基于Armijo準(zhǔn)則的自適應(yīng)穩(wěn)定轉(zhuǎn)換法

，

(大連理工大學(xué) 工程力學(xué)系 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，大連 116024)

1 引 言

在實(shí)際工程應(yīng)用中，制造和測(cè)量引起的不確定性無處不在，包括材料不確定性、載荷不確定性和幾何不確定性，而結(jié)構(gòu)可靠度分析方法[1-8]是處理不確定性問題，保證結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)安全的有效工具。一次二階矩法FORM(First Order Reliability Method)在工程界應(yīng)用廣泛，具有概念清晰、求解簡(jiǎn)單和計(jì)算效率高的優(yōu)點(diǎn)。FORM的主要思想是將結(jié)構(gòu)失效概率的計(jì)算轉(zhuǎn)化為求解失效域內(nèi)聯(lián)合概率密度最大的點(diǎn)，簡(jiǎn)稱為最可能失效點(diǎn)MPP(Most Probable failure Point)，該點(diǎn)的幾何意義是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間內(nèi)極限狀態(tài)面上離原點(diǎn)最近的點(diǎn)，因此FORM的本質(zhì)是非線性約束優(yōu)化問題。

HL-RF算法[9,10]是求解MPP的一種常用梯度類迭代方法，計(jì)算效率高，但對(duì)于高非線性問題會(huì)出現(xiàn)周期解或混沌解等。為了改善HL-RF算法的穩(wěn)定性，近幾年出現(xiàn)了多種改進(jìn)方法。Liu等[11]將merit函數(shù)引入HL-RF算法中，提出MHL-RF算法，用于克服HL-RF算法迭代過程不收斂的問題。Lee等[12]引入一個(gè)檢測(cè)之字型振蕩的判據(jù)，對(duì)迭代式進(jìn)行改進(jìn)，達(dá)到了減小振蕩的目的。Santosh等[13]引入與MHL-RF算法相同的merit函數(shù)，且結(jié)合Armijo準(zhǔn)則對(duì)MHL-RF算法進(jìn)行改進(jìn)。Zhang等[14]引入一個(gè)不可微merit函數(shù)，并結(jié)合Armijo準(zhǔn)則提出了改進(jìn)的HL-RF(iHL-RF)算法。Keshtegar[15]將混沌動(dòng)力學(xué)的穩(wěn)定轉(zhuǎn)換法與共軛梯度搜索方法結(jié)合，提出了混沌共軛穩(wěn)定轉(zhuǎn)換法CCSTM(Chaotic Conjugate Stability Transformation Method)，可以有效地改善HL-RF的收斂性，且具有較高的計(jì)算效率。楊迪雄等[16]通過混沌動(dòng)力學(xué)分析了一次二階矩法的數(shù)值不穩(wěn)定性機(jī)理，并基于混沌控制理論的穩(wěn)定轉(zhuǎn)換法STM(Stability Transformation Method)提出了改善一次二階矩方法收斂性的混沌控制CC(Chaos Control)算法[6,17]。貢金鑫等[18]通過引入一種步長(zhǎng)參數(shù)，提出了有限步長(zhǎng)FSL(Finite-Step Length)算法，實(shí)現(xiàn)了收斂性的改善。孟增等[19]針對(duì)HL-RF迭代過程振蕩具有方向性的特點(diǎn)，對(duì)CC算法進(jìn)行修正，提出了方向性穩(wěn)定轉(zhuǎn)換法DSTM(Directional Stability Transformation Method)，不僅收斂性得到改善，而且計(jì)算效率比CC算法更高。在求解中等或高度非線性問題時(shí)，上述各類改進(jìn)方法都是通過減小步長(zhǎng)(或控制因子)來提高迭代過程的數(shù)值穩(wěn)定性，而減小步長(zhǎng)(或控制因子)會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量增加，因此對(duì)FORM而言，一個(gè)穩(wěn)定的迭代方法不僅需要具備搜索MPP的準(zhǔn)確性，而且需要盡量減小計(jì)算量。

