基于聚類橢球模型的不確定性傳播分析

， ，

(1.廣東美的暖通設(shè)備有限公司，佛山 538311；2.湖南大學(xué) 機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，長沙 410082)

1 引 言

不確定性廣泛存在于結(jié)構(gòu)的幾何特征、材料屬性、加工誤差和載荷中，正確有效地度量結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響，對于工程結(jié)構(gòu)的可靠性分析以及結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)等具有重要指導(dǎo)意義[1，2]。目前，利用概率模型來度量參數(shù)的不確定性理論因其數(shù)學(xué)理論完善、不確定性度量和傳播過程相對準(zhǔn)確而廣泛用于工程界。然而，概率模型對不確定性參數(shù)的信息需求量大，實(shí)際工程中獲取結(jié)構(gòu)多維不確定性參數(shù)的精確聯(lián)合概率密度函數(shù)往往存在較大的困難[3]。針對概率方法度量不確定性存在的困難，目前已發(fā)展多種非概率方法來克服其不足，其中包括證據(jù)理論[4]、可能性理論[5]、模糊集理論[6]、information-gap理論[7]和凸模型理論[3]等。

由于不確定性參數(shù)的邊界易于確定，基于有界不確定性思想，Ben-Haim等[3，8]于20世紀(jì)90年代提出了利用非概率凸模型來度量不確定性參數(shù)的理論，隨著非概率模型的發(fā)展，這一理念慢慢為科學(xué)界和工程界所接受。William等[9，10]基于凸模型與矩陣攝動理論分析了結(jié)構(gòu)靜力位移及特征值。邱志平等[11]基于凸集方法提出了一種具有很大不確定性的非隨機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化方法。楊曉偉等[12]基于區(qū)間凸模型和矩陣攝動法提出了基于擴(kuò)充單元的靜力區(qū)間有限元法。蘇靜波等[13]提出了一種區(qū)間有限元計(jì)算方法，并將區(qū)間有限元分析方法從一維桿件結(jié)構(gòu)拓廣到二維平面結(jié)構(gòu)分析。王曉軍等[14,15]基于凸模型提出一種可靠性方法，證明該方法在概率與非概率之間的相容性，并將概率、模糊集和非概率等模型進(jìn)行混合可靠性分析。以上研究都是利用單個(gè)凸集模型描述結(jié)構(gòu)的不確定性參數(shù)，且盡管單凸集模型建模過程日臻完善，但其建模過程未能完全考慮不確定性參數(shù)樣本的實(shí)際分散情況。

本文基于聚類橢球模型CEM(Cluster Ellipsoid Model)[16]描述結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性，并引入傳統(tǒng)非概率不確定性傳播方法和功能度量法提出兩種非概率不確定性傳播策略。首先，針對結(jié)構(gòu)不確定性參數(shù)的不同分布屬性，構(gòu)建與之對應(yīng)的聚類橢球模型;然后,引入傳統(tǒng)不確定性傳播方法對結(jié)構(gòu)響應(yīng)進(jìn)行泰勒線性展開，采用功能度量法對不確定性參數(shù)空間進(jìn)行轉(zhuǎn)換，以求解結(jié)構(gòu)響應(yīng)的邊界；最后，通過三個(gè)算例分析，并與蒙特卡洛模擬進(jìn)行比較，驗(yàn)證本文方法的有效性和優(yōu)越性。

2 聚類橢球模型

由于采用橢球模型描述不確定性參數(shù)具有概念清晰、模型簡單和易于處理多變量問題的優(yōu)點(diǎn)，且一定程度上可描述不確定性參數(shù)之間的相關(guān)性，從而橢球模型得到了廣泛的研究。設(shè)n維不確定性參數(shù)X=(X1,X2,…,Xn)T的邊界區(qū)間為XI=[XL,XR]，橢球模型的數(shù)學(xué)描述可表示為[17]

Ex={X|(X-XC)TΩx(X-XC)≤1}

XC=(XR+XL)/2,XW=(XR-XL)/2

(1)

式中 上標(biāo)C，W，R和L分別為橢球中點(diǎn)、橢球半徑以及參數(shù)上界和下界；Ωx為橢球模型的特征矩陣；參數(shù)不確定度定義為lev=XW/XC。二維不確定性參數(shù)橢球模型如圖1所示。

