奇點(diǎn)指數(shù)計(jì)算的新方法

王義成，肖海箭，龔麗亞

（安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽合肥230601）

奇點(diǎn)指數(shù)是微分方程定性理論中用于刻畫(huà)奇點(diǎn)拓?fù)湫再|(zhì)的一個(gè)標(biāo)量，是一個(gè)整數(shù)。文獻(xiàn)[1]證明了著名的Poincaré指數(shù)定理，文獻(xiàn)[2]給出了經(jīng)典的Bendixson環(huán)域公式

奇點(diǎn)指數(shù)計(jì)算公式大多是基于一般的Cauchy指標(biāo)計(jì)算方法[3-6]。本文依據(jù)互素多項(xiàng)式中的一個(gè)基本代數(shù)定理[7-8]，巧妙地構(gòu)造了一個(gè)特殊的齊次多項(xiàng)式，并運(yùn)用指數(shù)的幾何意義，得到了一種新的計(jì)算指數(shù)的簡(jiǎn)單方法，它不同于Cauchy指標(biāo)計(jì)算方式，比Cauchy指標(biāo)計(jì)算法更加簡(jiǎn)單有效。

定義1[1]設(shè)

若C為R2上若爾當(dāng)閉曲線(xiàn)，且曲線(xiàn)C上不存在奇點(diǎn)，定義此曲線(xiàn)指數(shù)為正整數(shù)，即

注 如果任意若爾當(dāng)曲線(xiàn)C僅僅包含單奇點(diǎn)M0，則IM0(, C )與M0的指數(shù)是相同的，因此去掉標(biāo)記C，并記IM0()是該奇點(diǎn)M0的指數(shù)。不失一般性，假定這個(gè)單奇點(diǎn)是原點(diǎn)O(0 ,0)。

現(xiàn)介紹與本文相關(guān)的幾個(gè)重要引理和命題。

引理1[1]如果原點(diǎn)是(1)式的孤立奇點(diǎn)，則對(duì)任意的a≠0，有IO(a P,Q ) =sgna·IO(P ,Q)。

引理2[2]如果原點(diǎn)是(1)式的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，則IO(P ,Q ) =-IO(Q ,P)。

引理3[2]如果原點(diǎn)是(1)式的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，則IO(P +Q,Q ) =IO(P ,Q)。

引理4[6]設(shè)→∈ C1(R2)，原點(diǎn)O( 0 ,0)是這兩個(gè)系統(tǒng)的孤立奇點(diǎn)，如果對(duì)于一個(gè)若爾當(dāng)曲線(xiàn)C?U( O )，其中U( O )是原點(diǎn)的一個(gè)鄰域，在f→與g→相反的方向，并沒(méi)有曲線(xiàn)C上的點(diǎn)，則=IO(→ )。

引理5[9]設(shè)f和g分別是階數(shù)為m和n的實(shí)多項(xiàng)式，如果f和g是互素的，則存在兩個(gè)多項(xiàng)式u和v，使得

其中多項(xiàng)式u和v的階數(shù)分別為?u和?v，且?u＜n和?v＜m。

引理6[10]對(duì)于若爾當(dāng)曲線(xiàn)C?U( O )，其中U( O )是原點(diǎn)的一個(gè)鄰域。在曲線(xiàn)C上，如果p是的倍數(shù)，p的變化范圍為( + ∞,-∞ )，且其倍數(shù)的變化范圍為(+ ∞,-∞ )，則有

命 題 1 設(shè) ai,bi∈R,i=1,2，如 果sgn( a1b2-a2b1)≠0，

則

證明 僅證明a1a2b1b2≠0的情形，其余情形類(lèi)似。

由引理1、2和引理3，可以得到

證明 由定義1計(jì)算得

對(duì)于實(shí)平面自治微分系統(tǒng)

如果原點(diǎn)是（2）式和（3）式的孤立奇點(diǎn)，則由引理 4 可得 IO(f→)=IO(g→ )。下面給出本文的主要結(jié)論。

定理 1 設(shè)mn=1，如果det Dg→( )0,0 ≠0，則

證明 由定理1的假設(shè)可知原點(diǎn)是（2）式和（3）式的孤立奇點(diǎn)，因此IO()=IO(→ )。 應(yīng)用命

題1，則 有 IO() =sgn(d et D( 0 ,0 ) )IO(x ,y ) =sgn(d et D(0 ,0 ) )。

定理2設(shè)mn＞1，同上如果原點(diǎn)是（2）式和（3）式的孤立奇點(diǎn)，則通過(guò)有限次迭代，可求得IO(g → )的值。

證明 由引理5可知，存在兩個(gè)多項(xiàng)式u(t)和 v(t) ，其 中 ?u＜n 和 ?v＜m ，使 得u(t) P(t ,1 ) +v(t) Q( t ,1 ) =1。設(shè)

且

在命題2中，可以證明IO(U ,V ) =IO( U1,V1)+IO( U2,V2)。IO( U ,V)可以直接計(jì)算出來(lái)，因?yàn)閁=ym+?u是一個(gè)特殊的齊次多項(xiàng)式，從P2( t ,1 ) +Q2( t ,1 ) ≠0得到V( ± a,0 ) ≠0，其中a＞0,a→0。令C是條二次曲線(xiàn)，在點(diǎn)x=±a,y=±a，起于點(diǎn)( a ,a)并繞向正方向，由引理6可以得到如表1所示結(jié)果。

表1 當(dāng)m+?u分別為偶數(shù)、奇數(shù)時(shí)奇點(diǎn)的指數(shù)

作為定理的應(yīng)用，給出以下例題加以說(shuō)明。

例 計(jì)算如下系統(tǒng)的奇點(diǎn)指數(shù)

解 顯然原點(diǎn)是該系統(tǒng)的孤立奇點(diǎn)，設(shè)

顯然U2和V2可由表示。由m+?u=5和V( a ,0 ) =-a5≠0知，對(duì)于任意a＞0,a～0有IO(U ,V ) =1。不失一般性，假設(shè)由m+?u=3和V( a ,0 ) =a3≠0知，對(duì)于任意a＞0,a～0有IO(U ,V ) =-1。同時(shí)，由定理1可知，IO(U2,V2)=1，因此，綜上可知IO(x3-3xy2,3x2y-y3)=3。