本文將Armijo準(zhǔn)則與DSTM算法進(jìn)行結(jié)合，提出了基于Armijo準(zhǔn)則的自適應(yīng)穩(wěn)定轉(zhuǎn)換法AASTM(Armijo -based Adaptive Stability Transformation Method)算法。本文算法采納了DSTM算法的方向性混沌控制策略，而控制因子的大小通過Armijo準(zhǔn)則進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整，使算法既保證了迭代收斂，又提高了計(jì)算效率。

2 Armijo準(zhǔn)則

Armijo準(zhǔn)則是求解無約束優(yōu)化問題的一種非精確一維搜索準(zhǔn)則，最早由Armijo等[20,21]提出,該準(zhǔn)則的目的是保證優(yōu)化算法能夠收斂至最小值。

設(shè)有一個(gè)無約束最小值優(yōu)化問題，可表示為

min.f(u) (u∈Rn)

(1)

式中Rn為n維歐氏空間。采用梯度類迭代算法求解該優(yōu)化問題時(shí),通常采用迭代式:

uk +1=uk+αkdk

(2)

式中αk為第k個(gè)迭代步的步長(zhǎng)，dk表示下降方向，與目標(biāo)函數(shù)的負(fù)梯度有關(guān)。

在求解非線性優(yōu)化問題時(shí)，通常采用非精確一維搜索，如基于Armijo準(zhǔn)則的一維搜索。Armijo準(zhǔn)則的主要思想是在uk點(diǎn)確定了下降方向dk后，只需由式(2)得到下一個(gè)迭代點(diǎn)uk +1，然后使目標(biāo)函數(shù)值滿足一定的下降，而下降量需要滿足不等式關(guān)系：

f(uk +1)≤f(uk)+ραk(gk)Tdk

(3)

式中g(shù)k=f(uk)為目標(biāo)函數(shù)f在迭代點(diǎn)uk處的梯度向量；ρ為常數(shù)，且滿足ρ∈(0,0.5)。

對(duì)于FORM，計(jì)算MPP和可靠度指標(biāo)β需要求解優(yōu)化問題：

s.t.G(u)=0

(4)

式中u=T(x)為隨機(jī)變量x在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間內(nèi)的映射，通常需要由物理隨機(jī)空間變換到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間；G(u)為極限狀態(tài)函數(shù)。該優(yōu)化問題的最優(yōu)解u*即為MPP，可靠度指標(biāo)為β=‖u*‖。

Zhang等[14]提出的iHL-RF算法采用Armijo準(zhǔn)則，且將不可微merit函數(shù)(5)作為目標(biāo)函數(shù)。

(5)

式中c=2‖u‖/‖G(u)‖。由此，式(4)可轉(zhuǎn)化為如式(1)所示的無約束優(yōu)化問題，基于Armijo準(zhǔn)則求解該優(yōu)化問題，采用式(2)進(jìn)行迭代，每一個(gè)迭代步的步長(zhǎng)αk需滿足式(3)，而式(3)中目標(biāo)函數(shù)的梯度gk和下降方向dk可分別表示為

gk=f(uk)=uk+ck·sign[G(uk)]G(uk)

(6)

(7)

通過Armijo準(zhǔn)則，iHL-RF算法實(shí)現(xiàn)了自適應(yīng)調(diào)整每個(gè)迭代步的步長(zhǎng)，可以有效減小振蕩次數(shù)，保證迭代收斂性。但同時(shí)為了獲得自適應(yīng)步長(zhǎng)，需要提供額外的計(jì)算量，且振蕩的控制過程未考慮振蕩具有方向性的特點(diǎn)，由此會(huì)導(dǎo)致迭代步增加。

