基于穩(wěn)健統(tǒng)計學(xué)和EDA 技術(shù)的地球化學(xué)異常下限確定

Nguyen Tien Thanh ，劉修國 ，陳春亮 ，任 澤，Dang Thai Son

（1.中國地質(zhì)大學(xué) 國際教育學(xué)院，武漢 430074；2.河內(nèi)礦業(yè)與地質(zhì)大學(xué)，越南 河內(nèi) 130510；3.中國地質(zhì)大學(xué) 信息工程學(xué)院，武漢 430074；4.中國地質(zhì)大學(xué) 研究生院，武漢 430074；5.越南地質(zhì)與礦產(chǎn)總局，越南 河內(nèi) 130510）

0 前言

地球化學(xué)異常下限的確定是地球化學(xué)勘查的一個基本問題。二十世紀(jì)五十年代以來，地球化學(xué)家基本認(rèn)為，地球化學(xué)場中的分布接近正態(tài)分布或者對數(shù)正態(tài)分布［1、2、4～9］。因此，使用傳統(tǒng)統(tǒng)計方法確定地球化學(xué)異常下限時，首先要仔細(xì)研究地球化學(xué)數(shù)據(jù)，檢驗其是否服從正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布。為什么數(shù)據(jù)的分布情況對數(shù)據(jù)處理有這么重要的影響？因為在傳統(tǒng)的統(tǒng)計方法中，相關(guān)分析、因子分析、判別分析和經(jīng)典統(tǒng)計檢驗包括概率的計算，都是數(shù)據(jù)在服從正態(tài)分布假設(shè)的前提下進(jìn)行的［3］。很多與地球化學(xué)相關(guān)的文獻(xiàn)，都表明地球化學(xué)數(shù)據(jù)往往服從對數(shù)正態(tài)分布［4～7］。但新的研究表明，元素在地質(zhì)體中的含量分布，并不局限于正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布［2、8、9］，所以數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換［10～13］（如取對數(shù)、余弦、平方根等）和明顯特異值（特高值和特低值）的剔除，直到數(shù)據(jù)服從正態(tài)或?qū)?shù)正態(tài)分布為止［1、2、9、13］，是兩個簡單的解決方案。先計 算數(shù)據(jù)的平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差，然后對全部數(shù)據(jù)進(jìn)行異常篩選和評價，一般是以平均值與二倍標(biāo)準(zhǔn)偏差之和作為地球化學(xué)異常下限。關(guān)鍵問題是數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換并不能使數(shù)據(jù)更接近正態(tài)分布［14］，忽略這一點，可能會導(dǎo)致錯誤的結(jié)果。至于明顯異常點的剔除，數(shù)據(jù)處理的最終目的是確定異常點，剔除異常數(shù)據(jù)之前該如何確定哪些點是異常數(shù)據(jù)，哪些點不是？這種做法有三種弊?。?5、16］：

（1）在很多情況下，尤其在多元情況下，一點不容易被檢視數(shù)據(jù)所鑒別。這是因為在多元情況下，許多點只有在考慮不同變量之間的關(guān)系時才顯出異常。

（2）剔除異常點的做法，不能保證清理后的數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布或方法所要求的某種分布。

（3）從技術(shù)的角度來看，對現(xiàn)代社會中自動化觀測所積累的大量多元數(shù)據(jù)，用人工檢視來剔除異常點不僅太耗工時，而且不能保證應(yīng)有的精度和一致性。

