借助直觀模型在數(shù)數(shù)活動(dòng)中促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展

◇黃利華 范 薇 王昊喆

“數(shù)（shù）起源于數(shù)（shǔ）”, 為了幫助學(xué)生理解大數(shù)的意義，北師大版教材二年級(jí)下冊(cè)第三單元“生活中的數(shù)”，設(shè)計(jì)了“數(shù)一數(shù)（一）”“數(shù)一數(shù)（二）”“撥一撥”三節(jié)課的內(nèi)容，分別引導(dǎo)學(xué)生感受“千”“萬(wàn)”及數(shù)位順序、萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的讀寫。在編寫過(guò)程中，考慮到學(xué)生對(duì)萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的接觸較少，教材提供了計(jì)數(shù)器、方塊等直觀模型，幫助學(xué)生直觀體會(huì)位值概念和“滿十進(jìn)一”的道理。

那么，如何充分利用直觀模型，深入挖掘數(shù)數(shù)的教育價(jià)值？如何將操作、思考、想象相結(jié)合，借助計(jì)數(shù)單位直觀模型建立千的表象與觀念呢？如何在認(rèn)識(shí)大數(shù)的同時(shí)促進(jìn)學(xué)生思維邏輯性、靈活性、深刻性的發(fā)展呢？基于此思考，我們對(duì) “數(shù)一數(shù)（一）”（千以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)）進(jìn)行了教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐。

活動(dòng)一：同構(gòu)撥計(jì)數(shù)器活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)思考

教材安排了如圖1的撥數(shù)活動(dòng)。個(gè)、十、百是學(xué)生已學(xué)的計(jì)數(shù)單位，教學(xué)時(shí)，借助計(jì)數(shù)器的直觀模型進(jìn)行計(jì)數(shù)，先在計(jì)數(shù)器上由9撥出10、由99撥出100，以激活學(xué)生對(duì)計(jì)數(shù)單位、數(shù)位及十進(jìn)制的已有經(jīng)驗(yàn)。在此基礎(chǔ)上，鼓勵(lì)學(xué)生類推設(shè)計(jì)撥數(shù)活動(dòng)，思考在999的個(gè)位上再添1個(gè)珠子是多少，并在計(jì)數(shù)器上由999撥出1000，激發(fā)學(xué)生對(duì)撥珠子的活動(dòng)進(jìn)行深入思考與聯(lián)想，體會(huì)1000就是999再多1。

圖1

師：個(gè)位上撥1個(gè)珠子表示1個(gè)幾？

生：（齊）表示1個(gè)一。

師：繼續(xù)撥下去，9個(gè)一了，個(gè)位上再撥1個(gè)珠子，你們能想到什么？

生：滿十進(jìn)一了，要把個(gè)位上的10個(gè)珠子撥回去，用十位上的1個(gè)珠子代替。

生：10個(gè)一就是1個(gè)十。?

師：接著撥下去，十位上撥9個(gè)珠子，個(gè)位上也撥9個(gè)珠子，現(xiàn)在是多少？

生：（齊）99。

師：個(gè)位上再撥1個(gè)珠子，你們又想到什么？

生：又滿十進(jìn)一了，把個(gè)位上的10個(gè)珠子撥回去，向十位上撥1個(gè)珠子；把十位上的10個(gè)珠子撥回去，用百位上的1個(gè)珠子代替。

生：10個(gè)十就是1個(gè)百。

師：猜一猜下面我會(huì)撥什么數(shù)。

生：老師前面撥了 9，又撥了 99，我猜該撥999了。

生：而且還要在個(gè)位上添1個(gè)珠子。

師：好！就如你們所說(shuō)，我們接著撥出999，個(gè)位上再撥1個(gè)珠子，你們又想到什么。

生：個(gè)位上再撥1個(gè)珠子就是一千了，在千位上撥1個(gè)珠子，其他珠子都撥回去。

師：10個(gè)一就是1個(gè)十，10個(gè)十就是1個(gè)百，10個(gè)百就是1個(gè)千。一千到底有多大呢？今天我們來(lái)體驗(yàn)體驗(yàn)。

活動(dòng)二：自選材料找一千活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生思維深刻性

皮亞杰認(rèn)為，數(shù)（自然數(shù)）不是某個(gè)東西的名稱，它是事物與事物之間的相互關(guān)系，表明的是一個(gè)物體在一個(gè)序列中的位置以及一組物體中包含了多少個(gè)物體，這種關(guān)系不是直接用語(yǔ)言來(lái)教的，而是兒童通過(guò)感知、操作活動(dòng)在動(dòng)作中體驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的。為此，我們?yōu)閷W(xué)生提供自選活動(dòng)材料的學(xué)習(xí)空間：人民幣——結(jié)構(gòu)化的實(shí)物模型；散亂的方塊——齊性直觀模型；條、片、體的方塊——齊性結(jié)構(gòu)化直觀模型；裝在桶中的200粒豆子——齊性實(shí)物模型。選擇模型材料找一千的過(guò)程，就是將模型對(duì)比感知的過(guò)程。在齊性與結(jié)構(gòu)化模型的對(duì)比選擇中，學(xué)生體會(huì)到計(jì)數(shù)單位的作用；對(duì)齊性、散亂的方塊，學(xué)生可通過(guò)圈出一百個(gè)方塊的方法創(chuàng)造計(jì)數(shù)單位，估計(jì)一千有多大。

自選材料找一千的活動(dòng)，有利于學(xué)生建立計(jì)數(shù)單位的直觀模型表象，體會(huì)計(jì)數(shù)單位間的十進(jìn)關(guān)系，同時(shí)，也發(fā)展了學(xué)生的估算意識(shí)，培養(yǎng)了思維的深刻性。