3 方向性穩(wěn)定轉(zhuǎn)換法

3.1 振蕩的方向性

采用HL-RF算法搜索MPP的迭代歷程主要分為收斂、振蕩收斂和不收斂三種類型[22],如圖1所示。圖1(a)連續(xù)三個(gè)迭代點(diǎn)的連線構(gòu)成的夾角都是鈍角，且相鄰迭代點(diǎn)距離越來越小，這種迭代歷程屬于收斂。圖1(b,c)連續(xù)三個(gè)迭代點(diǎn)的連線構(gòu)成的夾角會(huì)出現(xiàn)銳角的情況，但圖1(b)的振幅隨著迭代逐漸減小，且相鄰迭代點(diǎn)距離也越來越小，這種迭代歷程屬于振蕩收斂；而圖1(c)的振幅及相鄰迭代點(diǎn)的距離會(huì)逐漸增大，這種迭代歷程屬于不收斂。

在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間內(nèi)，通常選取原點(diǎn)作為初始迭代點(diǎn)u0。在原點(diǎn)與迭代點(diǎn)連線的垂直方向上，如果連續(xù)兩個(gè)迭代步出現(xiàn)迭代點(diǎn)迂回現(xiàn)象，則可判定此時(shí)發(fā)生了迭代振蕩，同時(shí)可以認(rèn)為原點(diǎn)與迭代點(diǎn)連線的垂直方向是迭代振蕩的主方向，減小該方向上的振幅可以實(shí)現(xiàn)對(duì)迭代振蕩的控制。

圖1 迭代歷程的三種類型

Fig.1 Three types of iteration history

3.2 方向性穩(wěn)定轉(zhuǎn)換法

穩(wěn)定轉(zhuǎn)換法是混沌動(dòng)力學(xué)控制理論中對(duì)混沌運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行有效控制的一種方法，楊迪雄[6,17]基于此方法對(duì)HL-RF的收斂性進(jìn)行改進(jìn)，提出了CC算法，引入混沌控制因子對(duì)迭代振蕩進(jìn)行控制：

uk +1=uk+λC[F(uk)-uk]

(8)

式中λ為一個(gè)0～1的常數(shù)，表示混沌控制因子，C為一個(gè)n×n維對(duì)合矩陣，一般取為單位矩陣。

比較式(2，8)可以看出，iHL-RF算法采用變步長(zhǎng)，而CC算法采用固定混沌控制因子。除此之外，兩者的迭代式在形式上幾乎一致，且采用相似的振蕩控制機(jī)理，即減小步長(zhǎng)或混沌控制因子，從而實(shí)現(xiàn)振幅和迭代步同時(shí)減小。由于兩者都未考慮振蕩的方向性，迭代收斂后的計(jì)算量會(huì)較大。

對(duì)于上述情況，孟增等[19]提出了方向性穩(wěn)定轉(zhuǎn)換法DSTM，在振蕩的主方向上進(jìn)行混沌控制，而在原點(diǎn)與迭代點(diǎn)連線方向上進(jìn)行放松，其迭代式為

(9)

βk +1={G(uk)-[G(uk)]Tuk}/‖G(uk)‖

(10)

DSTM的混沌控制考慮了振蕩的方向性，不僅可以使迭代方向得到有效的振蕩控制，還能保證迭代步長(zhǎng)不至于過小，從而提高計(jì)算效率。但是，DSTM中的混沌控制因子依然是一個(gè)預(yù)先給定的常數(shù)。當(dāng)給定的控制因子過大時(shí)，DSTM可能迭代不收斂；當(dāng)給定的控制因子過小時(shí)，可能使迭代收斂需要很大的計(jì)算量。因此，如果能自適應(yīng)調(diào)整混沌控制因子，算法的計(jì)算效率和魯棒性就能同時(shí)得到保證。

4 基于Armijo準(zhǔn)則的自適應(yīng)穩(wěn)定轉(zhuǎn)換法

4.1 混沌控制因子的自適應(yīng)調(diào)整策略

由于Armijo準(zhǔn)則可以自適應(yīng)調(diào)整步長(zhǎng)保證收斂，而方向性穩(wěn)定轉(zhuǎn)換法有助于提高計(jì)算效率，因此本文將兩者結(jié)合，提出基于Armijo準(zhǔn)則的自適應(yīng)穩(wěn)定轉(zhuǎn)換法AASTM，通過Armijo準(zhǔn)則對(duì)方向性穩(wěn)定轉(zhuǎn)換法的混沌控制因子進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整，采用迭代式：

