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    某類上半平面的調(diào)和擬共形同胚的凸組合

    2018-09-07 06:34:20孫祚晨王麒翰龍波涌

    孫祚晨,王麒翰,龍波涌

    (安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽合肥230601)

    擬共形映射的邊界對(duì)應(yīng)問題是擬共形映射理論中十分重要的內(nèi)容,它包括擬共形映照邊界函數(shù)和給定邊界函數(shù)的擬共形延拓問題,這些都有利于擬共形映照理論中極值問題的研究。設(shè)f(z)為區(qū)域D上的保向微分同胚,如果存在常數(shù)1≤K<∞,使 得 伸 張 函 數(shù) 滿 足 D(z)=,則稱f(z)為區(qū)域D上的K-擬共形映射[1]。若進(jìn)一步假設(shè)f(z)在區(qū)域D上有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且滿足=0,則稱 f(z)為區(qū)域D上的調(diào)和擬共形映射。關(guān)于平面上的調(diào)和映射,可參見文獻(xiàn)[2-3]。

    記HQS( R )為上半平面到其自身的調(diào)和擬共形同胚定義在實(shí)軸上的值。Kalaj和Pavlovic[3]于2005年證明了以下定理:

    定理1[3]設(shè)h(x)為R上的單調(diào)增加同胚,則h(x ) ∈HQS( R )當(dāng)且僅當(dāng)h(x)滿足雙Lipschitz條件且H(h′)∈ L∞(R)。

    上面的H(h′)表示h(x)的Hilbert變換,定義為

    其中

    定理2[4]上半平面到其自身的調(diào)和擬共形同胚具有如下形式:

    其中,b+ic∈H,Φ(z)為H上的解析函數(shù)且Φ( H )為右半平面的相對(duì)緊集。

    關(guān)于Beurling-Ahlfors延拓的伸張函數(shù)估計(jì)問題,一直以來都得到了極大的關(guān)注并被深入地研究[1,5-6]。至今為止,伸張函數(shù)D(z)的最好估計(jì)是D < min{2ρ-1,ρ32}[6]。

    繼文獻(xiàn)[3]后,文獻(xiàn)[7]對(duì)邊界函數(shù)做了進(jìn)一步研究,得到將邊界函數(shù)延拓成上半平面到自身的調(diào)和擬共形同胚的簡單判別條件。文獻(xiàn)[8]判斷了邊界函數(shù)h(x)=x+sinπx,0≤k<1可以延拓成上半平面到自身的調(diào)和擬共形同胚,給出了具體表達(dá)式并對(duì)其伸張函數(shù)D(z)做了估計(jì)。對(duì)于單葉的邊界函數(shù),Macgregor指出兩個(gè)單葉解析函數(shù)的凸組合不一定還是單葉函數(shù)[9]。對(duì)于一類可延拓成上半平面到其自身的調(diào)和擬共形同胚的邊界函數(shù),本文證明了其凸組合依然可以延拓成上半平面到其自身的調(diào)和擬共形同胚。給出了具體的表達(dá)式,估計(jì)了其伸張函數(shù)。

    通過以上研究,得到了以下結(jié)論:

    定理3設(shè)

    其中n∈N*,0≤k<a,則其可以延拓成上半平面到其自身的調(diào)和擬共形同胚,其對(duì)應(yīng)的表達(dá)式分別為

    其伸張函數(shù)估計(jì)式分別為

    則Hh1′(x)∈ L∞(R)。又由定理1知,h1(x)可以延拓為上半平面到自身的調(diào)和擬共形映射。令

    經(jīng)過計(jì)算可得

    設(shè)V1是 U1滿足V1(i)=0共軛調(diào)和,則V1(z)=ke-nysinnx,解析函數(shù)為

    再估計(jì)f1(z)的最大伸張函數(shù),令

    則ux=a+ke-nycosnx,uy=-ke-nysinnx,vx=0,vy=c2。

    其中

    計(jì)算得

    因此得到,

    則g1(x,y)為次調(diào)和的,即D1+在上半平面是次調(diào)和,所以D+的最大值只能在邊界取得。

    下面求S(x)的最大值。

    (1)當(dāng)0<c2<時(shí),

    其中

    (2)當(dāng)c2>時(shí),

    其中

    (3)當(dāng)c2=時(shí),

    h2(x)的情況類似可得。容易驗(yàn)證Hh'2(x)∈L∞(R)且h2(x)是雙利普希茨的。計(jì)算可得U2(z ) =a-ke-nysinnx,V2(z ) =ke-nycosnx+,則其上半平面到自身的調(diào)和擬共形延拓表達(dá)式為

    其中

    計(jì)算得

    可得g2(x,y)為次調(diào)和的,即D2+在上半平面是次調(diào)和,故最大值只能在邊界取得,則

    定理4 設(shè)h3(x)=bh1+(1-b)h2,n∈N*,0≤ k< a,其中h1和h2分別由定理3中的(1)和(2)式定義,則其上半平面到自身的調(diào)和擬共形延拓表達(dá)式為

    其伸張函數(shù)有估計(jì)式

    證明 由定理3很容易證明h3()x是雙利普希茨的,且

    則Hh′3(x)∈ L∞(R),即h3(x)可調(diào)和擬共形延拓到上半平面。易得

    解析函數(shù)

    則其上半平面的調(diào)和擬共形延拓表達(dá)式為

    再估計(jì)f3(z)的最大伸張函數(shù),令f3(z)=u+iv,則

    計(jì)算可得

    其中

    直接計(jì)算得

    則得到

    其中

    可得g3(x ,y)為次調(diào)和的,即D3+在上半平面是次調(diào)和,那么最大值只能在邊界取得。令

    注意到,上面的定理給出的是最一般的情況,并沒有對(duì)邊界點(diǎn)進(jìn)行固定,下面我們固定實(shí)軸上0,1與∞三點(diǎn),有下面的結(jié)論。

    推論1設(shè)

    n∈N*,0≤k<1,y(x)=y1(x)+y2(x),c5>1,

    則y(x)由上半平面到其自身的調(diào)和擬共形延拓表達(dá)式為

    其伸張函數(shù)有估計(jì)式

    證明 由定理3的計(jì)算方法和定理4的結(jié)果很容易證得(6)式。

    注 對(duì)于推論1中的y(x),任意的x∈R,t>0,根據(jù)拉格朗日中值定理和

    可知,

    即y(x)是

    擬對(duì)稱函數(shù),可以作Beurling-Ahlfors延拓。

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