讓學習真實地發(fā)生
——由培養(yǎng)學生代數(shù)思維說起

安徽合肥市翡翠學校（230000）

在數(shù)學中，算術思維和代數(shù)思維是兩個重要的思維體系。簡單地說，算術思維是指向問題結果的思維方式，它關注的是通過怎樣的計算能得到問題的結果。代數(shù)思維是指向過程和結構的思維方式，它關注的是題目中的未知結果與其他已知信息之間存在怎樣的關系，以及如何把這種關系（用等式）表征出來。也就是說，算術思維是找出已知量來求出未知量，代數(shù)思維是把未知量放在數(shù)量關系中參與運算，而不是當成一個結果來呈現(xiàn)。數(shù)學教學的難點是如何使學生由算術思維轉向代數(shù)思維。為此，筆者做了一些嘗試，現(xiàn)以案例的形式進行呈現(xiàn)。

一、代數(shù)思維的間接培養(yǎng)

在教學“三角形、梯形面積”時，筆者發(fā)現(xiàn)了這樣的一個現(xiàn)象：很多學生在計算三角形、梯形面積時總是忘記除以2。通過與學生交流發(fā)現(xiàn)，他們并不是不知道三角形、梯形面積公式，而且還清楚地知道這些公式是如何推導出來的，只是寫的時候容易忘記。為此，筆者將問題拋給學生，具體教學片斷如下。

師：同學們，近來老師發(fā)現(xiàn)有部分同學在計算三角形、梯形面積時老是忘記除以2，為什么呢？

生1：因為記不得公式了。

師：請記得三角形、梯形面積公式的同學舉手。

（所有學生都舉了手）

師：這可奇怪了，都記得公式?。∧堑降资鞘裁丛蚰?？

生2：太粗心。

師：有些同學就從來沒有錯過，誰能給我們分享一下經(jīng)驗？

生3：我在做題之前會在頭腦里先把公式想一遍，這樣就不容易出錯了。

師：在做之前先想一想，好方法！

生4：我以前也總是忘記除以2，后來媽媽提醒我先在草稿紙上把公式寫出來，這樣就不會忘記了。

師：先把公式寫在草稿紙上，不麻煩嗎？

生5：答題時可以先寫公式，再寫算式。

師：是的，我們不用寫在草稿紙上，做題時直接寫在答題紙上就好。

（教師介紹規(guī)范的寫法）

師（小結）：同學們，隨著學習的深入，我們接觸的公式會越來越多，有些公式還非常相似。為了在解決問題的過程中防止混淆，我們一般先把公式寫出來，然后再帶入數(shù)據(jù)，這樣就可以減少失誤。

教材中多用字母來表示公式，這不僅可以讓學生用最簡單的方式記住公式，還可以培養(yǎng)學生的代數(shù)思維。因此，教師要抓住這個契機，在計算圖形面積時引導學生先寫公式，后帶入數(shù)據(jù)，這樣既減少了錯誤率，又在無形中培養(yǎng)了學生的代數(shù)思維。

二、代數(shù)思維的直接培養(yǎng)

培養(yǎng)代數(shù)思維最直接的單元是“簡易方程”，教材明確提出本單元的難點是算術思維到代數(shù)思維的轉換，很多學生都不習慣用代數(shù)思維來解題。如下圖題：

在教學用方程解決問題時，學生已經(jīng)知道列方程之前要先形成數(shù)量關系式。通常一個問題能列出三個數(shù)量關系式，以上題為例，關系式分別是：“小明體重-小紅體重=2千克”“小紅體重+2千克=小明體重”“小明體重-2千克=小紅體重”。如果選擇第三個數(shù)量關系式，列出的方程就正好對應解上題。然而，代數(shù)思維是把未知量放在數(shù)量關系中參與運算，而不是當成一個結果來呈現(xiàn)。那么如何讓學生理解“把未知量放在數(shù)量關系中參與運算”呢？筆者進行了如下教學嘗試。

（教師先板書：x-38.5=2，x+2=38.5，38.5-2=x）

師（手指著38.5-2=x）：這個方程對嗎？

（大部分學生說不對，少部分學生說對）

師：這樣吧，我們來一場辯論賽。請大家先在小組內(nèi)自主交流。

（學生自主交流，教師組織反饋）

生1：這樣列方程不對。未知數(shù)不能在等號的右邊，而應該在等號的左邊。

生2：如果變成“x=38.5-2”呢？可見這和未知數(shù)在等號左邊還是右邊根本沒有關系。

生3：等號的左邊應該是一個算式，且算式中應包含有未知數(shù)。

（學生陷入思考）

師：看來，現(xiàn)在大家糾結的問題是未知數(shù)的位置應該放在哪里。大家覺得未知數(shù)應該放在算式中，還是當成一個結果來呈現(xiàn)呢？

（絕大多數(shù)學生認為放在算式中呈現(xiàn)較合適。教師抓住這一機會，繼續(xù)引導）

師：為什么要放在算式中呢？

生4：如果未知數(shù)以結果的形式呈現(xiàn)，就沒有必要列方程了。

師：再看看，為什么有的同學會把方程列成“38.5-2=x”呢？

（學生再度陷入思考，自發(fā)討論起來）

生5：是因為數(shù)量關系導致的，“38.5-2=x”這個方程的數(shù)量關系表示的是“小明體重-2千克=小紅體重”。

師：這道題能列出幾個數(shù)量關系呢？

生6：三個，即“小明體重-小紅體重=2千克”“小紅體重+2千克=小明體重”“小明體重-2千克=小紅體重”，不同的數(shù)量關系能列出不同的方程。

師：回顧一下我們的討論過程，大家有什么收獲？

生7：列方程前要建立數(shù)量關系，可有的時候數(shù)量關系很多，不同的數(shù)量關系可以列出不同的方程。

師（小結）：是的，要選擇合適的數(shù)量關系來列方程，未知數(shù)不能以結果的方式來呈現(xiàn)，不然列方程就沒有意義了。

以上教學過程中，筆者首先允許問題出現(xiàn)，引發(fā)學生關注；然后引導學生進行充分討論、交流；最后明確：在解決此類問題時一定要厘清數(shù)量關系，再根據(jù)數(shù)量關系來列方程。整個教學過程以問題為導向，讓學生一步步、慢慢地轉變自己的思維方式，教學效果明顯。

可以看出，在以上兩個教學片段中，筆者并沒有做過多的設計，只是引導學生進行交流，在交流中自然而然地解決問題，逐漸形成代數(shù)思維。佐藤學說過：學習是由三種對話實踐——同客觀世界的對話、同伙伴的對話、同自己的對話構成的。“對話”也可以理解成交流，交流是獲得知識的根本途徑。在課堂中我們只要創(chuàng)設開放的環(huán)境，研究一些真實的問題，引導學生與文本、伙伴、自身進行交流，就能使學習真實地發(fā)生。