遵循認知心理規(guī)律 重視數(shù)學概念教學

杜紅俊

【內(nèi)容摘要】數(shù)學概念是數(shù)學的邏輯起點，是學生認知的基礎(chǔ)，是學生進行數(shù)學思維的核心。因此，數(shù)學概念教學是數(shù)學教學的重點。本文從認知心理學角度，探討了數(shù)學概念教學的策略和方法。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學 概念 認知 心理 教學

數(shù)學概念是數(shù)學知識系統(tǒng)的重要組成成分，也是學習數(shù)學的認知基礎(chǔ)。數(shù)學概念之間存在著各種邏輯聯(lián)系，由這些聯(lián)系最終構(gòu)成概念網(wǎng)絡(luò)，形成概念體系。在數(shù)學學習過程中，學生如果沒有真正理解數(shù)學概念，那么解決數(shù)學問題就會常常出錯，同時也不利于相關(guān)概念的學習和整個數(shù)學概念體系的建立。在數(shù)學教學中，概念教學不但重要，而且難度較大。本文從認知心理學角度，探討了數(shù)學概念教學的策略和途徑。

一、重視概念的本質(zhì)屬性，開掘概念教學深度

現(xiàn)代認知心理學理論認為，概念都是從具體的自然概念向抽象的科學概念不斷發(fā)展的過程中得以不斷完善的。美國著名認知心理學家奧蘇貝爾認為，概念既有動態(tài)過程性，又有靜態(tài)結(jié)構(gòu)性，即概念的二重性。Thompson，Greeno，Hiebert等人在現(xiàn)代認知心理學、建構(gòu)主義等理論指導(dǎo)下提出，許多數(shù)學概念可以看作是過程與對象的對立統(tǒng)一體。這是從數(shù)學角度出發(fā)對數(shù)學概念的本質(zhì)認識。概念的二重性在數(shù)學中比比皆是，如分式既表示兩個式子做除法，又表示商；數(shù)列極限既代表序列變化趨勢的過程，又代表發(fā)展變化的結(jié)果；微分和積分既代表對函數(shù)的特定運算法則，又代表特定的變換本身等等。

因此，在數(shù)學概念教學中，我們既不但要引導(dǎo)學生經(jīng)歷從具體的自然的概念逐漸向抽象的科學的概念的過渡，逐漸由感性認識上升成為理性認識，而且要重視概念的二重性，開掘概念教學的深度。有許多數(shù)學概念，如果我們僅僅重視對數(shù)學概念作靜態(tài)的對象結(jié)構(gòu)分析，就會忽視概念動態(tài)的過程操作性。這時，我們往往只知道概念定義而不會靈活地運用定義以及背后隱含的數(shù)學思想解答問題。例如，已知橢圓方程x2a2+y2b2=1（a>b>0）從橢圓的右焦點F（c，0）向橢圓的任一切線作垂線，垂足為P，求點P的軌跡。對于這道題，學生通常采用代數(shù)法解題，先設(shè)出橢圓的切線方程為y=kx+m，求出PF的直線方程解出交點P的坐標，通過消參求出軌跡方程。這種解法計算量比較大，容易在求解過程中出現(xiàn)錯誤。解這道題如果利用橢圓定義，作點F關(guān)于橢圓切線的對稱點，很容易得到點P到橢圓中心O的距離等于常數(shù)a，點P的軌跡就是以點O為圓心，a為半徑的一個圓。

二、運用概念結(jié)構(gòu)理論，拓展概念教學寬度

現(xiàn)代學習心理學認為，學習是一種建構(gòu)性的活動，是學生在已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)上，通過與新知識發(fā)生相互作用，最終形成新的認知結(jié)構(gòu)過程。因此，數(shù)學概念的教學應(yīng)關(guān)注學生的經(jīng)驗世界，應(yīng)在定義之前先尋找概念發(fā)生的基礎(chǔ)，找到對應(yīng)的具體化材料、實例，再通過對象的數(shù)學化過程而獲得數(shù)學概念。根據(jù)概念形成的自然性，概念可以分為自然概念和人工概念。自然概念是指人類歷史發(fā)展過程中自然形成的概念。人工概念是在實驗室條件下，為模擬自然概念的形成過程而人為地制造出一些概念。從心理學角度上講，有關(guān)概念結(jié)構(gòu)有下面幾種理論：