近年來，基于橢球模型的不確定性分析方法在工程中得到廣泛的研究。然而，式(1)的橢球模型忽略了一個(gè)客觀情況，即當(dāng)不確定參數(shù)的樣本點(diǎn)呈現(xiàn)多個(gè)明顯聚集的特點(diǎn)時(shí)，所有樣本的外觀形貌并非呈一個(gè)橢球的形狀。如果仍然采用單一橢球模型構(gòu)建參數(shù)的不確定橢球區(qū)域，勢必會擴(kuò)大參數(shù)的不確定性域，導(dǎo)致不確定性傳播分析結(jié)果過于保守。針對這一問題，為了更合理地描述不確定參數(shù)，本文采用聚類橢球模型CEM(Cluster Ellipsoid Model)[16]描述不確定性參數(shù)：

(2)

式中XC,j為第j個(gè)聚類橢球集的中點(diǎn)，Ωjx為第j個(gè)聚類橢球集的橢球特征矩陣，U為聚類橢球凸集并集。以二維不確定性參數(shù)為例，當(dāng)樣本點(diǎn)具有兩個(gè)子橢球模型時(shí)，根據(jù)橢球中心點(diǎn)的位置，可將其分為相交聚類橢球模型和不相交聚類橢球模型，如圖2所示。

同理，對于高維不確定參數(shù)，多聚集下的樣本點(diǎn)同樣可獲得相交和不相交的聚類橢球模型，聚集的數(shù)目決定于樣本點(diǎn)的分布特征。

3 不確定性傳播分析

對于一般的不確定性結(jié)構(gòu)，其響應(yīng)函數(shù)可表述為

y=g(X)

(3)

式中y為結(jié)構(gòu)響應(yīng),X為不確定性參數(shù)向量,g(X)為結(jié)構(gòu)響應(yīng)函數(shù)。當(dāng)采用聚類橢球模型描述結(jié)構(gòu)不確定性參數(shù)時(shí)，結(jié)構(gòu)響應(yīng)不是一個(gè)確定的值，而是一個(gè)區(qū)間。

圖1 二維橢球模型

Fig.1 Two -dimensional ellipsoid model

圖2 二維聚類橢球模型

Fig.2 Two -dimensional CEM

3.1 基于傳統(tǒng)非概率不確定性的傳播策略

在傳統(tǒng)的非概率不確定性傳播分析方法中，結(jié)構(gòu)響應(yīng)通常在橢球中心點(diǎn)XC處進(jìn)行泰勒一階展開。類似地，本文采用聚類橢球描述不確定性參數(shù)，結(jié)構(gòu)響應(yīng)分別在各個(gè)聚類子橢球中點(diǎn)XC,j處進(jìn)行泰勒一階展開，則結(jié)構(gòu)響應(yīng)可近似表示為

g(XC,j)+gT(XC,j)(X-XC,j)

(4)

式中yj為第j個(gè)聚類子橢球域內(nèi)的近似結(jié)構(gòu)響應(yīng)。根據(jù)凸集理論，結(jié)構(gòu)響應(yīng)的極值將出現(xiàn)在各個(gè)聚類子橢球域邊界上[18]。因此，將求解有界不確定性結(jié)構(gòu)響應(yīng)的邊界問題轉(zhuǎn)化為在(X-XC,j)TΩx,j(X-XC,j)=1約束條件下求解極值問題。由拉格朗日乘子法可得到不確定性結(jié)構(gòu)響應(yīng)的邊界：

(5)

則可分別對式(5)取最大值和最小值求得結(jié)構(gòu)響應(yīng)值的上界和下界，

(6)

在聚類橢球模型不確定性傳播分析中，將結(jié)構(gòu)響應(yīng)分別在各個(gè)聚類子橢球中點(diǎn)XC,j處進(jìn)行泰勒一階展開，能高效地獲取結(jié)構(gòu)響應(yīng)上下界。