(11)

式中 混沌控制因子λk根據(jù)Armijo準(zhǔn)則自適應(yīng)選取，迭代點(diǎn)uk和uk +1需要滿足關(guān)系：

f(uk +1)≤f(uk)+ρλk(gk)Tdk

(12)

式中ρ為0～0.5的常數(shù)，f(·),gk和dk的表達(dá)式分別對(duì)應(yīng)式(5～7)。

在選取λk時(shí)，Armijo準(zhǔn)則采用

λk=0.5m(m=0,1,2,3,…)

(13)

式中m為非負(fù)整數(shù)，從0依次遞增選取，且隨著m值遞增，對(duì)應(yīng)的λk值會(huì)逐漸減半，而式(12)的不等式關(guān)系也會(huì)由不滿足逐漸變?yōu)闈M足。

當(dāng)λk值減小至第一次滿足式(12)時(shí)，選取當(dāng)前的λk值作為方向性穩(wěn)定轉(zhuǎn)換法的混沌控制因子，代入式(11)求得下一個(gè)迭代點(diǎn)，此時(shí)表示通過方向性穩(wěn)定轉(zhuǎn)換法可以實(shí)現(xiàn)對(duì)迭代振蕩的主動(dòng)控制。

當(dāng)λk值無論怎樣減小，式(12)都不能得到滿足時(shí)，表示通過方向性穩(wěn)定轉(zhuǎn)換法對(duì)迭代振蕩的控制失效，而采用放松的可靠度指標(biāo)迭代式(10)會(huì)加劇振蕩。因此，對(duì)于這類情況，需要對(duì)λk設(shè)置下界值λL。當(dāng)λk≤λL時(shí)，將λk值取為λL并作為混沌控制法的控制因子，代入式(8)求得下一個(gè)迭代點(diǎn)。本文設(shè)定λL=0.05。

4.2 算法流程

圖2為基于Armijo準(zhǔn)則的自適應(yīng)穩(wěn)定轉(zhuǎn)換法的流程，具體步驟如下。

(1) 令k=0，選擇隨機(jī)變量的均值x0作為迭代初始點(diǎn)。

(2) 通過JC法或Rosenblatt變換，將非正態(tài)隨機(jī)變量xk變換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間(U空間)內(nèi)的隨機(jī)變量uk，且令每步的混沌控制因子初始值為λk=1。 (3) 判斷λk值是否低于下界值λL，如果λk>λL，則轉(zhuǎn)至步驟(4)；否則將λk值取為λL，并代入式(8)求得下一步迭代點(diǎn)uk +1，然后轉(zhuǎn)至步驟(5)。

(4) 由式(12)判定當(dāng)前迭代步是否需要減小混沌控制因子，如果式(12)不滿足，采用式(13)對(duì)λk值減半，然后返回步驟(3)；否則輸出λk值并代入式(11)，求得下一步迭代點(diǎn)uk +1。

(5) 將隨機(jī)變量uk +1從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間轉(zhuǎn)換至原物理隨機(jī)空間(X空間)，得到xk +1。

圖2 基于Armijo準(zhǔn)則的自適應(yīng)穩(wěn)定轉(zhuǎn)換法的流程

Fig.2 Flowchart of the Armijo -based adaptive stability transformation method

(6) 計(jì)算前后兩個(gè)迭代點(diǎn)之間的相對(duì)變化是否滿足不等式‖xk +1-xk‖/‖xk +1‖≤ε，ε為規(guī)定的允許誤差。如果滿足，則停止迭代，否則轉(zhuǎn)至步驟(2)。

