多水平成層的非均勻介質(zhì)圓弧形峽谷地下多點地震動模擬

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(天津大學 建筑工程學院，天津 300072)

1 引 言

地震記錄[1-2]表明，地形因素對結(jié)構(gòu)的地震響應有較大影響，特別是需要考慮地震動空間變化效應的長跨結(jié)構(gòu)，如橋梁和地下管道等。大多數(shù)關于地形地貌因素對地震動的影響研究都假定場地為單一介質(zhì)，但實際場地往往呈現(xiàn)非均勻介質(zhì)的層狀特性。層狀介質(zhì)場地在地震激勵下會產(chǎn)生與單一介質(zhì)場地完全不同的動態(tài)響應[3]，尤其在峽谷場地。因此，對層狀場地在地震激勵下的動態(tài)響應進行研究具有重要的理論和現(xiàn)實意義。

在非平坦地形地震動的模擬研究中，文獻[4]基于一維傳播理論生成地形變化下的多點地震動，其功率譜為Tajimi-Kanai譜的修正模型，相干函數(shù)模型為Sobczyk理論相干函數(shù)模型；文獻[5]根據(jù)Hao-Nawawi模型生成多點地震動，選取Tajimi-Kanai譜的修正模型為功率譜模型，Hao相干函數(shù)模型為相干模型；文獻[6]根據(jù)Hao-Nawawi 模型，選取抗震規(guī)范的反應譜與功率譜的轉(zhuǎn)換作為基巖自譜函數(shù)為功率譜模型，以基巖處的相干函數(shù)模型為相干模型，生成了地形變化下的多點地震動。以上研究選取地表處的功率譜作為基巖功率譜，而基巖處與地表處的相干模型有所不同。文獻[7]生成了山丘谷地交錯場地上的多點地震動，通過基巖的反應譜轉(zhuǎn)換得到相應的功率譜，并以丁海平相干函數(shù)[8]為相干模型，但也是考慮了非多層場地的地震模擬。柳國環(huán)等[9,10]對多點地震動進行了研究和總結(jié)，并推導了地下相干函數(shù)表達式，為地下多點地震動模擬提供了理論依據(jù)。

本文重點開發(fā)了圓弧場地水平多分層效應的地下多點地震動模擬程序，其理論依據(jù)突破了傳統(tǒng)均勻介質(zhì)和分層不穿越峽谷前提的局限性。首先，描述了給出的圓弧場地分層效應的SH波動散射頻域解；其次，得到了利用從水平地表到峽谷表面再到地下土層的傳遞函數(shù)，通過兩次傳遞[11]得到峽谷地下目標功率譜和反應譜；進而，給出了考慮圓弧形場地平-凹相關性的相干函數(shù)模型及其具體推導過程；最后，基于上述理論和方法，開發(fā)了考慮圓弧分層場地的地下地震動模擬程序，并通過數(shù)值算例給出了模擬結(jié)果與目標(功率譜、反應譜和相干函數(shù))的擬合對比，進一步驗證了該模擬理論和程序的合理性。

2 多層介質(zhì)圓形峽谷地下多點地震動生成途徑及其理論表達式

2.1 理論模型和自譜頻域解

圖1為在彈性、均勻和各項同性半空間中的圓弧形層狀峽谷的示意圖。圓弧形層狀峽谷的半徑為a，層狀峽谷中各層介質(zhì)的剪切模量分別為μ1，μ2，…，μn，剪切波速分別為c1，c2，…，cn。入射SH波在垂直于平面的z軸方向上運動，其入射角為α，頻率為ω。坐標系(r1，θ1)坐落在圓弧形峽谷的圓心o1處，坐標系(r，θ)坐落在o處。角度θ1的走向是從y1軸逆時針朝向x1軸，角度θ的走向是從y軸順時針朝向x軸。本文采用文獻[12]的方法，即用半徑非常大的圓弧形界面(H?h)來代替常用的水平分層界面。

各層介質(zhì)中的位移u滿足波動方程：

(1)

