基于“一題多解”，有效落實數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力
——以“雞兔同籠”問題為例

江蘇連云港市蒼梧小學(xué)（222006）

近年來，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成為國內(nèi)外數(shù)學(xué)教育改革的一條主線，引領(lǐng)與推動著數(shù)學(xué)教育的改革：美國、新加坡、德國、日本等國家的課程文件中均提出了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)（或能力）的要求；國內(nèi)史寧中、宋乃慶、喻平、徐斌艷、馬云鵬、李星云、曹培英等一批學(xué)者闡釋了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵、構(gòu)成及培養(yǎng)等。當(dāng)下，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中關(guān)鍵能力的落實是中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中的一個重點與難點問題。下面以“雞兔同籠”為例，從“一題多解”的微觀角度探析小學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的落實。

一、小學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的構(gòu)成

考慮到小學(xué)數(shù)學(xué)的現(xiàn)實性、經(jīng)驗性與活動性等特點，以及小學(xué)生的學(xué)習(xí)心理特征，小學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力應(yīng)包括從數(shù)學(xué)角度提出問題、數(shù)學(xué)表征與變換、數(shù)學(xué)推理與論證、數(shù)學(xué)地解決問題、數(shù)學(xué)交流五個方面。

從數(shù)學(xué)角度提出問題：基于某情境、問題或在問題解決過程會產(chǎn)生自己新的數(shù)學(xué)問題，并用數(shù)學(xué)語言表述這些生成的、創(chuàng)造的、獨(dú)立的新數(shù)學(xué)問題。

數(shù)學(xué)表征與變換：用某種形式（如符號、圖形(表)、情景、操作性模型、文字等）表達(dá)要學(xué)習(xí)的或處理的數(shù)學(xué)概念或關(guān)系，以便最終解決問題。為了能夠簡化或成功解決問題，會使用改變信息形態(tài)的某種數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化策略。

數(shù)學(xué)推理與論證：通過對數(shù)學(xué)對象(數(shù)學(xué)概念、關(guān)系、性質(zhì)、規(guī)則、命題等)進(jìn)行邏輯性思考(觀察、實驗、歸納、類比、演繹)，從而得出推論，再進(jìn)一步尋求證據(jù)、給出證明或舉出反例，說明所推論的合理性的綜合能力。

數(shù)學(xué)地解決問題：采用各種恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)知識、方法與策略，解決在數(shù)學(xué)或其他情境中出現(xiàn)的問題，能檢驗與反思數(shù)學(xué)問題解決的過程。

數(shù)學(xué)交流：能以閱讀、傾聽等方式識別、理解、領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)事實，并能以寫作、講解等方式解釋自己的解決方法、過程和結(jié)果，針對他人的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)事實做出分析和評價。

二、列表—枚舉法的分析運(yùn)算過程所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力

“雞兔同籠”問題是我國古代的著名數(shù)學(xué)趣題。早在1500年前，《孫子算經(jīng)》中就記載了“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”此題不僅有趣，有歷史文化背景，還有從算術(shù)到代數(shù)的多種解法，是中小學(xué)數(shù)學(xué)中“一題多解”的經(jīng)典樣題。一般來說，“雞兔同籠”主要有列表—枚舉法、算術(shù)—假設(shè)法、代數(shù)—方程法三類常見解法。根據(jù)小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平，教師在教學(xué)中常將數(shù)量簡化，具體以蘇教版教材（2014年版）六年級下冊第三單元“解決問題的策略”中的練一練“雞和兔一共有8只，它們的腿有22條。雞和兔各有多少只？”為例。

“雞兔同籠”問題的列表—枚舉法解題過程一般如下：按雞的只數(shù)從少到多逐一枚舉（如表1所示）。

表1 列表—枚舉法

由表可知，有雞5只，有兔3只。

解答此題還可以按兔的只數(shù)進(jìn)行列表、枚舉等。

對學(xué)生來說，列表—枚舉法在分析、運(yùn)算、表征的過程中蘊(yùn)含了上述五種數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的成分，具體如表2所示。