5 算例分析

基于四個(gè)非線性算例，將本文提出的AASTM算法和其他四種算法(包括HL-RF，iHL-RF，CC和DSTM)進(jìn)行性能比較。迭代初始點(diǎn)取隨機(jī)變量的均值，對(duì)應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間內(nèi)的原點(diǎn)；各算法的停止準(zhǔn)則為‖xk +1-xk‖/‖xk +1‖≤10-4。

5.1 二維非線性數(shù)值算例

式(14)是一個(gè)含二次多項(xiàng)式的非線性極限狀態(tài)函數(shù)[23]，該函數(shù)含有兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量x1和x2，均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

g=x1-1.7x2+α(x1+1.7x2)2+5

(14)

式中 參數(shù)α為二次項(xiàng)的系數(shù)，控制該極限狀態(tài)函數(shù)的非線性程度，α值越大，函數(shù)的非線性程度越高，取α=1.5。采用HL-RF，iHL-RF，CC，DSTM和AASTM五種算法分析該算例，其中CC和DSTM的混沌控制因子設(shè)為0.05。

圖3 不同方法下算例1的MPP搜索路徑

Fig.3 MPP search paths of different methods for example 1

圖3中u1和u2分別對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量x1和x2在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間(U空間)中的映射值，即在U空間內(nèi)呈現(xiàn)算例1關(guān)于不同算法的MPP搜索路徑。從圖3(a)可以看出，采用HL-RF算法搜索MPP會(huì)發(fā)生嚴(yán)重的迭代振蕩，且迭代至最后仍不收斂。從圖3(d)可以看出，DSTM搜索路徑雖然收斂，但收斂結(jié)果不在極限狀態(tài)面上，表明此時(shí)DSTM未能求得MPP。從圖3(b,c,e)可以看出，iHL-RF、CC和AASTM三種算法均能最終搜索至MPP。

各算法最終搜索的結(jié)果列入表1，通過函數(shù)計(jì)算次數(shù)比較各算法的計(jì)算效率(除了iHL-RF和AASTM迭代過程為了自適應(yīng)調(diào)整步長(zhǎng)大小或控制因子需要額外計(jì)算極限狀態(tài)函數(shù)，其他算法的函數(shù)計(jì)算次數(shù)=迭代次數(shù)×(N+1)，N為隨機(jī)變量數(shù))。由表1可以看出，雖然DSTM的函數(shù)計(jì)算次數(shù)最少，但由于收斂時(shí)g(x*)=9.9?0，即收斂失效，DSTM的計(jì)算效率不參與比較。iHL-RF、CC和AASTM三種算法可以得到基本一致的收斂結(jié)果，對(duì)應(yīng)準(zhǔn)確的MPP，且三種算法中AASTM的計(jì)算效率最高。

5.2 兩自由度動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)算例

圖4是一個(gè)兩自由度系統(tǒng)[24]，該系統(tǒng)含有主次兩個(gè)結(jié)構(gòu)。該算例是面向次結(jié)構(gòu)的可靠度分析，而次結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)函數(shù)與系統(tǒng)屬性密切相關(guān)，如式(15)所示：

(15)

表1 算例1計(jì)算結(jié)果

Tab.1 Results for example 1

方法MPP (x*)g(x*)β迭代次數(shù)函數(shù)計(jì)算次數(shù)HL-RF混沌振蕩解————iHL-RF(-2.4411,1.5258)9.9×10-52.878771452CC(-2.4403,1.5261)9.5×10-42.8782168504DSTM(2.5180,-1.3807)9.92.87171854AASTM(-2.4408,1.5263)6.3×10-52.878722152注:x*為MPP轉(zhuǎn)換至物理隨機(jī)空間下的值,g(x*)為MPP對(duì)應(yīng)的極限狀態(tài)函數(shù)值,β為各算法求得的可靠度指標(biāo)。

圖4 含主次結(jié)構(gòu)的兩自由度動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)

Fig.4 Two -degree -of-freedom primary-secondary dynamic system

(16)

