以新課標為指引 聚焦核心素養(yǎng)
——2018年高考數(shù)學全國卷評析

程 敦

（福州第二中學，福建 福州 350001）

2018年高考數(shù)學全國卷以《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》為指引，圍繞課程目標中學生所需要的數(shù)學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗，嚴格遵守《考試大綱》和《考試說明》的各項要求，聚焦學科素養(yǎng)，突出考察高中數(shù)學的主干知識，既注重了創(chuàng)新應用，又能立足基礎知識，考查基本技能，滲透數(shù)學文化，體現(xiàn)人文價值。試卷設計穩(wěn)中有新，難度適中，且調整了文、理科同題比率，為新一輪高考文理合卷進行積極探索，為高中數(shù)學新課程改革發(fā)揮積極導向作用。

一、立足基礎知識，考查基本技能

2018年數(shù)學高考全國卷整體難度略有下降，增加了試題的靈活性和開放性，降低了題海戰(zhàn)術、機械刷題的效果，注重教材中的主干知識，回歸基礎知識，考查基本技能，試卷命題依照《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》，淡化了三視圖、球等知識的考查，根據(jù)數(shù)學核心素養(yǎng)的要求，把握數(shù)學知識的本質，讓不同層次學生都能通過自己的獨立思考，找到入題方向，增加學生學習數(shù)學的興趣，激發(fā)學生掌握數(shù)學技能、理解數(shù)學知識本質的熱情。

2018年數(shù)學高考全國卷大幅提高了文理同題率，其中理科全國Ⅰ卷選擇題中第1、3、5、6、7和填空題第13題等六道題與文科全國Ⅰ卷同題，分別考查了復數(shù)、統(tǒng)計、曲線的切線、向量、線性規(guī)劃、幾何體等高中核心知識，但根據(jù)文理科特色在排序上略有調整，如理科第6題的向量題在文科卷中排在選擇題第7題，本題回歸基礎考查基本知識點和基本技能，因為向量既是代數(shù)研究對象也是幾何研究對象，是溝通代數(shù)與幾何的橋梁，基底方法是向量解決問題的基本方法，平面向量基本定理是解決向量問題的基礎。為了提高理科學生區(qū)分度，理科在向量這部分知識還增加了第8題，考查向量問題與解析幾何問題的融合，這種安排對今后教學也有很大的指導作用：回歸基礎，重視工具在解決問題中的作用。

而立體幾何大題與解析幾何大題也符合文理合卷的需求，在題設條件略有不同下，同步考查類似知識點，立體幾何以折疊背景為載體，考查了面面垂直知識。解析幾何部分，理科以橢圓為背景，文科以拋物線為背景，盡管背景不同，但考查的知識點完全相同，都是特殊位置下滿足條件的直線方程及角度相等問題，題型常規(guī)，背景熟悉，回歸基礎，考查通性通法，考查基本計算技能，為文理合卷做了合理引導。

2018年數(shù)學高考全國卷重視基礎回歸，加強考查了學生基本技能。《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》提出：通過高中數(shù)學課程的學習，學生提升數(shù)形結合的能力，發(fā)展幾何直觀與空間想象能力，增強運用幾何直觀和空間想象思考的意識，形成數(shù)學直觀，在具體的情境中感悟事物的本質，試卷的客觀題部分多處需要數(shù)形結合解決問題，如理科卷中第7、9、11、12題都屬于考查學生數(shù)學直觀的內(nèi)容，需要學生有很強的的數(shù)形結合等基本數(shù)學能力。

例1．（2018年高考數(shù)學全國Ⅰ卷理科第9題）

若g(x)存在2個零點，則a的取值范圍是（ ）

本題考查分段函數(shù)的應用、函數(shù)零點問題，需要學生利用函數(shù)零點的概念將零點問題轉化為兩個函數(shù)的圖象的交點問題，要求學生能理解分段函數(shù)定義，會畫指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、含參一次函數(shù)的圖像，借助圖像動態(tài)解決問題。本題需要學生回歸課本知識，理解數(shù)學本質，需具有運用圖形和空間想象解決問題的能力、數(shù)形結合能力，及直觀想象等數(shù)學素養(yǎng)。

