金融數(shù)學(xué)方差模型研究中出現(xiàn)的演化偏微分方程

孫 得

（山東科技大學(xué) 山東 青島 266590）

1 引言

金融數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要問題是在不確定條件下最優(yōu)投資消費(fèi)決策的數(shù)學(xué)建模。投資消費(fèi)問題在許多作品中進(jìn)行了廣泛的調(diào)查，并進(jìn)行了各種修改和擴(kuò)展。Cox和Cox和Ross導(dǎo)出了眾所周知的常數(shù)方差彈性（CEV）期權(quán)定價(jià)模型，Schroder之后擴(kuò)大了該模型，指出了非中央卡方分布的CEV期權(quán)定價(jià)公式，CEV模型主要用于調(diào)查期權(quán)和資產(chǎn)定價(jià)公式，正如Beckers所調(diào)查的那樣。在這里，我們重新考慮CEV模型。文獻(xiàn)調(diào)查證明，近期有少數(shù)研究報(bào)道了其解決方案的介紹。盡管如此，就我們所知，尚未發(fā)表關(guān)于CEV模型的封閉式解決方案的工作，這是本工作的目標(biāo)。經(jīng)典的李對(duì)稱理論是由挪威數(shù)學(xué)家Marius Sophus Lie（1842—1899）在十九世紀(jì)發(fā)現(xiàn)的。該理論系統(tǒng)地將廣為人知的特設(shè)方法聯(lián)系起來，以找到微分方程的精確解。經(jīng)過多年的發(fā)現(xiàn)，李的理論在二十世紀(jì)中葉的俄羅斯新西伯利亞的Ovsiannikov和西方的Birkhoff和Olver得到了推廣。李的理論是找到非線性偏微分方程的精確解析解的最有效的工具之一，并且建立在單變量點(diǎn)變換下不變性分析的基礎(chǔ)上。

最近，李的理論已被應(yīng)用于數(shù)學(xué)金融的偏微分方程（PDE）上。關(guān)于這個(gè)問題最早的研究之一是[2]，其中討論了經(jīng)典的Black-Scholes方程。通過李群方法的債券定價(jià)方程在[3]中進(jìn)行了研究，提出了一些著名的金融數(shù)學(xué)模型的不變分析。最近，李的理論已被應(yīng)用于金融數(shù)學(xué)的各種偏微分方程。

在本文中，我們討論了CEV模型下的最優(yōu)投資消費(fèi)問題。

從李對(duì)稱的角度來看。李氏理論的應(yīng)用通常將兩個(gè)獨(dú)立變量的偏微分方程簡化為一個(gè)常微分方程，并為我們提供了群體不變解。通過使用[4]中證明的一般定理，還為CEV模型構(gòu)造了一些非平凡的守恒定律。

我們計(jì)算模型方程（1）承認(rèn)的李對(duì)稱性，并利用它們獲得滿足終端條件（2）的PDE（1）的閉型群不變解。關(guān)于李對(duì)稱方法及其在各個(gè)學(xué)科中的應(yīng)用的詳細(xì)描述，讀者可參考文獻(xiàn)[5]。然而，在本節(jié)中，我們將詳細(xì)計(jì)算（1）的找到李點(diǎn)對(duì)稱性。為了便于使用李群方法進(jìn)行計(jì)算，我們?cè)诒韱沃兄貙懥薖DE許多研究人員已經(jīng)開發(fā)出了各種解析偏微分方程的方法，如經(jīng)向散射變換，B?cklund變換，Hirota雙線性方法，我們現(xiàn)在通過利用李對(duì)稱代數(shù)，得到PDE（3）的閉式群不變解。首先我們計(jì)算滿足終端條件（2）的（3）所承認(rèn)的對(duì)稱李代數(shù)。我們考慮了Lie點(diǎn)對(duì)稱的線性組合，即

因此，滿足條件的（1+1）演化PDE（3）的解由下式給出

我們導(dǎo)出了（1+1）演化偏微分方程（3）的守恒定律。在經(jīng)典物理學(xué)中，守恒定律是描述能量，質(zhì)量，線性動(dòng)量，角動(dòng)量和電荷守恒的物理量。關(guān)于守恒定律的一個(gè)特別重要的結(jié)果是著名的Noether定理，當(dāng)與相應(yīng)的拉格朗日方程相關(guān)的Noether點(diǎn)對(duì)稱性已知為相應(yīng)的歐拉--拉格朗日方程時(shí)，這給出了一種建立守恒定律的復(fù)雜而有用的方法。

描述CEV模型[1]下最優(yōu)投資消費(fèi)問題的演化（1+1）PDE（1）滿足邊界條件的經(jīng)典Black-Scholes-Merton方程，該方程不同于最常見情況。眾所周知，進(jìn)化（1+1）偏微分方程（1）通過等價(jià)變換與熱方程相關(guān)，因此可以得到它的一般解。然而，在本文中，我們首次利用李群方法解決了終端條件（2）下的偏微分方程（1）。這證明了李的理論的有用性。我們找到了演化PDE（1）的四維Lie對(duì)稱代數(shù)。使用非平凡Lie點(diǎn)對(duì)稱算子，我們已經(jīng)證明，控制PDE可以轉(zhuǎn)化為二階變系數(shù)ODE。求解簡化的ODE以獲得也滿足終端條件的CEV模型的新的精確閉合形式解。因此，第一次應(yīng)用李氏理論得到（1）的閉式解。這是第一次從群體理論角度考慮最優(yōu)投資消費(fèi)問題的演化PDE（1），并且文獻(xiàn)中已經(jīng)推導(dǎo)出了守恒定律。