式中S0為白噪聲強(qiáng)度；γ=Ms/Mp為質(zhì)量比，Mp和Ms分別為主次結(jié)構(gòu)的質(zhì)量；ωa=(ωp+ωs)/2為平均頻率，ωp和ωs分別為主次結(jié)構(gòu)的自振頻率；ζa=(ζp+ζs)/2為兩自由度系統(tǒng)的平均阻尼比，ζp和ζs分別為主次結(jié)構(gòu)的阻尼比；θ=(ωp-ωs)/ωa為系統(tǒng)的調(diào)諧參數(shù)。該算例包含8個(gè)服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，其分布參數(shù)列入表2。采用五種算法分析該算例，其中CC的混沌控制因子設(shè)為0.05，DSTM的混沌控制因子設(shè)為0.05，0.1和0.2三種情況。

由于該算例的變量數(shù)達(dá)到8個(gè)，不適合在U空間內(nèi)呈現(xiàn)MPP搜索路徑，因此建立了如圖5所示的可靠度指標(biāo)β隨迭代次數(shù)的變化曲線。其中圖5(a)顯示了HL-RF，iHL-RF，CC和AASTM四種算法的計(jì)算結(jié)果，圖5(b)顯示了DSTM在三種混沌控制因子下的計(jì)算結(jié)果，并與AASTM的結(jié)果進(jìn)行了比較。從圖5(a)可以看出，HL-RF算法的計(jì)算結(jié)果會(huì)發(fā)生周期為2的振蕩，而iHL-RF，CC和AASTM三種算法能夠迭代收斂，且從迭代歷程可以看出，AASTM和iHL-RF完成收斂的迭代次數(shù)小于30，而CC的迭代次數(shù)較多。從圖5(b)可以看出，DSTM在不同的混沌控制因子下，會(huì)出現(xiàn)不同的迭代效果，混沌控制因子在λ=0.2時(shí)會(huì)出現(xiàn)周期振蕩，而較小的混沌控制因子(λ=0.05和λ=0.1)均能保證迭代收斂，且λ=0.1時(shí)完成收斂的迭代次數(shù)較少，但比AASTM的迭代次數(shù)多。

表2 算例2的隨機(jī)變量分布情況

Tab.2 Distributions of the random variables for example 2

隨機(jī)變量分布類型均值標(biāo)準(zhǔn)差Mp對(duì)數(shù)正態(tài)10.1Ms對(duì)數(shù)正態(tài)0.010.001Kp對(duì)數(shù)正態(tài)10.2Ks對(duì)數(shù)正態(tài)0.010.002ζp對(duì)數(shù)正態(tài)0.050.02ζs對(duì)數(shù)正態(tài)0.020.01Fs對(duì)數(shù)正態(tài)151.5S0對(duì)數(shù)正態(tài)10010

表3比較了算例2在各算法下最終的迭代結(jié)果，HL-RF和DSTM(λ=0.2)最終得到周期振蕩解，而iHL-RF，CC，DSTM(λ=0.05)，DSTM(λ=0.1)和AASTM最終得到的可靠度指標(biāo)β基本一致，相比之下AASTM的函數(shù)計(jì)算次數(shù)最少，即計(jì)算效率最高。

5.3 屋架算例

圖6(a)是一個(gè)受均布載荷q(單位：N/m)作用下的屋架結(jié)構(gòu)[25]，該結(jié)構(gòu)為對(duì)稱結(jié)構(gòu)，中上弦桿(AD、DC、CF和FB)和受壓腹桿(DE和FG)的材料為鋼筋混凝土，而下弦桿(AE、EG和GB)和受拉腹桿(CE和CG)的材料為鋼。均布載荷q可以等效為節(jié)點(diǎn)載荷P=ql/4，屋架的各尺寸參數(shù)如圖6(b)所示。將屋架頂端C的垂直撓度不超過0.03 m作為約束條件，可得該結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)函數(shù)為

