托卡馬克邊界局域模的初步模擬研究

吳彥斌

（安慶師范大學(xué)科研處，安徽安慶246133）

尋找環(huán)保清潔、儲(chǔ)量豐富的新能源是整個(gè)世界共同面對(duì)的問(wèn)題。核聚變就是把兩個(gè)輕的原子核聚合成一個(gè)較重的原子核，然后釋放出能量。與核裂變相比，核聚變具有反應(yīng)產(chǎn)生的能量更高、反應(yīng)的產(chǎn)物無(wú)放射性污染、主要原料儲(chǔ)量更豐富等優(yōu)點(diǎn)，因此核聚變受到眾多國(guó)家的廣泛關(guān)注，被認(rèn)為是解決能源問(wèn)題的最佳方法。

托卡馬克是一種環(huán)形磁約束聚變裝置。20世紀(jì)50年代，蘇聯(lián)庫(kù)爾恰托夫研究所最早開(kāi)展了托卡馬克實(shí)驗(yàn)研究。經(jīng)過(guò)半個(gè)多世紀(jì)的探索，托卡馬克已經(jīng)成為受控?zé)岷司圩冏钣锌赡艹晒Φ难b置。在托卡馬克實(shí)驗(yàn)中，等離子體約束一般分為3種狀態(tài)，即歐姆模式、低約束模式（L模）和高約束模式（H模）。1981年，在德國(guó)ASDEX裝置上得到了H模的實(shí)驗(yàn)結(jié)果[1]，等離子體的約束時(shí)間比L模預(yù)期的高了一倍。H模的簡(jiǎn)單描述是：在對(duì)真空室壁進(jìn)行處理以后，當(dāng)加熱功率達(dá)到某個(gè)臨界值，發(fā)現(xiàn)約束比L模有很大的提高。這類(lèi)改善約束的主要特征是邊界區(qū)的反常輸運(yùn)有了大幅度減小，因而邊界等離子體的密度和溫度都比L模時(shí)的約束有了很大提高，形成較陡的密度和溫度梯度壘。

H模等離子體在邊界具有一個(gè)陡峭的壓強(qiáng)剖面，壓強(qiáng)和自洽產(chǎn)生的自舉電流會(huì)使邊界處產(chǎn)生不穩(wěn)定性。如果這個(gè)不穩(wěn)定性足夠強(qiáng)就會(huì)引發(fā)邊界局域模（ELM），它會(huì)把約束區(qū)內(nèi)的熱等離子體從邊界以絲狀的形式拋灑到偏濾器靶板和第一壁上，這種能量對(duì)靶板的損害是致命的。因此了解ELM的結(jié)構(gòu)以及特性對(duì)于未來(lái)聚變反應(yīng)堆非常重要。

ELM物理機(jī)制非常復(fù)雜，通常采用數(shù)值模擬的方法來(lái)研究，BOUT++程序就是其中之一。它由原始的邊界流體程序BOUT發(fā)展而來(lái)，已與一些主流的邊界磁流體力學(xué)（MHD）程序（ELITE，GATO）校準(zhǔn)過(guò)。它模擬了臺(tái)基的崩塌，得到的線性增長(zhǎng)率以及模式結(jié)構(gòu)的結(jié)果都與之前ELITE程序的結(jié)果非常吻合，而抗磁效應(yīng)、電阻效應(yīng)和電子粘滯等非線性效應(yīng)對(duì)不穩(wěn)定性增長(zhǎng)率的影響，則是本文主要解決的問(wèn)題。

1 ELM的基本物理圖像和特征

等離子體放電從L模轉(zhuǎn)換為H模，加熱功率需大于觸發(fā)L-H模轉(zhuǎn)換的功率閾值[2]。在從L模轉(zhuǎn)換到H模的放電過(guò)程中，等離子體邊界區(qū)的反常輸運(yùn)被抑制，在磁分界面內(nèi)側(cè)形成邊界輸運(yùn)壘，邊界等離子體參數(shù)（如密度、溫度）空間分布的梯度增大，從而形成等離子體臺(tái)基（Pedestal），如圖1所示。

圖1 DIII-D裝置上典型的H模和L模密度(a)、溫度(b)和電流密度(c)剖面

臺(tái)基區(qū)等離子體壓強(qiáng)梯度很大，由此產(chǎn)生的自舉電流為表面?；驓馇蚰５牟环€(wěn)定性增長(zhǎng)提供能量，這些MHD擾動(dòng)激發(fā)了ELM，使邊界等離子體的壓強(qiáng)梯度不能超過(guò)一個(gè)極限值。