二、注重創(chuàng)新應用，突出理性思維

理性思維是數(shù)學學科的核心思維能力，培養(yǎng)理性思維能夠提升學生的思維能力，對事物進行觀察比較、分析綜合、推理研究、抽象概括。2018年高考數(shù)學全國卷就注重數(shù)學思維培養(yǎng)，要求考生能觀察比較，應用所學知識綜合分析，推理研究，解決生活實際問題。試卷通過創(chuàng)設合理情境，提出新問題，啟發(fā)學生思考，考查學生創(chuàng)新應用的能力，試卷從新農(nóng)村建設的經(jīng)濟收入比例、工廠生產(chǎn)線產(chǎn)品檢驗、不合格產(chǎn)品費用賠償、家庭用水數(shù)據(jù)分析等生活經(jīng)濟生產(chǎn)的各個方面，考查學生數(shù)學閱讀能力，數(shù)據(jù)分析能力，讓學生感受“數(shù)學來源于生活，數(shù)學服務于生活”。

例2．（2018年高考數(shù)學全國Ⅰ卷理科第3題、文科第3題）

某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設，農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍，實現(xiàn)翻番，為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構成比例，得到如下餅圖：

則下面結論中不正確的是（）

A．新農(nóng)村建設后，種植收入減少

B．新農(nóng)村建設后，其他收入增加了一倍以上

C．新農(nóng)村建設后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D．新農(nóng)村建設后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半

本題緊扣十八大以來習總書記關于建設社會主義新農(nóng)村，大力發(fā)展農(nóng)村經(jīng)濟的時代背景，以學生熟悉的餅圖為題設，在試題中增加了“增加一倍，實現(xiàn)翻番”等文字條件，考查了學生數(shù)學閱讀能力及分析數(shù)據(jù)的綜合應用能力。本題在文、理卷中均為選擇題第三題，難度不大但設計新穎，需要學生真正理解文字條件的實際含義。除此題外，文科第19題、理科第20題都從國家經(jīng)濟發(fā)展、民生環(huán)保問題出發(fā)，與生產(chǎn)生活實際緊密聯(lián)系，兩道應用題中，減少數(shù)據(jù)準備階段的步驟，將考查重點轉移到對數(shù)據(jù)的分析、理解、找規(guī)律，突出對數(shù)學思想方法的理解與運算能力的考查。文科第19題“節(jié)水問題”要求學生進入問題情境，運用所學知識進行數(shù)學運算、數(shù)據(jù)處理、統(tǒng)計推斷，回答現(xiàn)實問題；理科20題“產(chǎn)品檢驗問題”不僅考查概率期望等數(shù)學知識，還在第（1）小題，考查了概率統(tǒng)計大題中用導數(shù)解決函數(shù)最值點的問題，從而解決實際問題，這要求考生同時具備較強的數(shù)學建模意識、應用意識，提升學生獲取有價值信息并進行定量分析的意識和能力，引導學生從“解題”到“解決問題”能力的培養(yǎng)。

例3．（2018年高考數(shù)學全國Ⅰ卷理科第16題）

已知函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x，在f(x)的最小值是_______

例4．（2018年高考數(shù)學全國Ⅰ卷理科第20題）

某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品。檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗。設每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0＜p＜1)，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立。