圖5 算例2的可靠度指標(biāo)迭代歷程

Fig.5 Iteration history of reliability index for example 2

表3 算例2計(jì)算結(jié)果

Tab.3 Results for example 2

方法βg(x*)迭代次數(shù)函數(shù)計(jì)算次數(shù)HL-RF周期振蕩解———iHL-RF2.12242.4×10-326308CC2.11901.3×10-21211089DSTM(λ=0.05)2.12312.2×10-584756DSTM(λ=0.1)2.12314.8×10-649441DSTM(λ=0.2)周期振蕩解———AASTM2.12313.7×10-424294

(17)

式中Ac和Ec分別為材料是鋼筋混凝土的桿件截面積和彈性模量，As和Es分別為材料是鋼的桿件截面積和彈性模量，l為屋架跨度。該算例包含 6個(gè) 服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，其分布參數(shù)列入表4。采用五種算法分析該算例，其中CC和DSTM的混沌控制因子設(shè)為0.05。

由于變量數(shù)較多，該算例同樣需要通過可靠度指標(biāo)β隨迭代次數(shù)變化曲線呈現(xiàn)迭代歷程，如圖7所示?？梢钥闯?，所有算法都能迭代收斂，但完成收斂的迭代次數(shù)不同，其中CC算法迭代次數(shù)在120左右，而其他四種算法的迭代次數(shù)小于60。通過局部放大圖可知，HL-RF，iHL-RF和AASTM的迭代次數(shù)小于6，其中AASTM和iHL-RF的迭代點(diǎn)完全重合。

圖6 屋架算例示意

Fig.6 Schematic diagram of roof truss example

表4 算例3的隨機(jī)變量分布情況

Tab.4 Distributions of the random variables for example 3

隨機(jī)變量分布類型均值標(biāo)準(zhǔn)差q/(N·m-1)正態(tài)200001400l/m正態(tài)120.12Ac/m2正態(tài)9.82×10-45.9852×10-5Ac/m2正態(tài)0.040.0048Es/Pa正態(tài)1×10116×109Ec/Pa正態(tài)2×10101.2×109

由表5可知，除CC算法外，算例3在其他四種算法下求得的可靠度指標(biāo)均為2.4212。將隨機(jī)變量的均值代入式(17)，可得均值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極限狀態(tài)函數(shù)值g0=6.6×10-3，接近于0，因此該算例取g(x*)/g0表征各算法求得的MPP與極限狀態(tài)面的接近程度。CC算法的g(x*)/g0值是其他算法的102～105倍，可見混沌控制因子為0.05使CC算法出現(xiàn)了收斂早熟現(xiàn)象，且收斂效率很低(函數(shù)計(jì)算次數(shù)為805)。由于該算例的非線性程度不高，采用HL-RF算法可以很快收斂(函數(shù)計(jì)算次數(shù)為35)，而DSTM算法的計(jì)算效率(函數(shù)計(jì)算次數(shù)為392)同樣受混沌控制因子過小的影響。iHL-RF和AASTM算法的迭代結(jié)果相同，且計(jì)算效率并列第一(函數(shù)計(jì)算次數(shù)均為33)。

5.4 飛機(jī)加筋板屈曲算例

圖8是含多個(gè)圓形開孔和多條曲筋的加筋板[26]，又稱曲筋板，最初由NASA設(shè)計(jì)、制造及測(cè)試[27]，主要用于飛機(jī)發(fā)動(dòng)機(jī)吊架肋翼。曲筋板的長(zhǎng)和寬分別為711.2 mm和609.6 mm，板中含有4條曲筋和2個(gè)圓形開孔，圓孔周邊由厚圓環(huán)加強(qiáng)，其中大小圓孔的圓環(huán)寬度分別為10.55 mm和10.25 mm，圓環(huán)厚度分別為5.9 mm和4.7 mm。板材屬性為彈性模量E=72504 MPa，泊松比υ=0.33，密度ρ=2.8×10-9t/mm3。曲筋板的筋條高度h、筋條厚度tc和蒙皮厚度t設(shè)為隨機(jī)變量，均服從正態(tài)分布，且分布參數(shù)列入表6。屈曲是薄壁結(jié)構(gòu)的主要失效模式，將曲筋板的抗屈曲承載能力低于37850 N作為失效條件，可得該結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)函數(shù)為