3.2 基于功能度量法的不確定性傳播策略

功能度量法[19]是一種逆可靠度分析方法，在已知可靠性指標(biāo)的情況下，獲取相應(yīng)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)極限狀態(tài)方程。由可靠性分析可知，可靠性指標(biāo)的幾何意義是坐標(biāo)原點(diǎn)到極限狀態(tài)方程的最短距離，對應(yīng)在極限狀態(tài)方程上的點(diǎn)可稱為最可能失效點(diǎn)MPP(Most Probable Point)，也是結(jié)構(gòu)響應(yīng)的極值點(diǎn)。因此，計(jì)算結(jié)構(gòu)響應(yīng)的邊界可以轉(zhuǎn)換為在標(biāo)準(zhǔn)單位球殼上求解對應(yīng)MPP點(diǎn)處的響應(yīng)極值。為方便描述，以二維不確定性問題為例，取聚類橢球中的某個(gè)子橢球進(jìn)行分析。

首先，對結(jié)構(gòu)中不確定性參數(shù)X進(jìn)行空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換：

Vi=(Xi-XCi)/XWi(i=1,2)

(7)

結(jié)構(gòu)不確定性參數(shù)的原橢球模型Ex可轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)橢球空間下的橢球模型Ev，

Ev={V|VTΩvV≤1}

(8)

式中Ωv為標(biāo)準(zhǔn)V空間中的橢球特征矩陣。

對Ωv進(jìn)行特征值分解，設(shè)Λ為Ωv的特征值對角陣，Q為正交陣，即QTΩvQ=Λ。引入向量δ=Λ1/2QT(X-XC)，進(jìn)一步將Ev轉(zhuǎn)化為δ空間下的標(biāo)準(zhǔn)單位球模型Eδ：

Eδ={δ|δTδ≤1}

(9)

同時(shí)，結(jié)構(gòu)響應(yīng)函數(shù)可改寫為

Y=G(δ)

(10)

由凸集理論可知，結(jié)構(gòu)響應(yīng)的極值出現(xiàn)在橢球區(qū)域的邊界上[18]?？紤]不確定性參數(shù)空間的轉(zhuǎn)換為線性轉(zhuǎn)換，空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后，結(jié)構(gòu)響應(yīng)的極值仍然出現(xiàn)在單位球殼上。因此，為了求解結(jié)構(gòu)響應(yīng)，可建立式(11)的優(yōu)化模型。

min.G(δ)

s.t.δTδ=1

(11)

采用功能度量法將式(11)中響應(yīng)的求解轉(zhuǎn)化為MPP點(diǎn)的求解：

s.t.δTδ=1

(12)

式中γ為迭代矢量方向和結(jié)構(gòu)響應(yīng)梯度矢量方向的夾角，δ*為極限狀態(tài)方程中的MPP，上述方法的迭代過程如下。

(1) 給定初始點(diǎn)δi，令di=δi。

(3) 如果γi≤ε，則δ*=δi，其中ε是一極小的值；否則，跳轉(zhuǎn)到步驟(4)。

(4) 將搜索方向更新為di + 1=di/‖di‖+G(δi)/‖G(δi)‖，且δi + 1=di + 1/‖di + 1‖，返回步驟(2)。迭代過程如圖3所示。

上述迭代過程能高效地獲取系統(tǒng)響應(yīng)的極值點(diǎn)，對極值點(diǎn)進(jìn)行空間轉(zhuǎn)換即可獲取響應(yīng)的上下邊界。不失一般性地，當(dāng)聚類橢球中存在多個(gè)子聚類橢球模型時(shí)，仍可參照3.1節(jié)的傳播策略，將聚類橢球分解成多個(gè)子橢球模型，然后在各個(gè)子橢球模型內(nèi)進(jìn)行不確定性傳播分析，根據(jù)式(6)，將多個(gè)結(jié)構(gòu)響應(yīng)結(jié)果中的最大值作為結(jié)構(gòu)響應(yīng)的上邊界，最小值作為結(jié)構(gòu)響應(yīng)的下邊界，即得到結(jié)構(gòu)響應(yīng)的最終邊界值。

圖3 功能度量法迭代示意圖

Fig.3 Iterative sketch map of PMA

4 算例分析

4.1 數(shù)值算例

考慮含二維不確定性參數(shù)的線性結(jié)構(gòu)響應(yīng)函數(shù)：

y=0.1[X1sin(ωt)-X2cos(ωt)]

(13)

