具混合時滯和不連續(xù)激勵函數(shù)的Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡周期解的存在性

張孟孟，趙前進

(安徽理工大學數(shù)學與大數(shù)據(jù)學院，安徽淮南232001)

眾所周知，神經(jīng)網(wǎng)絡是一門以人腦為基礎的智能科學。近年來，不同類型的神經(jīng)網(wǎng)絡模型的動力學得到了廣泛研究，如雙向聯(lián)想記憶神經(jīng)網(wǎng)絡[1]、Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡[2]、細胞神經(jīng)網(wǎng)絡[3]、Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡模型等，其中Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡模型是在1983年由M.Cohen和S.Grossberg在文[4]中合作首次提出的。由于Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡在信號處理、聯(lián)想記憶、最優(yōu)化問題等領域有重要作用，但在這些網(wǎng)絡的電路實現(xiàn)過程中，時間上造成的延遲是不可避免的。另一方面，環(huán)境周期性的干擾、網(wǎng)絡因老化而周期性變化、網(wǎng)絡相對有規(guī)則的輸入控制等因素使網(wǎng)絡系數(shù)產(chǎn)生周期性地變化，從而對神經(jīng)網(wǎng)絡周期解的研究也引起了廣泛關注[4-11]，其中，黃創(chuàng)霞等在文獻[11]中考慮了如下具有時變時滯Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡模型：

其中，i=1，2，…，n。

基于激勵函數(shù)是連續(xù)的這一假設條件，他們建立了模型(1)周期解的存在性和穩(wěn)定性判據(jù)。然而，正如Forti等在文獻[12]中指出，在神經(jīng)網(wǎng)絡應用中，神經(jīng)元之間的信號傳輸或神經(jīng)元的信息輸出往往會表現(xiàn)出不連續(xù)的特征。實際上，神經(jīng)元根據(jù)其自身的活躍水平，對網(wǎng)絡中其他神經(jīng)元的影響存在激勵、抑制，或激勵、抑制、無影響狀態(tài)，在眾多神經(jīng)網(wǎng)絡中，這些狀態(tài)之間的切換往往是不連續(xù)的。當神經(jīng)網(wǎng)絡模型(1)中的信號激勵函數(shù)在不滿足連續(xù)性條件下，對其周期解存在性的研究非常少見。因此，對含有時滯項的不連續(xù)激勵函數(shù)Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡模型動力學的研究顯得尤為重要。

基于以上討論，下面研究一類如下具有混合時滯和不連續(xù)激勵函數(shù)的Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡模型：

其中n是神經(jīng)元的個數(shù)，xi表示第i個神經(jīng)元在t時刻的狀態(tài)，ai(xi(t))表示放大函數(shù)，fj(xj(t))是神經(jīng)元的激勵函數(shù)，bi(xi(t))表示適當?shù)牧紤B(tài)函數(shù)，cij(t)表示第j個神經(jīng)元在t時刻的輸出對第i個神經(jīng)元的激勵程度，dij(t)、rij(t)分別表示第j個神經(jīng)元在t時刻對第i個神經(jīng)元的時變時滯和分布時滯反饋，pij(s)表示分布時滯的隨機核函數(shù)，τij(t)是傳輸時滯，Ii是網(wǎng)絡的外部輸入。

本文在摒棄激勵函數(shù)連續(xù)性的前提下，利用集值版本的Mawhin重合度定理、不等式技巧，建立該神經(jīng)網(wǎng)絡周期解存在性的新結論，所獲結果在較大程度上改進并推廣了已有文獻中的相應結論。在本文中，首先作如下假設：

(H1)cij(t),dij(t),rij(t)∈C(R,R)是以ω為周期的連續(xù)函數(shù)，i,j=1，2，…，n。

(H2)ai(u)是正的有界函數(shù)，且對?u∈R,0＜＜ ai(u)＜＜ +∞,都是正常數(shù)。

(H3)fi在除孤立點ρki的可數(shù)集上是連續(xù)的，并在其孤立點處存在有限的左右極限fi+(ρki),fi-(ρki),此外，fi在R的任意緊區(qū)間內(nèi)具有有限個間斷點。