表2 列表—枚舉法的解題過程所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力

列表—枚舉法的解題過程顯得有些繁，其實不然，雖然表面看來僅是簡單的列舉、計算，但對學(xué)生來說，后繼的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常常會用到此法，且由表2也可看出其中蘊(yùn)含了多種數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的培養(yǎng)。

三、算術(shù)—假設(shè)法的假設(shè)推理過程所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力

“雞兔同籠”的算術(shù)—假設(shè)法蘊(yùn)含了典型的數(shù)學(xué)假設(shè)推理過程，其常見解法：假設(shè)都是雞，8×2=16（條）腿，還多出來22-16=6（條）腿，這6條腿是兔的，每只兔比雞多兩條腿，6×2=3（只），所以兔有3只，雞有5只。

解答時還可以假設(shè)都是兔，假設(shè)雞與兔只數(shù)一樣，假設(shè)雞與兔都“站”起來，等等。對學(xué)生來說，用算術(shù)—假設(shè)法解題不僅簡潔有趣，還能經(jīng)歷數(shù)學(xué)的假設(shè)、運(yùn)算、推理的過程，其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力成分主要如表3所示。

表3 算術(shù)—假設(shè)法的解題過程所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力

由算術(shù)—假設(shè)法的假設(shè)推理過程，以及表3中對其所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的分析可知，算術(shù)—假設(shè)法構(gòu)思巧妙，具有典型的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的成分，且與列表—枚舉法相比，體現(xiàn)了不同的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力培養(yǎng)價值。

四、代數(shù)—方程法的數(shù)學(xué)抽象過程所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力

“雞兔同籠”的代數(shù)—方程法蘊(yùn)含著典型的數(shù)學(xué)抽象過程，其一般解法：設(shè)有雞x只，那么有兔（8-x）只，根據(jù)雞兔共有22條腿，列方程得2x+4（8-x）=22，解方程得x=5，兔有8-5=3（只）。

解答此題還可以設(shè)兔為x只，利用二元一次方程組來解。對學(xué)生來說，利用代數(shù)—方程法解題是通過設(shè)未知數(shù)得到抽象的代數(shù)方程，這是解決此類問題的一種通法，其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力成分主要如表4所示。

表4 代數(shù)—方程法的解題過程所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力

從內(nèi)容的角度來說，代數(shù)—方程法用代數(shù)的方法解決了“雞兔同籠”的問題，在數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的成分與培養(yǎng)價值上具有典型性和獨(dú)特性。

五、“雞兔同籠”的解法反思過程所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力

解題后的反思是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一項重要內(nèi)容，其反思過程蘊(yùn)含著諸多數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的成分。如教師引導(dǎo)學(xué)生綜合反思“雞兔同籠”的列表—枚舉法、算術(shù)—假設(shè)法、代數(shù)—方程法的解法特征：列表—枚舉法具有嘗試、有序、常規(guī)等特征；算術(shù)—假設(shè)法具有精巧、有趣、簡潔等特征；代數(shù)—方程法具有簡潔、普遍、機(jī)械等特征。反思的這一過程也蘊(yùn)含著一些數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的成分，具體如表5所示。

表5 解法反思所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力

如此對“雞兔同籠”問題的解法進(jìn)行反思的過程，能讓學(xué)生以旁觀者的身份提升解題能力，同時也創(chuàng)設(shè)了學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力培養(yǎng)的機(jī)會與內(nèi)容載體，體現(xiàn)了面向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)。

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)之一，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個目標(biāo)指向。解題作為數(shù)學(xué)教學(xué)的一項重要內(nèi)容，需要教師重新進(jìn)行理性思考、構(gòu)建與設(shè)計，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的培養(yǎng)。