（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)，求 的最大值點p0。

（2）現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以（1）中確定的p0作為p0的值。

已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用。

（i）若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為X,求EX；

（ii）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？

大多數(shù)學生在三角解題中講究“套路”，即慣用的解題模式，看到三角求最值的題目，首先考慮化簡到三角函數(shù)兩種常規(guī)模式，這可以解決問題，但操作運算較復雜。例3打破了這種思維定勢，要求學生能從不同角度思考問題，從新的角度思考三角類型求最值的問題，回歸導數(shù)知識，直接用導數(shù)方法求出極值點，這對今后教學模式的改變有很大的引導作用。例4命題思路新穎，在卷中的題目位置也十分新穎，位于大題第四題，意外而又在情理之中，本題設置減少了復雜運算，突出了多思少算，基于理性思維，突出應用意識與創(chuàng)新意識的考查。例3以三角知識為載體，例4以概率統(tǒng)計為載體，以上兩題背景不同，但都需利用導數(shù)求最值，加強了對導數(shù)應用的考查，在一定程度上呈現(xiàn)了導數(shù)應用的廣度。兩道題的創(chuàng)新應用對啟發(fā)學生理性思維，提高學習數(shù)學的綜合能力有著積極意義。

三、滲透數(shù)學文化，體現(xiàn)人文價值

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》明確指出：必修課程有五個主題，其中數(shù)學文化融入課程內(nèi)容。說明中指出：數(shù)學文化是指數(shù)學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成與發(fā)展；還包括數(shù)學在人類生活、科學技術、社會發(fā)展中的貢獻和意義，以及與數(shù)學相關的人文活動。

2018高考數(shù)學全國卷延續(xù)了2017年考查數(shù)學文化的模式，緊抓數(shù)學核心素養(yǎng)，將數(shù)學文化滲透到考題中，其中全國Ⅱ卷理科第8題、全國卷Ⅰ理科第10題、全國Ⅲ卷第3題分別從哥德巴赫猜想、古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形、中國古建筑的榫卯三個方面出題考查學生基礎知識，但題目難度不高。

例5．（2018年高考數(shù)學全國Ⅱ卷理科第8題）

我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果，哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如30=7+23。在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是（ ）

本題主要考查古典概型的概率的計算，理解哥德巴赫猜想含義，懂得求出不超過30的素數(shù)是解決本題的關鍵，本題不僅讓學生了解哥德巴赫猜想的內(nèi)容，還提到了我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果，向學生展示了我國數(shù)學家的成就，對增強學生國家榮譽感有著積極作用。

例6．（2018年高考數(shù)學全國Ⅲ卷理科第3題、文科第3題）

中國古建筑借助榫卯將木構件連接起來．構件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構件與某一帶卯眼的木構件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是（ ）

例7．（2018年高考數(shù)學全國Ⅰ卷理科第10題）如圖來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為I，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ.在整個圖形中隨機取一點，此點取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則（ ）

A．p1=p2B．p1=p3C．p2=p3D．p1=p2+p3

例6、例7兩題分別以古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的化圓為方的圖形、中國古建筑的榫卯為模型，以幾何概型及三視圖兩個知識點為載體，在考查學生數(shù)學閱讀能力、數(shù)形結合能力、數(shù)學轉化思想的基礎上，滲透了數(shù)學文化，同時向學生展示了數(shù)學美，從幾何美、結構美到思維美，引導學生熱愛數(shù)學文化、關注幾何之美。

2018年高考數(shù)學試卷嚴格按照大綱及考試說明命題，不僅考查學生對基礎知識的掌握程度，更加考查學生的綜合能力水平，以《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》為指引，從學科素養(yǎng)、思想方法等各個方面進行綜合評價，有利于科學選拔人才，對數(shù)學課程改革有著正確的導向作用,引導教師、學生在今后高中數(shù)學學習上避免過度講究技巧，應回歸基礎，講究通性通法，能構建和鞏固基礎知識網(wǎng)絡，清晰各塊知識之間的聯(lián)系。這啟發(fā)我們應認真學習《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》，關注數(shù)學核心素養(yǎng)，在教學中注重培養(yǎng)學生綜合能力，關注學生平時數(shù)學思維的形成，逐漸養(yǎng)成良好的思維習慣，培育數(shù)學素養(yǎng)。