此外，傳統(tǒng)的統(tǒng)計方法對所研究的總體的分布形式或其它特性有一些假設(shè)。當(dāng)實際總體不滿足這些假設(shè)，或觀測數(shù)據(jù)中包含不能代表總體性的異常點時，運用傳統(tǒng)的統(tǒng)計方法就遇到了問題。應(yīng)用傳統(tǒng)方法有可能導(dǎo)致錯誤的結(jié)果，而且這類錯誤還往往不容易被覺察。鑒于傳統(tǒng)方法的缺陷性，許多其它方法被采用來確定地球化學(xué)異常，如楊大歡［9］提出的含量排列法，成功地對廣東始興地區(qū)化探數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理；姚濤［10］以甘肅省白銀市白銀礦區(qū)及外圍水系沉積物Cu、Pb、Zn、Ag等四個元素為例，將通過歸一化法與其它方法進(jìn)行比較發(fā)現(xiàn)了更多的異常，并且與礦化集中區(qū)吻合較好；史長義［17］提出了子區(qū)中位數(shù)襯值濾波法，該法采用子區(qū)模擬背景場的空間變異，以EDA 技術(shù)計算異常臨界值，以襯值為基準(zhǔn)度量場值的起伏變化，較好地解決了弱小異常的識別問題；李隨民［18］利用趨勢面分析方法把元素的空間分布分解為整體趨勢和局部異常兩部份，將局部異常從整體中分離了出來；黃靜寧［19］對滇東三個不同勘查尺度的水系沉積物地球化學(xué)數(shù)據(jù)，采用地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)方法圈定和評價地球化學(xué)異常；尤其是Qiuming Cheng［20］提出了含量～面積模式，首次將分形引入地球化學(xué)異常的判別，并且在加拿大取得了成功，在中國也引起了很大的轟動。目前該方法國際上應(yīng)用比較多［21］，也是全國礦產(chǎn)資源潛力評價的推薦方法。

本研究作者介紹了穩(wěn)健統(tǒng)計方法，該方法具有“穩(wěn)健”的特點，不太受異常點的影響，并且在EDA技術(shù)的支持下來確定地球化學(xué)異常下限。以一個具體的地區(qū)為例，該方法圈定的地球化學(xué)異常符合客觀實際，異常范圍大，與已知礦床（點）吻合很好。

1 地球化學(xué)異常下限的確定

1.1 基于傳統(tǒng)統(tǒng)計方法的異常下限確定

傳統(tǒng)的統(tǒng)計方法都是以數(shù)據(jù)要服從正態(tài)分布的假設(shè)前提下展開的，因此，在化探數(shù)據(jù)處理之前，首先要認(rèn)真地研究數(shù)據(jù)分布。數(shù)據(jù)是否來自正態(tài)總體的檢驗是至關(guān)重要的，正態(tài)分布檢驗是一個不可缺少的步驟?，F(xiàn)有很多正態(tài)分布檢驗方法，可以分成圖示法和計算法等三類。

（1）圖 示 法 是EDA 技 術(shù)［22、23］提 供 的 圖 形 工具，能夠一目了然地看出來數(shù)據(jù)的分布情況。①簡單的直方圖是：通過判斷是否以鐘型分布，箱線圖側(cè)觀察矩形位置和中位數(shù)，若矩形位于中間位置且中位數(shù)位于矩形的中間位置，則分布較為對稱，否則是偏態(tài)分布；②莖葉圖是通過觀察圖形的分布狀態(tài)，是否是對稱分布，使用正態(tài)概率圖（p－p圖和q－q圖）判斷樣本點是否圍繞第一象限的對角線分布，如果是，就視為數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布。圖示法比較直觀，方法簡單，從圖中可以直接判斷，無需計算，但這種方法效率不是很高，它所提供的信息只是正態(tài)性檢驗的重要補充。結(jié)合直方圖、密度圖、箱圖、一維分散點圖和累積分布函數(shù)圖，能直觀地顯示出數(shù)據(jù)的的分布情況。

（2）計算法包括穩(wěn)健統(tǒng)計技術(shù)和非參數(shù)方法。最常 用 的 是Kolmogrov－Smirnov 檢 驗 法［24、25］，Chi－squareχ2擬合檢驗法［26］和Shapiro－Wilk檢驗法［27］。這些方法的原理是兩個已知分布的樣品和未知分布的樣品進(jìn)行比較，計算之后的p值＞0.05，則接受數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布的假設(shè)。

（3）第三類是偏度、峰度檢驗法。常用的有S、K 的極限分布，以及Jarque－Bera檢驗。偏度和峰度都接近“0”，就可以認(rèn)為該地球化學(xué)元素近似服從正態(tài)分布［22］。但此類方法的計算結(jié)果易受異常值的影響，檢驗功效就會降低。在實際工作中，可以把多種檢驗方法結(jié)合起來，效果就會更好。

通常認(rèn)為常量元素接近正態(tài)分布，而微量元素接近于對數(shù)正態(tài)分布。在實際工作中，沒有數(shù)據(jù)完全服從正態(tài)分布或者對數(shù)正態(tài)分布，所以要對原始數(shù)據(jù)做預(yù)處理。通過平均值的計算（mean），再加二倍的標(biāo)準(zhǔn)偏差（sdev），可以得到異常下限（T）。步驟如下：

