤重金屬污染特征及污染來源［J］.南京市環(huán)境科學與管理學報，2010（10）：31.

［5］劉光廷，邱德隆.三維熱傳導問題的間接邊界元法［J］.清華大學學報：自然科學版，2010（36）：8.

［6］王學賀.離散正則方法在一維熱傳導方程尋源反問題中的應用［J］.燕山大學學報，2008（32）：88.

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