ELM一般表現(xiàn)為多個(gè)間歇的瞬時(shí)邊界能量和粒子損失[3]，其MHD不穩(wěn)定性的本質(zhì)使得邊界磁面破裂，造成大量的能量與粒子脫離磁約束而作用到邊界和器壁，對(duì)邊界的再循環(huán)以及器壁的熱負(fù)荷造成影響。雖然ELM利于控制等離子體密度和排出雜質(zhì)粒子從而實(shí)現(xiàn)H模放電的穩(wěn)態(tài)運(yùn)行，但是ELM爆發(fā)攜帶的大量粒子和能量會(huì)對(duì)裝置的第一壁材料造成很大的損壞。

從實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象上來(lái)說(shuō)，ELM的爆發(fā)在偏濾器Dα輻射信號(hào)上表現(xiàn)最為明顯，邊界輸運(yùn)壘的瞬時(shí)破裂造成的粒子和能量損失使Dα信號(hào)瞬間增強(qiáng)，出現(xiàn)一系列尖峰，并伴隨著儲(chǔ)能下降和邊界臺(tái)基梯度變平。之后臺(tái)基繼續(xù)積累，直到觸發(fā)下一次ELM。從高速CCD診斷可以看出，ELM具有絲狀的空間結(jié)構(gòu)[4]，如圖2所示。

圖2 MAST裝置上的ELM絲狀結(jié)構(gòu)（可見(jiàn)光成像）

ELM爆發(fā)的物理機(jī)制尚未完全理解。目前廣泛認(rèn)可的理論認(rèn)為ELM是由剝裂—?dú)馇蚰＃╬eeling-ballooning mode）所激發(fā)產(chǎn)生[5]，其中剝裂模由平行電流密度梯度驅(qū)動(dòng)，氣球模由壓強(qiáng)梯度驅(qū)動(dòng)。

2 BOUT++程序簡(jiǎn)介

BOUT++由美國(guó)勞倫斯?利弗莫爾國(guó)家實(shí)驗(yàn)室（LLNL），英國(guó)約克（York）大學(xué)以及其他合作伙伴（包括中國(guó)科學(xué)院等離子體物理研究所、核工業(yè)西南物理研究院、北京大學(xué)）共同開(kāi)發(fā)，它是由C++語(yǔ)言寫(xiě)成，使用真實(shí)具體的托卡馬克的位型，包含三維邊界條件，用雙流體架構(gòu)描述邊界湍流的模擬程序[6]。

最簡(jiǎn)單的3場(chǎng)（壓強(qiáng)，電流，磁通）剝裂—?dú)馇蚰Ｐ桶丝勾牌疲珽×B漂移，電阻率和電子粘滯等非理想物理效應(yīng)。具體方程如下[7]：

這里υE是E×B漂移速度，Φ是電勢(shì)，J//是平行電流，B0是平衡磁場(chǎng)。?//F=B?//(F/B)中的F是任意的，b0·?，κ0=b0·?b0。雖然超電阻ηH，即電子粘滯在碰撞等離子體中可以被忽略，但是在碰撞率較低的等離子體中，它的作用是非常明顯的。在這個(gè)模型中，理想MHD中的不穩(wěn)定源來(lái)自電阻率或者電子粘滯。

3 模擬結(jié)果與分析

求解方程（1）～（5）使用的是場(chǎng)向坐標(biāo)系，如圖3所示。定義如下：

圖3 場(chǎng)向坐標(biāo)系

在BOUT++的3場(chǎng)模型中，對(duì)徑向（x）的微分需要轉(zhuǎn)換到磁面坐標(biāo)系，然后再轉(zhuǎn)回場(chǎng)向坐標(biāo)系。插分方法用的是4階中央插分以及3階WENO平流插分方法。