(H4)pij(s):[0,∞)→[0,∞)是可測的正規(guī)化函數(shù)，即存在σ＞0，有

(H5)bi(u)∈ C1(R,R),bi(?)=0有一個唯一解yi*，i=1，2，…，n。

1 預備知識

下面介紹一些文中會用到的記號、定義及引理。設向量x∈ Rn，定義xT=(x1,x2,…,xn)T為向量x的轉置；給定一個集合Ω?Rn，[Ω]表示集合Ω的閉凸包，P(Ω)表示Ω的所有子集構成的集合，Pkc(Ω)表示Ω的所有非空、緊和凸子集的集合。對于一個定義在R上的ω周期函數(shù)g(t)，定義g+、和gˉ為

定義1[13-14]如果對包含F(xiàn)(x)的任一開集U(F(x))，都存在 x∈X 的鄰域 V(x)，使得F(V)?U，稱F在x∈X點是上半連續(xù)的。若F在任一點x∈X處都上半連續(xù)，則稱F在X是上半連續(xù)的。

定義2[13-14]一個集值映射F:X→P(Y)，如果對于任意的x∈X，有f(x)∈F(x)，則稱函數(shù)f:X→Y是F的一個選擇。

由于系統(tǒng)(2)的激勵函數(shù)滿足條件(H3)，因此其右端是依賴于狀態(tài)的不連續(xù)系統(tǒng)。為研究不連續(xù)系統(tǒng)(2)周期解的存在性，采取如下Filippov解的定義。

定義3 如果函數(shù)x=(x1,x2,…,xn)T滿足

(1)x=(x1,x2,…,xn)T在(-∞,T)上連續(xù)，且在[0,T)的任意閉區(qū)間上絕對連續(xù)；

(2)存在一個可測函數(shù) γ=(γ1,γ2,…,γn)T:(-∞,T)→ Rn使得γj(t)∈ -co[fj(xj(t))]，且對于幾乎處處(簡記為a.a.)t∈(-∞,T)，有下式成立：

則稱函數(shù) x=(x1,x2,…,xn)T為模型(2)在(-∞,T)(T ∈(0,+∞))上的Filippov解。任何滿足(3)式的函數(shù)γ =(γ1,γ2,…,γn)T為相應于x(t)的輸出解，稱[x,γ]為系統(tǒng)(2)的解。注意到上述模型(2)解的定義，意味著下列微分包含成立：

也就是說，系統(tǒng)(2)的狀態(tài)解是系統(tǒng)(2)在Filippov意義下的解。

定義4(初值問題) 設連續(xù)函數(shù)φ=(φ1,φ2,…,φn)T:(-∞,0]→ Rn，以及可測函數(shù) φ=(φ1,φ2,…,φn)T:(-∞,0]→ Rn滿 足 φj(s)∈-co[fj(?j(t))]，對于a.a.t∈(-∞,0)。若存在常數(shù)T ＞ 0，使得在區(qū)間(-∞,T)上x為系統(tǒng)(2)的解，γ為相應于x(t)的輸出解且

稱[x,γ]:(-∞,T)→ Rn× Rn為系統(tǒng)(2)滿足初始條件[φ,?]的解。

定義5[5]如果(3)式在(0,+∞)上滿足初始條件的解x(t)有x(t+ ω)=x(t),t≥ 0，則稱x(t)為(3)式的ω-周期解。

引理1(集值版本的Mawhin延拓定理[15-16])設X為由所有從R到Rn上連續(xù)的ω-周期函數(shù)構成的集合，Ω?X為有界開集，集值映射F:R×Rn→Pkc(Rn)是上半連續(xù)的且關于t是ω-周期的。如果下列條件成立:

(a)當x ? ?Ω，λ∈(0,1)時，x′(t)∈ λF(t,x)；

(b)當u∈?Ω ? Rn時，每一個解u∈ Rn都有則微分包含x′(t)∈ λF(t,x)在X ?上至少存在一個ω-周期解。

定 義 6[16]若 實 矩 陣 Θ=(θij)n×n滿 足θij≤ 0,i,j=1,2,…,n,i≠ j，且Θ-1≥ 0，則稱Θ為M矩陣。

引理2[16]設ρ(K)是矩陣K=(kij)n×n的譜半徑，若ρ(K)＜1，K ＞0，則(E-K)-1≥ 0，E為n階單位陣。

2 周期解的存在性

定理1如果假設(H1)～(H5)成立，進一步假設

(H6)對于j=1,2,…,n，使得對任意xj,u∈R，有 bj(u)∈C1(R,R),b?j(u)＞ 0 ，且 存 在 常 數(shù)L1j,M1j,L2j,M2j,L3j,M3j，有