式中ω=π/180rad/h(0≤ωt≤π/2),t為時(shí)間，且不確定性參數(shù)的邊緣區(qū)間為XI1=[1.05,4.93]和XI2=[2.06,5.95]。分別采用相交聚類橢球模型和不相交聚類橢球模型來描述不確定性參數(shù)：

運(yùn)用上述兩種不確定性傳播策略，分別對此兩類聚類橢球模型進(jìn)行不確定性傳播分析，同時(shí)采用MCS計(jì)算不確定性傳播的結(jié)果，將三種方法的結(jié)果進(jìn)行比較，如圖4、表1和表2所示。其中圖4是相交聚類橢球和不相交聚類橢球?qū)?yīng)的傳播結(jié)果。參數(shù)的不確定度分別為64.9%和48.6%，但由于此結(jié)構(gòu)響應(yīng)函數(shù)為線性函數(shù)，第一種傳播策略計(jì)算得到的響應(yīng)邊界和MCS非常接近；同時(shí)，第二種傳播策略的計(jì)算結(jié)果與MCS的計(jì)算結(jié)果基本一致。由此表明，針對線性結(jié)構(gòu)，本文提出的兩種策略都能準(zhǔn)確地求解不確定性傳播問題。

表1 相交聚類橢球的傳播結(jié)果

Tab.1 Propagation results for cross CEM

t策略一策略二MCSyRyLyRyLyRyL-45-0.313-0.751-0.313-0.751-0.313-0.750-35-0.317-0.752-0.317-0.752-0.317-0.752-30-0.312-0.745-0.312-0.745-0.312-0.745-25-0.303-0.732-0.303-0.732-0.303-0.732-20-0.290-0.714-0.290-0.714-0.291-0.714-15-0.274-0.692-0.274-0.692-0.274-0.6910-0.206-0.595-0.206-0.595-0.206-0.595

4.2 懸臂梁結(jié)構(gòu)

如圖5所示的懸臂梁結(jié)構(gòu)，對固定端進(jìn)行受力分析，可建立結(jié)構(gòu)響應(yīng)函數(shù)為

(14)

式中L為懸臂梁長度，b和h分別為梁截面的寬和高，Px=50000 N和Py=25000 N分別為作用于梁上的水平力和垂直力。L,b和h為三個(gè)不確定性參數(shù)，其邊緣區(qū)間分別為bI=[90,110] mm,hI=[180,220] mm,LI=[900,1100] mm。

由于懸臂梁為一體式結(jié)構(gòu)，加工工藝過程一致，所以三個(gè)幾何參數(shù)的不確性本質(zhì)分布呈現(xiàn)單峰分布，致使利用聚類橢球模型可獲得的不確定聚類橢球域?yàn)?/p>

表2 不相交聚類橢球的傳播結(jié)果

Tab.2 Propagation results for non-cross CEM

t策略一策略二MCSyRyLyRyLyRyL-45-0.238-0.697-0.238-0.697-0.238-0.697-35-0.246-0.702-0.246-0.702-0.247-0.702-30-0.247-0.699-0.247-0.699-0.247-0.699-25-0.246-0.692-0.246-0.692-0.246-0.692-20-0.242-0.681-0.242-0.681-0.243-0.681-15-0.236-0.666-0.236-0.666-0.238-0.6660-0.218-0.623-0.218-0.623-0.219-0.623

圖4 不確定性傳播結(jié)果

Fig.4 Uncertain propagation results

利用上述兩種不確定性傳播策略對懸臂梁結(jié)構(gòu)響應(yīng)進(jìn)行傳播分析，傳播結(jié)果列入表3。由于懸臂梁結(jié)構(gòu)具有較強(qiáng)的非線性，且其幾何參數(shù)的不確定度為10%，導(dǎo)致表3中傳統(tǒng)不確定性傳播策略的計(jì)算結(jié)果與MCS的結(jié)果相對誤差較大，分別為3.88%和3.02%；而基于功能度量法的不確定性傳播策略的結(jié)果較MCS的結(jié)果相對誤差很小，分別為0.92%和0.65%。說明針對強(qiáng)非線性結(jié)構(gòu)問題，傳統(tǒng)不確定性傳播策略計(jì)算的響應(yīng)存在較大誤差，而基于功能度量法的傳播策略仍然能準(zhǔn)確地計(jì)算響應(yīng)邊界。