為了研究剝裂—?dú)馇蚰５膭?dòng)力學(xué)過(guò)程，選擇使用TOQ平衡程序[8]生成的圓截面環(huán)形平衡（cbm18_dens8），平衡位型如圖4所示。模擬的參數(shù)如下：小半徑a=1.2 m，大半徑R0=3.4 m，磁軸上環(huán)向磁場(chǎng)強(qiáng)度B0=2 T。BOUT++三場(chǎng)模型，是按照剝裂—?dú)馇蚰Ｐ蛢?yōu)化的，即研究ELM的最簡(jiǎn)模型。因此只要有ELM產(chǎn)生，就可以從這個(gè)模型中解出不穩(wěn)定性的增長(zhǎng)率。

圖4 TOQ程序生成的圓截面位型

圖5 為抗磁效應(yīng)對(duì)不穩(wěn)定性增長(zhǎng)率的影響。從圖中可以看出，理想情況（無(wú)抗磁）下，不穩(wěn)定性增長(zhǎng)率隨環(huán)向模數(shù)的增大而逐漸增加；而添加了抗磁效應(yīng)后，增長(zhǎng)率在環(huán)向模數(shù)較小時(shí)緩慢增加，當(dāng)n≥15時(shí)，增長(zhǎng)率開(kāi)始減小，直至n=40時(shí)減小為0。這說(shuō)明抗磁效應(yīng)抑制了不穩(wěn)定性的增長(zhǎng)，即抗磁效應(yīng)對(duì)于剝裂—?dú)馇蚰Ｓ兄路€(wěn)作用，這與理論預(yù)測(cè)一致[9]。

圖5 抗磁效應(yīng)對(duì)不穩(wěn)定性的影響

接下來(lái)探討剝裂—?dú)馇蚰２环€(wěn)定性與無(wú)量綱參數(shù)S以及SH的關(guān)系。S=μ0R0vA/η，稱(chēng)為L(zhǎng)undguist數(shù)，是阿爾芬波橫越磁場(chǎng)時(shí)標(biāo)與磁場(chǎng)的電阻性擴(kuò)散時(shí)標(biāo)之比，其中vA是阿爾芬速度，η是電阻率。類(lèi)似的，SH= μ0R30vA/ηH，稱(chēng)為超Lundguist數(shù)，是阿爾芬波橫越磁場(chǎng)時(shí)標(biāo)與超電阻性電流擴(kuò)散時(shí)標(biāo)之比。圖6是加入了電阻效應(yīng)對(duì)不穩(wěn)定性的影響。與圖5比較可得，加入電阻效應(yīng)之后，不穩(wěn)定性增長(zhǎng)率整體有所增加，這說(shuō)明電阻會(huì)增加剝裂—?dú)馇蚰５牟环€(wěn)定性，形成阻性剝裂—?dú)馇蚰！?/p>

圖6 電阻對(duì)不穩(wěn)定性的影響

圖7 則是電子粘滯對(duì)不穩(wěn)定性的影響。與圖5比較可得，電子粘滯會(huì)增加剝裂—?dú)馇蚰５牟环€(wěn)定性，形成粘滯剝裂—?dú)馇蚰！ｋm然電子粘滯ηH在碰撞等離子體中都是可以被忽略的，但是在碰撞率較低的等離子體中，它的作用是非常明顯的。對(duì)比圖6和圖7可以看到，加入電子粘滯之后，不穩(wěn)定性增長(zhǎng)率得到明顯的抑制，降低了大約50%。

圖7 電子粘滯對(duì)不穩(wěn)定性的影響

4 總結(jié)

本文分析了托卡馬克高約束模式下自發(fā)產(chǎn)生的邊界局域模的基本特征，基于研究邊界局域模的BOUT++三場(chǎng)模型，按照剝裂—?dú)馇蚰Ｐ蛢?yōu)化，可以解出不穩(wěn)定性的增長(zhǎng)率。模擬結(jié)果發(fā)現(xiàn)，抗磁效應(yīng)能顯著降低不穩(wěn)定性的增長(zhǎng)率，而電阻效應(yīng)會(huì)增大不穩(wěn)定性的增長(zhǎng)率。壓強(qiáng)，電流，磁通等3場(chǎng)線性模擬可以解決產(chǎn)生ELM的剝裂—?dú)馇蚰２环€(wěn)定性的具體驅(qū)動(dòng)源、不穩(wěn)定性產(chǎn)生的位置以及空間分布。而為了能夠研究湍流和能量輸運(yùn)，ELM是如何崩塌，ELM的能量損失能有多少，就需要在方程中加入新的物理量，在程序中加入新的模塊，這將是接下來(lái)的研究重點(diǎn)。