式中r為極坐標的半徑，在各層中分別為r1，…，ri，…，rn；θ為極坐標的角度，在各層中分別為θ1，…，θi，…，θn；c為剪切波速，在各層中分別為c1，…，ci，…，cn;t為時間變量。

方程(1)滿足的邊界條件為半空間和圓弧形層狀峽谷表面的零應力邊界條件及層狀介質(zhì)交界面和層狀介質(zhì)與半空間交界面的連續(xù)邊界條件。零應力邊界條件有

(2)

(θ≥α1) (3)

(4)

(βi +1<θ<βi) (5)

(-βn<θ<βn) (6)

式中 下標1，i和n分別為各層的序號，下標L代表峽谷左側(cè)，下標R代表峽谷右側(cè)。h1，…，hi分別為各層的深度，α1，…，αi，…，αn分別為峽谷各層在極坐標(r1,θ1)中對應的角度，β1，…，βi，…，βn分別為峽谷各層在極坐標(r,θ)中對應的角度，τ為剪應力，H為大圓弧的半徑。

圖1 多層狀圓弧形峽谷示意圖

Fig.1 Sketch of a multi-stratified circular-arc canyon

位移連續(xù)條件和應力連續(xù)條件為

(θ≤-αi) (7)

(θ≤-αi) (8)

(θ≥αi) (9)

(θ≥αi) (10)

將自由場uF和散射場uS分別通過Fourier-Bessel級數(shù)展開式[13]進行展開可得

(11)

(12)

(13)

(14)

由于邊界條件位于不同的坐標系中，需要引入坐標變換公式[14]來實現(xiàn)坐標的變換。通過聯(lián)立組成方程組，并引入邊界條件(2～10)來求解各待定系數(shù)。最終求得圓弧形層狀峽谷在平面SH波入射下的解析解為

u(x,y,ω,t)=|u(x,y,ω)|ei θ (x,y,ω)e-i ω t

(15)

式中 |u(x,y,ω)|為放大系數(shù)，θ(x,y,ω)為相位角。

2.2 兩步傳遞函數(shù)

圖2顯示了圓弧形峽谷表面的點(m和n)、平坦地表的點(mf和nf)以及地下土層中的點(mu和nu)之間的關系。

圖2 傳遞函數(shù)示意圖

Fig.2 Schematic diagram for transfer functions

通過兩步的傳遞函數(shù)[11]可得地下功率譜：

(16)

3 考慮地形因素效應的相干函數(shù)

如圖3所示，A點代表所有位于平坦地形上的點，B點代表平坦地形與峽谷地形的交界點，C點代表所有位于峽谷表面上的點，因此形成了適用于3種不同地形的相干函數(shù)。

3.1 傳統(tǒng)平坦地形相干函數(shù)

對于傳統(tǒng)平坦地形，其相干函數(shù)可參考Hao相干函數(shù)模型[15]。

3.2 峽谷表面相干函數(shù)

對于峽谷表面地形，其相干函數(shù)可參考文獻[11]。

3.3 非平坦地形效應的相干函數(shù)

如圖4所示，點Bp是與點C處于相同地層深度的點，點O是峽谷中心點，構(gòu)造輔助線OBP并延長至Ap。點A′，B′和C′分別是點A，B和C在地下土層中的投影點。

(17)

圖3 不同種類相干函數(shù)示意圖

Fig.3 Schematic diagram for different kinds of coherence functions

圖4 非平坦地形相干函數(shù)輔助圖

Fig.4 Auxiliary diagram for the coherence function for non-flat terrain

(18)

如圖3所示，當點C無限趨近于點B時，相干函數(shù)3變成相干函數(shù)1；當點A無限趨近于點B時，相干函數(shù)3變成相干函數(shù)2。

4 程序開發(fā)及可靠性驗證

4.1 地下地震動生成及程序開發(fā)