步驟1：

步驟2：

步驟3：

其中 mean為元素含量的平均值；xi為各樣品中某元素含量；n為參加計算的樣品數(shù)；T為異常下限；sdev為標(biāo)準(zhǔn)偏差。

當(dāng)?shù)厍蚧瘜W(xué)數(shù)據(jù)服從對數(shù)正態(tài)分布時，先要將原始數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為對數(shù)；再以含量對數(shù)值計算背景上限（背景上限值）或異常下限；最后根據(jù)計算值查其真數(shù)即得原始數(shù)據(jù)的異常下限［11］。

1.2 基于EDA 技術(shù)和穩(wěn)健統(tǒng)計方法的異常下限確定

傳統(tǒng)統(tǒng)計學(xué)方法要求數(shù)據(jù)以服從正態(tài)分布為假設(shè)前提，但是通常原始數(shù)據(jù)不完全服從正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布（只接近于正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布），因此，導(dǎo)致異常下限確定的合理性值得商榷。是否存在一種不用建立在統(tǒng)計假設(shè)條件下的方法（或工具）來處理化探數(shù)據(jù)？由于傳統(tǒng)方法的缺陷性，作者在本文提出了通過穩(wěn)健統(tǒng)計方法結(jié)合EDA 技術(shù)的支持，來確定異常下限。該方法的特點是：

（1）少量特異值引起對理想分布型式的偏離，對其結(jié)果影響很小。

（2）較多特異值的存在不至于引起災(zāi)難性的后果。

穩(wěn)健統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)根據(jù)某種原則自動加權(quán)，從而異常點的影響被不同程度地削弱，直至為零［15、16］。

穩(wěn)健統(tǒng)計學(xué)定義了穩(wěn)健估計的中位數(shù)絕對中位差（mad）和四分位數(shù)間距（iqr）［28］。地球化學(xué)異常下限可以由［median＋2＊mad］或者［median＋1.5＊iqr］公式來確定［29］，其中，mad由即相對于中位數(shù)的偏離絕對值的中位數(shù)，如公式（4）所示：

mad＝1.483中位數(shù)［｜xi－中位數(shù)（xi）］（4）式中 1.483為尺度因子（乘以它使mad與標(biāo)準(zhǔn)差相合）［14，28］。

四分位數(shù)間距是指第一分位和第三分位、四分位數(shù)兩者的差距。mad和iqr類似于傳統(tǒng)統(tǒng)計學(xué)中的標(biāo)準(zhǔn)離差，所以［median＋2mad］和［median＋1.5＊iqr］類似于［mean＋2sdev］。從上述公式可以看出，與標(biāo)準(zhǔn)離差相比，mad和iqr受異常點的影響較小。

EDA 技術(shù)是一種處理數(shù)據(jù)的非常規(guī)統(tǒng)計學(xué)方法，它利用穩(wěn)健統(tǒng)計學(xué)和非參數(shù)統(tǒng)計學(xué)，并引人各種簡單而有效的圖示技術(shù)，從中可迅速看出數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)和特點。EDA 不需要任何假設(shè)條件，而是根據(jù)數(shù)據(jù)本身所固有的模型來識別異點，由此來確定背景總體和異?？傮w。利用這些特征，我們可以直接解釋原始數(shù)據(jù)。實踐已證明，在單元素地球化學(xué)數(shù)據(jù)的描述和分析中，EDA 技術(shù)非常有效［30］。在穩(wěn)健統(tǒng)計學(xué)的基礎(chǔ)之上，EDA 定義了箱圖，通過它來確定異常下限和了解數(shù)據(jù)的分布情況。在箱圖中，定義了五個參數(shù)（最小值、下鉸鏈、中位數(shù)、上鉸鏈和最大值），這些參數(shù)能夠描述數(shù)據(jù)的重要特點、結(jié)構(gòu)、分布。為了確定這五個參數(shù)，首先要對數(shù)據(jù)進(jìn)行排序（從大到小或從小到大）；然后取中位數(shù)（Q2）。通過中位數(shù)排序之后，分成從最小值至中位數(shù)與中位數(shù)至最大值兩部份，分別對這兩部份取中位數(shù)得到下節(jié)點（Q1）和上節(jié)點（Q3）。四分位數(shù)已確定，通過公式（5）～公式（11）來確定四分位數(shù)間距，上（下）鉸鏈，柵欄外下限（上限），異常下限（上限）（如圖1所示）：