1.層次網(wǎng)絡(luò)模型

概念是以結(jié)點的形式存儲在概念網(wǎng)絡(luò)中。在概念網(wǎng)絡(luò)體系中，每個概念不但都具有自己的定義，而且概念間通過各種內(nèi)在邏輯聯(lián)系，往往會形成一種類屬層級關(guān)系。在這個概念體系中，層次越高的概念，其建立的基礎(chǔ)越寬廣、厚實，其抽象概括的水平也越高。因此，在概念教學中，運用這一模型理論就要加強概念的銜接性及相互關(guān)系的教學，幫助學生厘清概念間的關(guān)系。簡單地說，數(shù)學概念不是孤立的。定義一個新概念要用到很多舊概念，即數(shù)學概念之間是相互聯(lián)系的。如對“極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)”概念的教學，大部分教師傾向于讓學生學會操作性的計算，簡單性的應(yīng)用即罷。學生能求簡單函數(shù)的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)即行。其實這種只強調(diào)計算而忽視概念的教學，不但會影響學生對概念的理解，還會妨礙大學微積分的學習。雖然函數(shù)概念是現(xiàn)代數(shù)學的中心問題，但正是極限的概念引入，標志著數(shù)學思維向著更高級的領(lǐng)域發(fā)展。極限思想是微積分學中處理問題的基本思想。微積分的基本概念都是在極限概念的基礎(chǔ)上命名的。教學中，由于數(shù)在某一點的極限概念實證研究較少。連續(xù)概念在教材中也是一帶而過，討論較多的核心概念是導(dǎo)數(shù)，因此許多老師常忽視這幾個概念的教學。其實可導(dǎo)一定是連續(xù)的，而且必須在連續(xù)的背景下討論。函數(shù)在點xo處的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)三者概念是互相聯(lián)系的，函數(shù)在點處xo存在極限是函數(shù)在點xo處連續(xù)的必要條件，函數(shù)在點xo處連續(xù)是函數(shù)在點xo處可導(dǎo)的必要條件，三者之間的關(guān)系如下圖所示。

又如，二次三項式a x2+bx+c出現(xiàn)在中學代數(shù)式一章，與一元二次方程a x2+bx+c=0及一元二次不等式a x2+bx+c>0（<0）兩個專題分為三個階段學習。教材的這種安排，使得教學中我們會將它們當作孤立的幾項內(nèi)容分散進行教學，但當引入二次函數(shù)f（x）= a x2+bx+c，我們就可以把上述三方面內(nèi)容統(tǒng)一在函數(shù)概念之下進行深度整合，從而使知識結(jié)構(gòu)成網(wǎng)，便于學生整體掌握。

2.原型模型

從概念結(jié)構(gòu)來講，原型理論認為，概念是由原型加上與原型特征有相似性的成員來組成的。所謂原型是指范疇中最能代表該范疇的典型成員，而且概念主要是以原型來表征的。例如，概念“鳥”的原型為“麻雀”，而“鴿子”“鴕鳥”等成員與“麻雀”都有一定的相似性特征，這樣以原型為核心，加上與之具有相似性的成員就組成了“鳥”的概念范疇。

其實，在人的記憶中有很多概念并不是以某些抽象的規(guī)則或一些相關(guān)特征來表示的，而是以這些概念的典型實例來表示的。例如講到一些幾何圖形時，可能在人的意識中首先反映的是一個直觀幾何圖形，而并非其形式定義；在講到函數(shù)時，我們可能首先想到的是某一函數(shù)解析式或函數(shù)圖像；有時在回憶某一概念時，往往先試著回憶具體事例或圖形，然后再聯(lián)想到其形式定義。由此可見，概念的典型性范例對學生獲得概念起著重要的作用。在概念教學中，教師不應(yīng)先呈現(xiàn)概念的定義，而是應(yīng)該在重視學生先前的經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，通過組織整理學生接觸到的恰當?shù)膶嵗冉⑵稹爸橇ο蟆?，再由學生這種思維活動（“其一是對他們先前的經(jīng)驗作某種分類，其二是他們現(xiàn)有的經(jīng)驗?zāi)軞w結(jié)到某個種類中去”），去豐富主體的體驗，從心理上建構(gòu)概念意義，最終獲得數(shù)學概念。

總之，數(shù)學概念的理解和建構(gòu)是數(shù)學學習的主要目標之一。數(shù)學教學中，我們一定要重視概念教學，要在充分尊重學生的經(jīng)驗世界和認知特點基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學生挖掘概念的內(nèi)涵，掌握概念的本質(zhì)屬性，同時按照數(shù)學概念的層次結(jié)構(gòu)，通過不斷深入的抽象概括，幫助學生形成比較完善的數(shù)學概念結(jié)構(gòu)。實際教學中，作為教師，既要從思想上引導(dǎo)學生重視數(shù)學概念，同時，又要精心準備概念的教學，重視數(shù)學概念的形成過程，并通過篩選、編制關(guān)于概念的習題，及時糾正學生錯誤的概念表象，讓學生深刻理解概念的含義。作為學生，要重視數(shù)學基礎(chǔ)的學習，特別是對概念本質(zhì)的理解，建立概念體系。比如在微積分學習時，當導(dǎo)數(shù)以等價變式的形式出現(xiàn)時，我們要注重極限式所表達的某一個概念，而不是注重計算技巧，關(guān)注分子、分母、函數(shù)表達式等方面，對導(dǎo)數(shù)概念的理解也不能僅僅停留在模仿階段，多思考函數(shù)在一點處的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)概念的三者關(guān)系，這樣，我們就能更深地理解導(dǎo)數(shù)實質(zhì)上是特殊的極限，導(dǎo)數(shù)要在連續(xù)的基礎(chǔ)上討論，對極限“永遠達不到”的思想可能會改變。

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（作者單位：廣東省四會市四會中學）