以某多層圓弧形峽谷的算例為研究對象，圖5給出了根據(jù)上述理論生成地下地震動的流程圖，地形結(jié)構(gòu)如圖6所示，土層參數(shù)列入表1(土層參數(shù)可參考文獻[17])，圖7給出了生成地下多點地震動的程序界面。圓弧形峽谷的半徑為60 m，上限截止頻率和時間間隔分別為10 Hz和20 s。地震波的入射角和波速分別取為π/3和1200 m/s。本文選取Clough-Penzien功率譜模型[18]作為地表目標功率譜。

圖8給出了地表和地下目標點的加速度時程曲線的峰值和方差。可以看出，地表目標點的加速度峰值明顯大于地下目標點，說明峽谷地形的放大效應會導致較大的地表地震動。

表1 土層參數(shù)

Tab.1 Physical parameters of soil layers

層號密度/(kg·m-3)剪切模量/GPa阻尼比土層厚度/m1234200024002600300011.21.620.050.050.050.0510152040

圖5 地下地震動生成框架

Fig.5 Framework for generating underground motions

圖6 多層狀圓弧形峽谷示意圖

Fig.6 Schematic diagram of a multi-stratified circular-arc canyon

地表和地下目標功率譜和模擬功率譜之間的對比如圖9所示?？梢钥闯?，模擬功率譜與目標功率譜一致，并且地下功率譜的曲線呈波狀，這與地表功率譜存在巨大差異。造成這種現(xiàn)象的原因是，地下功率譜是地表功率譜經(jīng)由2次傳遞得到，如圖10所示，地表功率譜是平滑的，具有統(tǒng)計特性，而傳遞函數(shù)是波狀的，不具有統(tǒng)計學特性，并且與場地的土層特性有關。

地下目標反應譜和模擬反應譜之間的對比如圖11所示?？梢钥闯觯M反應譜與目標反應譜相一致，進一步證明了上述地下地震動生成理論和程序的可行性和可靠性。

4.2 不同相干函數(shù)的特性研究

不同種類相干函數(shù)的目標相干函數(shù)與模擬相干函數(shù)之間的對比如圖12所示?？梢钥闯?，當頻率趨于0時，不同種類相干函數(shù)的目標相干系數(shù)都趨于1。并且，相對于平坦地形和峽谷表面地形相干函數(shù)，適用于非平坦地形相干函數(shù)的相干系數(shù)較小，再次證明非平坦地形相干函數(shù)受平坦地形和峽谷地形兩方面的影響，從而導致其對地震動造成了不同的影響。

圖7 地下地震動生成程序界面

Fig.7 Visual interface of program for generating multi-point seismic underground motions

圖8 地表和地下加速度時程

Fig.8 Ground and underground acceleration histories

圖9 地表和地下功率譜

Fig.9 Ground and underground PSD

圖10 地下功率譜的生成

Fig.10 Generation of underground PSD

圖11 地下目標反應譜和模擬反應譜的對比

Fig.11 Comparison between target and simulated response spectrums of underground motions

圖12 地下目標相干函數(shù)和模擬相干函數(shù)的對比

Fig.12 Comparison between target and simulated underground coherence functions

5 結(jié) 語

基于本質(zhì)上突破了均勻介質(zhì)和分層不穿越峽谷這一局限性的基本理論，開發(fā)并實現(xiàn)了多水平分層效應的圓弧形峽谷地下多點地震動模擬理論的可視化程序。具體內(nèi)容包括，在得到分層圓弧場地SH波動散射頻域解的基礎上，利用從水平地表到峽谷表面再到地下土層的傳遞函數(shù)的思路，通過兩次傳遞得到峽谷地下目標功率譜和反應譜；然后，給出了考慮圓弧場地平-凹相關性的相干函數(shù)的推導過程；最后，基于上述理論和方法，開發(fā)了分層圓弧場地的地下地震動模擬程序，并通過數(shù)值算例給出了模擬結(jié)果與目標結(jié)果的擬合程度，驗證了該地下地震動模擬理論和程序的合理性和可靠性。