位于uif和lif之外的所有數(shù)據(jù)點即為異常點，其中位于uof和uif之外的數(shù)據(jù)稱為遠(yuǎn)異常（far outliers）。

通過箱圖能迅速發(fā)現(xiàn)一批數(shù)據(jù)的下列特征：位置、散度、偏度、尾長、外圍數(shù)據(jù)點數(shù)。尤其是從計算異常下限（上限）的公式可以看出，箱圖的一個非常重要的特性，就是能夠抵抗異常點的影響。也就是說，25%的數(shù)據(jù)點可能是“野”的，這些“野”值對中位數(shù)和上、下節(jié)點不產(chǎn)生明顯影響［30］。從公式（8）可以看出，異常下限僅由四分位數(shù)間距確定，所以，它不會受“野”值（異常值）的影響，因此異常下限確定受數(shù)據(jù)分布的影響也不嚴(yán)重。

在兩個分布的末段（小于lif和大于uif），有可能存在“未發(fā)現(xiàn)的異?！保@意味著數(shù)據(jù)均勻分布。如果要有異常值，作者建議通過百分比或者累計概率圖來確定背景值和異常值的邊界。針對百分比，95%或者98%的位置可以作為異常邊界。在累計概率圖中，如果確實有異常值的話，我們將明顯看到它們。

圖1 箱圖示意圖Fig.1 Turkey boxplot

2 試驗數(shù)據(jù)

2.1 研究區(qū)簡介

按照1∶200 000水系沉積物測量，要求我們在一個具體的地區(qū)進(jìn)行取樣工作。平均采樣密度是每四平方公里一個組合樣，每件樣品測試項目包括Ag、As、Au、Be、Cd、Cu、Hg、Li、Mn、Mo、Nb、Pb、Sb、Sn、Th、V、W、Y、Zn、Al2O3、CaO、K2O、Na2O 等。在研究區(qū)內(nèi)，主要成礦元素為Cu、Ag、Au，為了探討基于穩(wěn)健統(tǒng)計學(xué)和EDA技術(shù)確定地球化學(xué)異常下限的方法，作者初步選取這三個元素進(jìn)行分析。

2.2 實驗結(jié)果分析

首先，我們定性地研究該地區(qū)的各元素含量的分布情況。使用R 語言中的StaDA 程序包［23］構(gòu)建直方圖、密度圖、箱圖，一維分散點圖和累積分布函數(shù)圖，它們定性地幫我們了解數(shù)據(jù)的分布和結(jié)構(gòu)。從圖2（見下頁）可以看出，三個元素含量都是正偏分布。

表1總結(jié)出了三個地球化學(xué)元素（Cu、Ag和Au）的計算結(jié)果。該表1顯示，平均值與中位數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)偏差與中位絕對中位差之間有一個非常大的偏差。首先進(jìn)行正態(tài)分布檢驗，為了使檢驗結(jié)果更加可靠，就要采用SPSS 軟件中的Kolmogrov－Smirnov檢驗法（k－s檢驗）和Shapiro－ Wilk檢驗法（s－k檢驗），偏度和峰度不同的正態(tài)分布檢驗方法。由表1獲知，三個變量的P值都等于“0”（原假設(shè)被拒絕因為P值小于0.05），峰度系數(shù)和偏度系數(shù)都很大，這說明所有的樣本不服從正態(tài)分布。

為了進(jìn)一步檢驗這些變量是否服從對數(shù)正態(tài)分布，我們采用對數(shù)轉(zhuǎn)換方法。結(jié)果表明k－s、s－k檢驗的P值仍然等于“0”，峰度還是比較大，特別是Cu和Ag元素（如下頁圖2所示）很相似。這一點證明了轉(zhuǎn)換后的這些變量不服從對數(shù)正態(tài)分布，因此，未轉(zhuǎn)換或已轉(zhuǎn)換的變量采用傳統(tǒng)的統(tǒng)計方法來確定異常下限不符合其假設(shè)條件。從圖2（見下頁）可以看出，與平均值相比，中位數(shù)比平均值更好地估計了數(shù)據(jù)分布的一個總體的中心位置，受影響的異常點的平均值往往比實際值大得多。標(biāo)準(zhǔn)偏差是根據(jù)每個觀測值離平均值的偏差，由于平均值不能很好地估計樣本總體的中心位置，標(biāo)準(zhǔn)偏差不能給出一個較可靠離總體中心位置的范圍，因此它嚴(yán)重地受異常點的影響。而中位絕對中位差卻不受任何異常點的影響。