圖7 算例3的可靠度指標(biāo)迭代歷程

Fig.7 Iteration history of reliability index for example 3

表5 算例3計(jì)算結(jié)果

Tab.5 Results for example 3

方法βg(x*)/g0迭代次數(shù)函數(shù)計(jì)算次數(shù)HL-RF2.4212-6.0×10-8535iHL-RF2.42121.7×10-6433CC2.41532.9×10-3115805DSTM2.42121.8×10-556392AASTM2.42121.7×10-6433注:g0表示隨機(jī)變量均值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極限狀態(tài)函數(shù)值。

g=Pc r-37850

(18)

式中Pc r為曲筋板的抗屈曲承載能力，可通過線性屈曲分析求得。由于通過有限元方法進(jìn)行線性屈曲分析較耗時(shí)，本文采用Kriging代理模型來提高計(jì)算效率。通過最優(yōu)拉丁超立方抽樣和有限元分析生成100個(gè)樣本點(diǎn)(三個(gè)隨機(jī)變量作為輸入，Pc r作為輸出)，用于構(gòu)造Kriging代理模型。通過校驗(yàn)可得代理模型與有限元分析的相對(duì)誤差低于1%，可見Kriging代理模型可以準(zhǔn)確預(yù)測(cè)曲筋板的抗屈曲承載能力。基于該代理模型，采用五種算法對(duì)此算例進(jìn)行可靠度分析，其中CC和DSTM的混沌控制因子設(shè)為0.05。

由表7可以看出，五種算法求得的可靠度指標(biāo)均為2.3549，但CC和DSTM的g(x*)值是HL-RF，iHL-RF和AASTM的102～103倍，可見HL-RF，iHL-RF和AASTM求得的MPP更靠近極限狀態(tài)面。由函數(shù)計(jì)算次數(shù)分析計(jì)算效率可知，HL-RF，iHL-RF和AASTM的函數(shù)計(jì)算次數(shù)最少，計(jì)算效率高于CC和DSTM。該算例表明，HL-RF算法和AASTM均可以高效求解，驗(yàn)證了AASTM的魯棒性。

圖8 飛機(jī)加筋板

Fig.8 Aircraft stiffened shell

表6 算例4的隨機(jī)變量分布情況

Tab.6 Distributions of the random variables for example 4

隨機(jī)變量分布類型均值標(biāo)準(zhǔn)差h/mm正態(tài)180.9tc/mm正態(tài)1.360.068t/mm正態(tài)2.360.118

表7 算例4計(jì)算結(jié)果

Tab.7 Results for example 4

方法βg(x*)迭代次數(shù)函數(shù)計(jì)算次數(shù)HL-RF2.35496.7×10-4520iHL-RF2.35496.7×10-4520CC2.35491.3×10-1226904DSTM2.35491.9×10-2105420AASTM2.35496.7×10-4520

6 結(jié) 論

本文提出了基于Armijo準(zhǔn)則的自適應(yīng)穩(wěn)定轉(zhuǎn)換法，根據(jù)Armijo準(zhǔn)則對(duì)方向性穩(wěn)定轉(zhuǎn)換法進(jìn)行了改進(jìn)，自適應(yīng)合理選取每個(gè)迭代步的混沌控制因子，使每步盡量高效收斂。針對(duì)方向性穩(wěn)定轉(zhuǎn)化法無法主動(dòng)控制振蕩的情況，本文的AASTM算法采用混沌控制方法對(duì)振蕩進(jìn)行控制，有利于提高算法魯棒性。對(duì)不同非線性程度的低維或高維問題均有較好的收斂性，驗(yàn)證了本文算法在計(jì)算效率和魯棒性上可以實(shí)現(xiàn)更好的性能平衡，有利于使結(jié)構(gòu)可靠度分析更高效和穩(wěn)健。