某類上半平面的調和擬共形同胚的凸組合

孫祚晨，王麒翰，龍波涌

（安徽大學數(shù)學科學學院，安徽合肥230601）

擬共形映射的邊界對應問題是擬共形映射理論中十分重要的內容，它包括擬共形映照邊界函數(shù)和給定邊界函數(shù)的擬共形延拓問題，這些都有利于擬共形映照理論中極值問題的研究。設f(z)為區(qū)域D上的保向微分同胚，如果存在常數(shù)1≤K＜∞，使 得 伸 張 函 數(shù) 滿 足 D(z)=,則稱f(z)為區(qū)域D上的K-擬共形映射[1]。若進一步假設f(z)在區(qū)域D上有二階連續(xù)偏導數(shù)，且滿足=0，則稱 f(z)為區(qū)域D上的調和擬共形映射。關于平面上的調和映射，可參見文獻[2-3]。

記HQS( R )為上半平面到其自身的調和擬共形同胚定義在實軸上的值。Kalaj和Pavlovic[3]于2005年證明了以下定理：

定理1[3]設h(x)為R上的單調增加同胚，則h(x ) ∈HQS( R )當且僅當h(x)滿足雙Lipschitz條件且H(h′)∈ L∞(R)。

上面的H(h′)表示h(x)的Hilbert變換，定義為

其中

定理2[4]上半平面到其自身的調和擬共形同胚具有如下形式：

其中，b+ic∈H，Φ(z)為H上的解析函數(shù)且Φ( H )為右半平面的相對緊集。

關于Beurling-Ahlfors延拓的伸張函數(shù)估計問題，一直以來都得到了極大的關注并被深入地研究[1,5-6]。至今為止，伸張函數(shù)D(z)的最好估計是D ＜ min{2ρ-1,ρ32}[6]。

繼文獻[3]后，文獻[7]對邊界函數(shù)做了進一步研究，得到將邊界函數(shù)延拓成上半平面到自身的調和擬共形同胚的簡單判別條件。文獻[8]判斷了邊界函數(shù)h(x)=x+sinπx，0≤k＜1可以延拓成上半平面到自身的調和擬共形同胚，給出了具體表達式并對其伸張函數(shù)D(z)做了估計。對于單葉的邊界函數(shù)，Macgregor指出兩個單葉解析函數(shù)的凸組合不一定還是單葉函數(shù)[9]。對于一類可延拓成上半平面到其自身的調和擬共形同胚的邊界函數(shù)，本文證明了其凸組合依然可以延拓成上半平面到其自身的調和擬共形同胚。給出了具體的表達式，估計了其伸張函數(shù)。

通過以上研究，得到了以下結論：

定理3設

其中n∈N*，0≤k＜a，則其可以延拓成上半平面到其自身的調和擬共形同胚，其對應的表達式分別為

其伸張函數(shù)估計式分別為

則Hh1′(x)∈ L∞(R)。又由定理1知，h1(x)可以延拓為上半平面到自身的調和擬共形映射。令

經(jīng)過計算可得

設V1是 U1滿足V1(i)=0共軛調和，則V1(z)=ke-nysinnx，解析函數(shù)為

再估計f1(z)的最大伸張函數(shù)，令

則ux=a+ke-nycosnx,uy=-ke-nysinnx,vx=0,vy=c2。

其中

計算得

因此得到，

則g1(x,y)為次調和的，即D1+在上半平面是次調和，所以D+的最大值只能在邊界取得。

令

下面求S(x)的最大值。

(1)當0＜c2＜時，

其中

(2)當c2＞時，

其中

(3)當c2=時，

h2(x)的情況類似可得。容易驗證Hh'2(x)∈L∞(R)且h2(x)是雙利普希茨的。計算可得U2(z ) =a-ke-nysinnx,V2(z ) =ke-nycosnx+，則其上半平面到自身的調和擬共形延拓表達式為

則

則

其中

計算得

可得g2(x,y)為次調和的，即D2+在上半平面是次調和，故最大值只能在邊界取得，則

定理4 設h3(x)=bh1+(1-b)h2,n∈N*,0≤ k＜ a，其中h1和h2分別由定理3中的(1)和(2)式定義，則其上半平面到自身的調和擬共形延拓表達式為

其伸張函數(shù)有估計式

證明 由定理3很容易證明h3()x是雙利普希茨的，且

則Hh′3(x)∈ L∞(R)，即h3(x)可調和擬共形延拓到上半平面。易得

解析函數(shù)

則其上半平面的調和擬共形延拓表達式為

再估計f3(z)的最大伸張函數(shù)，令f3(z)=u+iv，則

計算可得

其中

直接計算得

則得到

其中

可得g3(x ,y)為次調和的，即D3+在上半平面是次調和，那么最大值只能在邊界取得。令

則

注意到，上面的定理給出的是最一般的情況，并沒有對邊界點進行固定，下面我們固定實軸上0,1與∞三點，有下面的結論。

推論1設

n∈N*,0≤k＜1,y(x)=y1(x)+y2(x),c5＞1，

則y(x)由上半平面到其自身的調和擬共形延拓表達式為

其伸張函數(shù)有估計式

證明 由定理3的計算方法和定理4的結果很容易證得(6)式。

注 對于推論1中的y(x)，任意的x∈R，t＞0，根據(jù)拉格朗日中值定理和

可知，

即y(x)是

擬對稱函數(shù)，可以作Beurling-Ahlfors延拓。