基于流體力學的數(shù)字水墨書畫系統(tǒng)的研究與設計

趙楊　楊劍蘭

摘要：該文在Curtis的研究基礎上，提出了水墨粒子運移、傳輸?shù)娜龑幽Ｐ?，并將流體動力學理論引入水墨粒子在淺水層、墨粒沉積層以及毛細作用層的運移和傳輸規(guī)律的研究，通過Helmholtz-Hodge 分解，求解基于Navier-Stokes偏微分方程組的水墨運動模型。以此作為理論基礎，設計實現(xiàn)了一個交互式的數(shù)字水墨書畫系統(tǒng)。實驗結(jié)果表明， 最后形成的仿真效果，水墨畫韻味真實。

關鍵詞：中國水墨畫；流體動力學；數(shù)字水墨書畫系統(tǒng)

中圖分類號：TP311 文獻標識碼：A 文章編號：1009-3044（2013）07-1699-05

中國水墨畫源遠流長，有著樸素抽象、注重神似的畫風，其影響至日本、韓國、東南亞一帶，在東方乃至全世界都自成體系，可以說是東方文化的象征與瑰寶[1]。

西方的油畫、水彩畫等在繪制工具、表現(xiàn)技法上與中國水墨畫有著本質(zhì)不同。西方的繪畫更理性，它遵循嚴格的透視原理及光學原理，以寫實為主，追求“形似”。而中國水墨畫在表現(xiàn)手法上往往不遵守客觀規(guī)律，其更注重神似。正是由于這些差異，使得現(xiàn)有的關于西方繪畫藝術的仿真方法無法直接應用于水墨畫的模擬[2]。如何運用邏輯嚴謹規(guī)范的計算機技術對極為隨意揮灑的中國水墨畫進行仿真研究是極具挑戰(zhàn)性的課題。

目前，對中國水墨畫的仿真方法可分為兩類：基于物理建模的方法和面向藝術效果的方法[3]。該文研究的是采用物理建模的方法對水墨畫進行仿真。該文在Curtis[4]的研究基礎上，提出了水墨畫運移、傳輸?shù)娜龑幽Ｐ?，并將流體動力學理論引入水墨粒子在淺水層、墨粒沉積層以及毛細作用層的運移和傳輸規(guī)律的研究，通過Helmholtz-Hodge 分解，求解基于Navier-Stokes偏微分方程組的水墨運動模型。以此作為理論基礎，設計實現(xiàn)了一個交互式的數(shù)字水墨書畫系統(tǒng)。

1 相關工作

水墨畫的創(chuàng)作用具主要為筆、墨、紙。紙是水墨畫的載體，所以紙的建模直接關系到水墨效果仿真的質(zhì)量。關于紙張建模的研究工作可參考文獻[4-6]。

在虛擬筆刷的建模及毛筆筆跡的模擬仿真方面，筆交互應用開始時就有研究者進行毛筆書法效果的模擬研究。1986 年，Strassmann[7]提出通過增加控制點連成矩形來填充毛筆筆跡的算法，1990年Chua[8]提出使用貝塞爾曲線來擬合毛筆筆跡，1991年Guo 和Kunii[9]提出了基于紙張纖維束的毛筆筆跡擴散模型，Pahm[10]提出了使用B 樣條來模擬筆道的輪廓，中間使用四邊形來擬合填充毛筆筆跡。

在水墨運動的物理建模方面，石[11]提出基于粒子系統(tǒng)的算法來仿真水墨擴散過程。王[12]將滲流力學引入水墨運移物理規(guī)律的研究。Nelson S.-H [6] 運用網(wǎng)格玻爾茲曼模型（Lattice Boltzmann methods）對水墨運移及傳輸過程進行仿真，并在GPU上實現(xiàn)了其算法。

2 基于流體動力學的水墨畫繪制算法

本節(jié)給出基于流體動力學的水墨畫仿真算法的定義、形式化描述及算法偽碼。

2.1 水墨粒子運移、傳輸?shù)娜龑幽Ｐ?/p>

在Curtis的研究基礎上本文提出水墨粒子運移、傳輸?shù)娜龑幽Ｐ?。三層模型分別為：淺水層、墨粒沉積層、毛細作用層。三層模型相互作用，會產(chǎn)生不同的繪制效果。

淺水層用于模擬水墨在紙張表面的流動，主要模擬墨粒在水中浮起并被水傳送到不同的區(qū)域這一過程。在淺水層中，水的流動被限制在濕區(qū)域內(nèi)。

墨粒沉積層用于模擬墨粒在紙上被吸附和解吸附的現(xiàn)象，主要控制墨粒在淺水層和墨粒沉積層之間的轉(zhuǎn)移。墨粒的密度、著色能力和粒度都會影響紙的吸附和解吸附能力[13]。

毛細作用層模擬水在紙張毛孔的遷移，將根據(jù)紙的水飽和度處理濕區(qū)域，在毛細作用層的作用下，濕區(qū)域會逐漸擴展。

2.2基于Navier-Stokes方程的水墨運動模型

本文采用Jos Stam [14]提出的Navier-Stokes方程作為模擬水流運動的物理模型，同時增加描述墨粒子密度因水流速度場變化而擴散的方程，兩者一并構成水墨粒子在淺水層運動的基本物理模型。形式化定義為：