4.3 智能運(yùn)動手環(huán)

隨著現(xiàn)代科技的發(fā)展，智能手環(huán)已得到廣泛使用[20]。智能手環(huán)通常是由元器件高度集成，因此需要一些滿足特殊條件的機(jī)械、熱和電氣性能的電子包裝設(shè)計(jì)，如圖6所示。智能手環(huán)要求在高溫下能可靠工作，本算例將分析在高溫狀態(tài)下，手環(huán)顯示器和主板焊接處的應(yīng)力波動情況，應(yīng)力響應(yīng)函數(shù)如式(15)所示，為了便于計(jì)算分析，應(yīng)力響應(yīng)函數(shù)采用二次響應(yīng)面獲得[20]。由于存在加工誤差，外殼、主板和支架的厚度為不確定性參數(shù)，區(qū)間分別為XI1=[0.97,1.03]，XI2=[0.79,0.85]，XI3=[1.89,1.95] mm。

表3 不確定性傳播結(jié)果

Tab.3 Uncertain propagation results

gL/MPagR/MPaMCS-150.02-237.96策略一-144.23(3.88%)-230.77(3.02%)策略二-148.64(0.92%)-239.33(0.65%)

圖5 懸臂梁結(jié)構(gòu)

Fig.5 A cantilever beam

圖6 智能手環(huán)

Fig.6 A smart watch

y= 0.025X1X2-0.2751X2+0.695X1X3+0.0125X2X3-0.9103X21+0.1007X22-2.372X23+66.7338

(15)

智能運(yùn)動手環(huán)零部件甚多，且不同部位的零部件加工工藝和制造精度等不盡相同，致使外殼、主板和支架三個(gè)幾何參數(shù)的不確定性呈多峰分布。因此，利用聚類橢球模型可獲得不確定聚類橢球域?yàn)?/p>

對智能運(yùn)動手環(huán)應(yīng)力進(jìn)行傳播分析，傳播結(jié)果列入表4。由表4可知，兩種策略求解的應(yīng)力響應(yīng)邊界和MCS求解的結(jié)果非常接近，盡管應(yīng)力響應(yīng)采用了二次響應(yīng)面函數(shù)近似，但由于參數(shù)的不確定度較小(分別為3%，3.7%和1.6%)，從而聚類橢球域內(nèi)的應(yīng)力響應(yīng)函數(shù)的非線性程度較弱。兩種策略的計(jì)算結(jié)果與MCS結(jié)果的相對誤差分別為0.76%、0.67%和0.02%、0.09%。因此，在解決小不確定度和弱非線性結(jié)構(gòu)傳播問題時(shí)，基于功能度量法的傳播策略的計(jì)算精度比傳統(tǒng)不確定性傳播策略高。

表4 不確定性傳播結(jié)果

Tab.4 Uncertain propagation results

gL/MPagR/MPaMCS24.484441.7811策略一24.6695(0.76%)42.0613(0.67%)策略二24.4798(0.02%)41.8186(0.09%)

5 結(jié) 語

本文基于聚類橢球模型，引入傳統(tǒng)非概率不確定性傳播方法和功能度量法，提出兩種不確定性傳播策略。傳統(tǒng)非概率不確定性傳播策略具有解析的結(jié)構(gòu)響應(yīng)表達(dá)式，能夠快速計(jì)算結(jié)構(gòu)響應(yīng)的邊界，但由于該策略進(jìn)行了線性化近似，故而只有針對弱非線性或小不確定度的結(jié)構(gòu)才能給出較準(zhǔn)確的響應(yīng)邊界；基于功能度量法的不確定性傳播策略由于沒有做任何近似，因此針對大不確定度及強(qiáng)非線性結(jié)構(gòu)都能計(jì)算得到準(zhǔn)確的響應(yīng)邊界，但相對于傳統(tǒng)傳播策略的響應(yīng)具有解析性，其計(jì)算簡便性不及傳統(tǒng)傳播策略。綜上分析，本文的兩種傳播策略各有所長，可依據(jù)結(jié)構(gòu)響應(yīng)函數(shù)的非線性程度、求解精度要求以及不確定度大小等選擇合理的傳播策略。