一類具有時(shí)變時(shí)滯的復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間同步問題研究

肖 峰， 甘勤濤， 黃 欣

(1. 陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū)軍政基礎(chǔ)系，河北 石家莊 050003;2. 陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū)學(xué)員十七大隊(duì)， 河北 石家莊 050003)

近年來，隨著復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論及其應(yīng)用研究的不斷深入，人們開始嘗試運(yùn)用新的理論工具來研究現(xiàn)實(shí)世界中的各種大型復(fù)雜系統(tǒng)，如因特網(wǎng)、生態(tài)系統(tǒng)、生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、城市交通網(wǎng)和社交網(wǎng)絡(luò)[1]等。同步是自然界和人類社會(huì)中廣泛存在的現(xiàn)象，同時(shí)也是復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)顯著的動(dòng)力學(xué)行為之一，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步已成為網(wǎng)絡(luò)科學(xué)的一個(gè)重要研究方向，且在諸多鄰域得到應(yīng)用，如：在通信系統(tǒng)和傳感器網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步都發(fā)揮著重要的作用[2- 3]。

牽制控制[4- 6]和間歇性控制[7- 9]等是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步控制的有效方法，其中牽制控制是通過控制一小部分節(jié)點(diǎn)使整個(gè)網(wǎng)絡(luò)達(dá)到同步[10]，方法簡單且經(jīng)濟(jì)。但現(xiàn)在的大多數(shù)牽制控制器均是連續(xù)的，且依賴于控制節(jié)點(diǎn)和目標(biāo)系統(tǒng)的狀態(tài)。在實(shí)際應(yīng)用中，傳輸信號會(huì)不可避免地被外部所干擾，進(jìn)而使得信號間歇性地變?nèi)趸蛘咧袛?，這時(shí)連續(xù)時(shí)間的牽制控制便不再適用。

由于時(shí)滯是現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中一種十分普遍的現(xiàn)象，因此研究復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)同步中時(shí)滯的影響至關(guān)重要。在現(xiàn)實(shí)復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)模型中，需要考慮發(fā)生在系統(tǒng)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)自身的時(shí)滯，及因節(jié)點(diǎn)之間的信息交換而形成的耦合時(shí)滯，這2種時(shí)滯之間相互獨(dú)立。WU等[7]所研究的復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)模型具有內(nèi)部時(shí)滯與耦合時(shí)滯，但其研究的是復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的漸近同步，即復(fù)雜系統(tǒng)達(dá)到同步不受時(shí)間的控制。而在實(shí)際應(yīng)用中，復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)同步通常需要在有限時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)[8- 9,11]。因此，筆者在文獻(xiàn)[7]研究的基礎(chǔ)上，采用間歇性控制方法構(gòu)造有限時(shí)間周期間歇性控制器，通過調(diào)整自適應(yīng)控制強(qiáng)度使復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)在有限時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)同步。

1 問題描述

考慮由N個(gè)相同線性耦合節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的復(fù)雜時(shí)滯動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)，第i個(gè)節(jié)點(diǎn)動(dòng)態(tài)描述如下：

(1)

式中：xi(t)=(xi1(t),xi2(t),…,xiN(t))T∈RN，為第i(i=1,2,…,N)個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)矢量；f:R×RN×RN→RN為連續(xù)可微的矢量函數(shù)，它控制孤立的動(dòng)態(tài)節(jié)點(diǎn)；0≤τ1(t)≤τ1，0≤τ2(t)≤τ2，分別為發(fā)生在動(dòng)態(tài)節(jié)點(diǎn)中的內(nèi)部時(shí)滯和節(jié)點(diǎn)間的耦合時(shí)滯，其中τ1和τ2均為已知常數(shù)；Γ1和Γ2為內(nèi)部耦合矩陣；A=(aij)N×N和B=(bij)N×N，分別為節(jié)點(diǎn)間的外部耦合矩陣，無向網(wǎng)絡(luò)的外部耦合矩陣是對稱的；c1(t)>0,c2(t)>0，均為自適應(yīng)耦合強(qiáng)度。

c1(t)、c2(t)的表達(dá)式為

(2)

其中

ei(t)=xi(t)-s(t)，

(3)

為復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)同步誤差，s(t)為復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的同步解。

(4)

為了完成同步，要將控制器加入到復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)(1)的節(jié)點(diǎn)中，下面給出有限時(shí)間周期間歇性控制器ui(t)(i=1,2,…,N)的復(fù)雜時(shí)滯動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)：

(5)

ui(t)的定義為

ui(t)=

(6)

根據(jù)式(3)、(4)，將復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)同步誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)寫成如下形式：

(7)

證明復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)(1)能夠?qū)崿F(xiàn)有限時(shí)間同步需要用到的假設(shè)和引理如下：

假設(shè)1[4]：對于任意x(t),y(t)∈Rn，存在正常數(shù)L1、L2，滿足不等式

(x(t)-y(t))T(f(t,x(t),x(t-τ1(t)))-
f(t,y(t),y(t-τ1(t))))≤
L1(x(t)-y(t))T(x(t)-y(t))+
L2(x(t-τ1(t))-y(t-τ1(t)))T×
(x(t-τ1(t))-y(t-τ1(t)))。

