某類上半平面的調(diào)和擬共形同胚的凸組合

孫祚晨，王麒翰，龍波涌

（安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽合肥230601）

擬共形映射的邊界對(duì)應(yīng)問題是擬共形映射理論中十分重要的內(nèi)容，它包括擬共形映照邊界函數(shù)和給定邊界函數(shù)的擬共形延拓問題，這些都有利于擬共形映照理論中極值問題的研究。設(shè)f(z)為區(qū)域D上的保向微分同胚，如果存在常數(shù)1≤K＜∞，使 得 伸 張 函 數(shù) 滿 足 D(z)=,則稱f(z)為區(qū)域D上的K-擬共形映射[1]。若進(jìn)一步假設(shè)f(z)在區(qū)域D上有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足=0，則稱 f(z)為區(qū)域D上的調(diào)和擬共形映射。關(guān)于平面上的調(diào)和映射，可參見文獻(xiàn)[2-3]。

記HQS( R )為上半平面到其自身的調(diào)和擬共形同胚定義在實(shí)軸上的值。Kalaj和Pavlovic[3]于2005年證明了以下定理：

定理1[3]設(shè)h(x)為R上的單調(diào)增加同胚，則h(x ) ∈HQS( R )當(dāng)且僅當(dāng)h(x)滿足雙Lipschitz條件且H(h′)∈ L∞(R)。

上面的H(h′)表示h(x)的Hilbert變換，定義為

其中

定理2[4]上半平面到其自身的調(diào)和擬共形同胚具有如下形式：

其中，b+ic∈H，Φ(z)為H上的解析函數(shù)且Φ( H )為右半平面的相對(duì)緊集。

關(guān)于Beurling-Ahlfors延拓的伸張函數(shù)估計(jì)問題，一直以來都得到了極大的關(guān)注并被深入地研究[1,5-6]。至今為止，伸張函數(shù)D(z)的最好估計(jì)是D ＜ min{2ρ-1,ρ32}[6]。

繼文獻(xiàn)[3]后，文獻(xiàn)[7]對(duì)邊界函數(shù)做了進(jìn)一步研究，得到將邊界函數(shù)延拓成上半平面到自身的調(diào)和擬共形同胚的簡單判別條件。文獻(xiàn)[8]判斷了邊界函數(shù)h(x)=x+sinπx，0≤k＜1可以延拓成上半平面到自身的調(diào)和擬共形同胚，給出了具體表達(dá)式并對(duì)其伸張函數(shù)D(z)做了估計(jì)。對(duì)于單葉的邊界函數(shù)，Macgregor指出兩個(gè)單葉解析函數(shù)的凸組合不一定還是單葉函數(shù)[9]。對(duì)于一類可延拓成上半平面到其自身的調(diào)和擬共形同胚的邊界函數(shù)，本文證明了其凸組合依然可以延拓成上半平面到其自身的調(diào)和擬共形同胚。給出了具體的表達(dá)式，估計(jì)了其伸張函數(shù)。

通過以上研究，得到了以下結(jié)論：

定理3設(shè)

其中n∈N*，0≤k＜a，則其可以延拓成上半平面到其自身的調(diào)和擬共形同胚，其對(duì)應(yīng)的表達(dá)式分別為

其伸張函數(shù)估計(jì)式分別為

則Hh1′(x)∈ L∞(R)。又由定理1知，h1(x)可以延拓為上半平面到自身的調(diào)和擬共形映射。令

經(jīng)過計(jì)算可得

設(shè)V1是 U1滿足V1(i)=0共軛調(diào)和，則V1(z)=ke-nysinnx，解析函數(shù)為

再估計(jì)f1(z)的最大伸張函數(shù)，令

則ux=a+ke-nycosnx,uy=-ke-nysinnx,vx=0,vy=c2。

其中

計(jì)算得

因此得到，

則g1(x,y)為次調(diào)和的，即D1+在上半平面是次調(diào)和，所以D+的最大值只能在邊界取得。

令

下面求S(x)的最大值。

(1)當(dāng)0＜c2＜時(shí)，

其中

(2)當(dāng)c2＞時(shí)，

其中

(3)當(dāng)c2=時(shí)，

h2(x)的情況類似可得。容易驗(yàn)證Hh'2(x)∈L∞(R)且h2(x)是雙利普希茨的。計(jì)算可得U2(z ) =a-ke-nysinnx,V2(z ) =ke-nycosnx+，則其上半平面到自身的調(diào)和擬共形延拓表達(dá)式為

則

則

其中

計(jì)算得

可得g2(x,y)為次調(diào)和的，即D2+在上半平面是次調(diào)和，故最大值只能在邊界取得，則

定理4 設(shè)h3(x)=bh1+(1-b)h2,n∈N*,0≤ k＜ a，其中h1和h2分別由定理3中的(1)和(2)式定義，則其上半平面到自身的調(diào)和擬共形延拓表達(dá)式為

其伸張函數(shù)有估計(jì)式

證明 由定理3很容易證明h3()x是雙利普希茨的，且

則Hh′3(x)∈ L∞(R)，即h3(x)可調(diào)和擬共形延拓到上半平面。易得

解析函數(shù)

則其上半平面的調(diào)和擬共形延拓表達(dá)式為

再估計(jì)f3(z)的最大伸張函數(shù)，令f3(z)=u+iv，則

計(jì)算可得

其中

直接計(jì)算得

則得到

其中

可得g3(x ,y)為次調(diào)和的，即D3+在上半平面是次調(diào)和，那么最大值只能在邊界取得。令

則

注意到，上面的定理給出的是最一般的情況，并沒有對(duì)邊界點(diǎn)進(jìn)行固定，下面我們固定實(shí)軸上0,1與∞三點(diǎn)，有下面的結(jié)論。

推論1設(shè)

n∈N*,0≤k＜1,y(x)=y1(x)+y2(x),c5＞1，

則y(x)由上半平面到其自身的調(diào)和擬共形延拓表達(dá)式為

其伸張函數(shù)有估計(jì)式

證明 由定理3的計(jì)算方法和定理4的結(jié)果很容易證得(6)式。

注 對(duì)于推論1中的y(x)，任意的x∈R，t＞0，根據(jù)拉格朗日中值定理和

可知，

即y(x)是

擬對(duì)稱函數(shù)，可以作Beurling-Ahlfors延拓。