其中[??u=0]。公式（1）右邊第一項表示速度場的自身平流，叫做平流項。第二項，稱作壓力項，代表了外力施加于水墨流體時，微觀上所產(chǎn)生的不均勻的壓力及加速度。第三項表示由于水墨濃稠度的不均勻所形成的阻礙，并由此造成了動量的擴散，同時影響了流體速度的分散。第四項是外力施加到水墨流體上而增加的加速度。

2.3 Helmholtz-Hodge分解定理

為求解以上方程，該文通過Helmholtz-Hodge 分解得到水墨粒子淺水層運移和傳輸算法[14]。

定義一個空間區(qū)域[D]，邊界法線為[n]，標量場[p]。據(jù)Helmholtz-Hodge 分解定理有[D]上的矢量場[w] 能唯一分解為：

其中[u]是散度為零的矢量場（即[??u=0]），[p]為標量。把散度算子應用到方程（3）兩邊，有：

根據(jù)Helmholtz- Hodge分解定義一個投影算子[P]， 將矢量場[w] 投影到無源分[u]。應用到方程， （3）得到：

根據(jù)[P]的定義有[Pw=Pu=u]，固[P（?p）=0]，將此投影算子應用到方程（1）的兩邊有：

因為u的散度為0，左邊的導數(shù)也是無散度的，同時[P（?p）=0]，有：

定義一個算子S，及各分量算子，平流A、擴散D、外力F、投射P， 整個求解過程變?yōu)椋?/p>

從左到右進行運算，則整個求解過程，首先是平流，接著是擴散、外力和投射，即：

2.4基于流體動力學的水墨畫淺水層運移和傳輸算法

2.4.1外力項

外力項由外界對水墨流體施加的力組成，并假設該外力在其時間步長內(nèi)保持恒定，形式化定義為：

2.4.2平流項

平流項表示速度場沿著擴散方向傳輸自身和水墨粒子。這里使用隱式解法[14]，形式化定義為：

2.4.3擴散項

對擴散項的求解實際轉(zhuǎn)化為對泊松方程的求解，形式化定義為：

可采用Gauss-Seidel法進行求解[14]。

2.4.4投影項

經(jīng)過外力、擴散、平流運算后得到一個有散度的速度場w3（x），通過投影算子將其改變?yōu)闊o散度的速度場w4（x）。具體求解方法可參考文獻[14]。對方程（2）的求解可參考以上所示進行。

3.4.5水流淺水層運移和傳輸算法偽碼

詳細的代碼實現(xiàn)可以參考文獻[15]。

2.4.6墨粒子淺水層運移和傳輸算法偽碼

其中u， v為給定的水流速度場速度，diff為墨粒子擴散系數(shù)。更詳細的代碼實現(xiàn)可以參考文獻[15]。

2.5水墨粒子墨粒沉積層運移和傳輸算法

在仿真的每一步，墨粒子都會被沉積層以一定數(shù)率吸附，同時也會以一定數(shù)率解吸附會淺水層。墨粒的密度[ρ]、著色能力[w]，粒度[r]和紙張的高度[h]都影響紙的吸附和解吸附能力。下面給出水墨粒子墨粒沉積層運移和傳輸算法的偽碼。g為墨粒沉積層粒子密度，d為淺水層墨粒子密度。該文在Curtis的研究基礎上，提出了水墨粒子墨粒沉積層運移和傳輸算法。

2.6水墨粒子毛細作用層運移和傳輸算法

當墨汁向正要變干但仍保持潮濕的區(qū)域進行擴散時會產(chǎn)生回吸現(xiàn)象。這個時候墨汁會被淺水層以一定的吸收率[α]吸收，同時向毛細作用層擴散。每個網(wǎng)格單元都會向其鄰近區(qū)域傳輸墨汁，直到達到飽和容積率[c]。當飽和度超過[?]時，該網(wǎng)格單元被標記為潮濕區(qū)域。這樣，由于毛細作用層的作用，就會形成不規(guī)則的分支形狀，以此模擬水墨粒子的非規(guī)則擴散現(xiàn)象。該文在Curtis的研究基礎上，提出了水墨粒子毛細作用層運移和傳輸算法。

3 實驗結(jié)果

圖1為運用具有不同濃稠度的水墨畫筆書寫的筆劃（其擴散效果形態(tài)不同），圖2為使用本文開發(fā)的數(shù)字水墨書畫系統(tǒng)所書寫的“蛇”字。圖3為本文開發(fā)的數(shù)字水墨書畫系統(tǒng)的用戶界面。實驗表明本文所設計的數(shù)字水墨書畫系統(tǒng)能較好的仿真水墨書畫的效果。

在當今數(shù)字娛樂產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展的時代，如何開發(fā)出具有實用價值，符合市場需求的數(shù)字水墨書畫系統(tǒng)軟件，是未來值得探索和深入研究的科學熱點問題[16]。

參考文獻：

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[16] 趙楊，楊劍蘭.基于流體動力學的水墨畫繪制算法研究與設計[J].遼寧大學學報（自然科學版），2012（2）.