(8)

引理1[6]：對于任意2個(gè)向量x、y，存在具有適合維度的矩陣S>0，使得不等式

2xTy≤xTSx+yTS-1y

(9)

成立。

引理2[9]：設(shè)x1,x2,…,xn∈Rn為任意實(shí)向量，z為一個(gè)實(shí)數(shù)，且0

(10)

成立。

引理3[8]:假設(shè)一個(gè)連續(xù)正定函數(shù)V(t)，當(dāng)t∈[0,∞)時(shí)，使得不等式

(11)

成立,則有

V1-ξ(t)≤V1-ξ(0)e(1-ξ)p2(1-θ)t-

p1θ(1-ξ)t，0≤t≤t1，

2 主要結(jié)果

定理1：如果存在正常數(shù)μ、α2和q，滿足條件

(12)

證明：構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii泛函

(13)

1) 當(dāng)定理1的條件成立，且mT≤t<(m+θ)T時(shí)，式(13)可表示為

(14)

利用假設(shè)1，可得

(15)

式中：α1=L1。則式(14)可改寫為

(16)

(17)

將式(17)代入式(16)中，可得

μeT(t)Qe(t)+μeT(t)Pe(t-τ2(t))+

(18)

根據(jù)引理1、假設(shè)2及β2，由式(18)可推出

(19)

2) 類似地，當(dāng)定理1的條件成立且(m+θ)T≤t<(m+1)T時(shí)，式(13)可表示為

eT(t-τ2(t))e(t-τ2(t)))+

α2eT(t)e(t)+qeT(t)e(t)+

≤2qV(t)。

(20)

由式(19)、(20)可得

(21)

根據(jù)引理3，由式(21)可得

(22)

因此，復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)(1)能夠在有限時(shí)間

(23)

實(shí)現(xiàn)同步，證畢。

與連續(xù)牽制控制器相比，本文所使用的有限時(shí)間周期間歇性控制器ui(t)能夠提高效率、降低控制成本，在實(shí)際應(yīng)用中更具有實(shí)用性和有效性，且當(dāng)控制速率θ=δ/T=1時(shí)，間歇性控制將變?yōu)檫B續(xù)性控制。

MEI等[12]對利用時(shí)變耦合強(qiáng)度的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步問題進(jìn)行了數(shù)值研究，并重點(diǎn)比較了固定耦合強(qiáng)度與時(shí)變耦合強(qiáng)度之間的差異，說明了時(shí)變耦合強(qiáng)度能更有效地實(shí)現(xiàn)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步；文獻(xiàn)[6]、[13]的作者分別利用時(shí)變耦合強(qiáng)度研究了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的完全同步、分群同步問題。本文在利用時(shí)變耦合強(qiáng)度的基礎(chǔ)上，在所研究的模型中加入了有限時(shí)間的概念，這使網(wǎng)絡(luò)模型在有限時(shí)間內(nèi)能更快地實(shí)現(xiàn)同步，因此更貼近實(shí)際要求。

3 數(shù)值模擬

采用數(shù)值模擬的方式驗(yàn)證復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型在有限時(shí)間同步的有效性和正確性。考慮網(wǎng)絡(luò)

ui(t),i=1,2,…,N,

(24)

式中：f(t,xi(t),xi(t-τ1(t)))=Dxi(t)+h1(xi(t))+h2(xi(t-τ1(t)))，其中xi(t)=(xi1(t),xi2(t),xi3(t))T。

以ei1(t),ei2(t),ei3(t)(i=1,2,…50)為例，說明復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)模型的同步誤差ei(t)變化情況，如圖1所示?？梢钥闯觯和秸`差ei(t)的變化曲線在一定時(shí)間內(nèi)趨于穩(wěn)定，說明復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)模型可在有限時(shí)間實(shí)現(xiàn)同步。圖2為自適應(yīng)耦合強(qiáng)度c1(t)、c2(t)變化曲線，可以看出：隨著時(shí)間的延長，自適應(yīng)耦合強(qiáng)度趨于穩(wěn)定。數(shù)值模擬的結(jié)果證明了定理1的有效性。

4 結(jié)論

筆者研究了一類具有時(shí)變時(shí)滯的復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間同步問題，構(gòu)造了有限時(shí)間周期間歇性控制器。在研究的網(wǎng)絡(luò)模型中包含了內(nèi)部時(shí)滯、耦合時(shí)滯以及自適應(yīng)耦合強(qiáng)度，使得模型更加貼近實(shí)際要求，并從無向網(wǎng)絡(luò)入手給出有限時(shí)間控制策略，利用Lyapunov有限時(shí)間穩(wěn)定性理論得到了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間同步的充分條件，最后通過數(shù)值模擬驗(yàn)證了結(jié)果的有效性。與以往的結(jié)果相比，所得結(jié)果具有更高的應(yīng)用價(jià)值和更廣泛的應(yīng)用范圍。