其中，

(H7) ρ(Κ )＜ 1，Κ =(kιj)ν×ν，D=(D1,D2,…,Dn)T，其中，kij=L2iL3j(cij++dij++rij+),

則不連續(xù)系統(tǒng)(2)至少存在一個ω-周期解。

證明 定義如下工作空間

顯然，X在賦予范數(shù)‖?‖下為Banach空間。取

式中，

由(H1)易知Fi(t,x)是一個具有非空緊凸值的上半連續(xù)集值映射。

為應用引理1，首先尋求一個合適的有界開集Ω。根據(jù)微分包含

有

假設 x(t)=(x1(t),x2(t),…,xn(t))T是系統(tǒng)(2)對應于某個λ∈(0,1)的解，根據(jù)文獻[16]中的可測選擇定理知，存在可測函數(shù)γj(t)∈[fj(xj(t))]，對 a. a. t≥0 ，使 得

因為x=x(t)在[0,ω]上是連續(xù)的，所以存在ti∈ [0,ω ]，使得

因此

這意味著

根據(jù)(H6)，(H7)可得

其中，kij=L2iL3j(cij++dij++rij+),

因為ρ(K)＜ 1，由引理2可知(E-K)-1D=h≥0，其中={x(t)=(x1,x2,…,xn)T, ||xi≤ hi,i=1,2,…,n}。則由(4)式可得

因此，可以得到

顯然hi與λ 無關。令l={hi}，則存在d ＞ 1，使得dhi＞ l。對任意i=1,2,…,n，取

顯然，Ω是X中的有界開集，并對?λ∈(0,1)，當x? ?Ω時，有x′(t)∈ λF(t,x)。

下面證明Ω滿足引理1的兩個條件:

(a)由前所述，顯然成立。

(b)當u=(u1,u2,…,un)T∈ ?Ω ? Rn時，有

即u是Rn上的常值函數(shù)。當u∈?Ω?Rn時，有下式成立：

或者

則有

否則有存在γ =(γ1,γ2,…,γn)T∈-co[f(x)]，使得 ||f?i=0，即F (t,x)dt=f0(x)，或者等價地，

因此

矛盾，故(6)式成立。

最后，定義如下的同倫集值映射Φ:(Ω ? Rn)×[0,1]→ Ω ? Rn，則

其中，(x,θ)∈(Ω ? Rn)×[0,1]。

如果x=(x1,x2,…,xn)T∈ ?Ω ? Rn，則

為Rn上的常值向量。

我們斷言

否則

那 么 存 在 γi∈[fi(ui)],i=1,2,…,n，使 得0 ∈ Φ(u,θ),θ∈[0,1]。因此

即(θaˉi+ai(ui)) ||bi(ui) ≤ θai(ui) ||bi(ui)+

進而有

所以有

由(5)～(8)式的證明過程，同理可得

矛盾。因此，當(u,θ)∈(?Ω ? Rn)×[0,1]時，有0=(0,0,…,0)T?Φ(u,θ)成立，從而由同倫不變性(H5)知

綜上所述，Ω滿足引理1的所有條件，則系統(tǒng)(2)至少有一個ω-周期解。

3 應用舉例

考慮如下具有混合時滯和不連續(xù)激勵函數(shù)的Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡：

顯然，

考慮如下不連續(xù)激勵函數(shù)

取τij=1,rij=0,i,j=1,2，從而

容易計算ρ(K)≈0.716。這意味著定理1的條件全部滿足，所以系統(tǒng)(9)至少存在一個2π-周期解。

4 結論

本文所考慮的不連續(xù)Cohen-Grossberg模型(2)不僅具有離散時滯，同時具有分布時滯，具有一般性。又由于所考慮模型的激勵函數(shù)是不連續(xù)的，為克服激勵函數(shù)的不連續(xù)性所帶來的理論和技術上的困難，本文利用微分包含理論及不等式技巧研究了不連續(xù)模型(2)周期解的存在性，從而已有文獻[7-11]及其參考文獻中有關連續(xù)情形下周期解存在性的結論不適應于不連續(xù)神經(jīng)網(wǎng)絡(9)。因此，本文的結論改進和推廣了已有文獻的相應結論，為工程技術工作者提供了理論依據(jù)。