對上面所討論的問題，我們采用了兩個簡單的解決方案：

（1）先剔除明顯的異常點，然后再計算均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差。哪些點是異常點，我們根據(jù)直方圖來判斷：Cu有1.5%，Ag有1.5%，Au有3.7%的異常點被剔除。

（2）對原始數(shù)據(jù)取對數(shù)，然后再計算平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差，以含量對數(shù)值計算異常下限，最后根據(jù)計算值查其真數(shù)。

由表1和圖4（見后面）可見，這兩種方案的計算結(jié)果相差很大，第一種方案比第二種方案發(fā)現(xiàn)的特高異常點多得多（見下頁圖2中的黑色），但第二種方案能發(fā)現(xiàn)特低異常點（見下頁圖3 中的淺灰色），即使都是假異常（如圖3中的Cu－a、Cu－b、Ag－a、Ag－b和Au－a、Au－b所示）。該地區(qū)南方所發(fā)現(xiàn)的異常相當(dāng)小，這跟實際情況不符。該結(jié)果具有不確定性，它依賴于明顯異常點的剔除和數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換之后的分布情況。穩(wěn)健統(tǒng)計方法中的［median ＋2mad］和［median＋2iqr］，比傳統(tǒng)的統(tǒng)計方法發(fā)現(xiàn)該地區(qū)的三個元素含量的異常區(qū)域要多。

由后面的圖4可以證明，穩(wěn)健統(tǒng)計學(xué)比傳統(tǒng)的統(tǒng)計學(xué)能更好地判斷離群樣品（異常點）。通過q－q圖發(fā)現(xiàn)異常點逐漸偏離于直線，只有穩(wěn)健統(tǒng)計學(xué)才能很好地判斷這些點，［median ＋2mad］還能發(fā)現(xiàn)特低異常。結(jié)合已發(fā)現(xiàn)礦床（點）（該地區(qū)的礦床（點）分布如下：北向有五個，東北向有四個，東向有一個，南向有二個）可知，該發(fā)現(xiàn)與實際情況很吻合。同時發(fā)現(xiàn)西北向，西向，西南向，東向有一些地方異常面積比較大，但并沒發(fā)現(xiàn)有礦床（點），原因是由地質(zhì)體引起的異常。

表1 基于傳統(tǒng)統(tǒng)計學(xué)、穩(wěn)健統(tǒng)計學(xué)和箱圖三種異常下限確定方法的異常綜合表Tab.1 Comprehensive table of anomalies identified by using traditional statistics，robust statistics and boxplot

3 結(jié)論

作者在本文中的研究證明，在傳統(tǒng)的統(tǒng)計學(xué)的基礎(chǔ)上，數(shù)據(jù)要服從正態(tài)分布。原始數(shù)據(jù)基本不服從對數(shù)正態(tài)分布和正態(tài)分布，數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換（例如：取對數(shù)，余弦，平方根等等）不會導(dǎo)致數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，對進(jìn)一步的數(shù)據(jù)處理可能會導(dǎo)致有偏和錯誤的結(jié)果。由于均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差不能很好地估計數(shù)據(jù)的總體中心位置和蔓延（尺度），所以采用均值標(biāo)準(zhǔn)差法求異常下限值得商榷，原因是其數(shù)據(jù)不滿足假設(shè)前提。

通過上述的分析可以看出，傳統(tǒng)方法比較麻煩（要先取對數(shù)，然后再根據(jù)計算值查其真數(shù)或剔除明顯異常），而結(jié)果不一定可靠。在大多數(shù)情況下，穩(wěn)健統(tǒng)計方法提供的中位數(shù)比平均值能更好地估計數(shù)據(jù)的中心位置，中位絕對中位差和四分位數(shù)間距能很好地估計數(shù)據(jù)的蔓延。它們都能抵抗特高值和特低值的干擾，不要求數(shù)據(jù)服從某種分布的假設(shè)，因此比傳統(tǒng)的統(tǒng)計學(xué)能更加有效地處理化探數(shù)據(jù)。

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