師：老師為每組同學(xué)提供了4種活動(dòng)材料，在限定時(shí)間內(nèi)，大家以組為單位自選材料尋找1000，看哪組能找到更多的1000。

材料一：人民幣100元8張，50元2張，20元3張，10元12張（如圖2），找到1000元。

圖2

材料二：散亂的方塊圖(如圖3)，數(shù)出1000個(gè)方塊。

圖3

材料三：結(jié)構(gòu)化的方塊圖 （如圖4），數(shù)出1000個(gè)方塊。

圖4

材料四：裝有200粒豆子的瓶子（如圖5），猜想1000粒豆子裝在瓶子里有多高。會(huì)是滿滿一瓶嗎？

圖5

小組活動(dòng)后全班交流。

1.人民幣模型。

師：選擇找1000元的組請(qǐng)舉手，說(shuō)說(shuō)為什么選它。

（全班學(xué)生都舉手）

生：我們認(rèn)為好數(shù)，有幾張整百的，剩下50、20、10元的也容易湊成 100,10個(gè)100元就是1000元了。

師：請(qǐng)你們組到前面展示找1000元的過(guò)程。

生：我們先數(shù)100元的，有8張，就是800元；再用2張50元的湊出一個(gè)100元；再拿3張20元的是60元，添上4張10元的就是100元。這樣就是10個(gè)100元，也就是1000元了。

師：很講究策略，首選大單位100元的，如果不夠再用小單位整十的湊100，湊的時(shí)候抓住了10個(gè)十是100,10個(gè)百是1000。

2.散亂的方塊圖。

師：哪個(gè)組選擇圖3數(shù)出1000個(gè)小方塊了？

（一半學(xué)生舉手）

生1：太多了，一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)太慢了，我們沒有選擇。

生2：太難數(shù)了！我10個(gè)一圈，但沒數(shù)完。

生3：我也覺得不好數(shù)，所以我用估的方法。我先數(shù)出50個(gè)方塊，估計(jì)出100，再根據(jù)100個(gè)方塊的寬度，圈出這樣的9條，合起來(lái)就大概是10個(gè)100，也就是1000個(gè)方塊了。

（全班學(xué)生自發(fā)為生3鼓掌）

師：你們?yōu)槭裁垂恼?？你們學(xué)到了什么？

生4：他想到了估的方法。

生5：他先找到50，再找到100，再找到1000。

師：估的過(guò)程中利用了千與百的關(guān)系，而且通過(guò)條的寬度找到了估的標(biāo)準(zhǔn)，真會(huì)解決問(wèn)題。

3.結(jié)構(gòu)化的方塊圖。

生1：圖4中已經(jīng)有8片，就是8個(gè)百；然后數(shù)10條湊1個(gè)百；下面還有8條，不夠100，就接著數(shù)20個(gè)方塊，2個(gè)十和8個(gè)十湊成10個(gè)十，就是100。一共是10個(gè)百了，就是1000了。

生2：我提個(gè)建議，可以把湊成的100圈起來(lái)，這樣就更清楚了。

師：生2的建議很好，有時(shí)候我們不僅可以用語(yǔ)言表達(dá)，畫圖也可以。

4.裝有200粒豆子的瓶子。

師：1000粒豆子會(huì)不會(huì)是滿滿一瓶呢？

生1：我覺得不會(huì)，200粒有這么高，（邊比畫邊說(shuō)）1000粒有5個(gè)這么高，這么往上比就出去了，所以一瓶裝不下1000粒。

生2：裝得下。我是把瓶子躺著放，200粒這么高，5個(gè)這么高能裝下。

生3：躺著放不行。下面不平是曲的，標(biāo)準(zhǔn)不一樣，所以還是要立著放瓶子。

生4：我是豎著放的，我們認(rèn)為一瓶裝得下1000粒。我用尺子量了，200粒有1.5厘米高，1000粒大約有瓶子的8厘米高，到這里，所以裝得下。

（學(xué)生紛紛點(diǎn)頭）

師：大家都想到了以200粒的高度為標(biāo)準(zhǔn)，推測(cè)1000粒有多少，而借用工具幫助估計(jì)也是一個(gè)很棒的策略。

活動(dòng)三：鼓勵(lì)學(xué)生交流對(duì)話，促進(jìn)學(xué)生思維批判性

對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，學(xué)生要經(jīng)歷一個(gè)逐層深入、循序漸進(jìn)的過(guò)程，正確答案的背后也可能會(huì)隱藏著一些誤解或模糊認(rèn)識(shí)。如由于大立方體的內(nèi)部方塊被遮擋，它作為一千的直觀模型，對(duì)二年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)接受起來(lái)有一定的難度，雖然部分學(xué)生認(rèn)可它是一千的模型，卻不能結(jié)合模型清晰解讀10個(gè)100的原因。

因此，在教學(xué)中，需要教師借助直觀模型，使學(xué)生的思維過(guò)程得以直觀呈現(xiàn)，促進(jìn)學(xué)生在表達(dá)與交流中洞察、識(shí)別各種信息，鼓勵(lì)學(xué)生針對(duì)自己的困惑進(jìn)行質(zhì)疑、追問(wèn)，在交流對(duì)話中讓自己的認(rèn)識(shí)清晰，發(fā)展思維的批判性。

師：哪個(gè)組選擇在圖4上數(shù)1000個(gè)方塊？說(shuō)說(shuō)你們的想法。

組1：我們發(fā)現(xiàn)圖上的一片就是100個(gè)，一條就是10個(gè)，好數(shù)！我們還發(fā)現(xiàn)下面這個(gè)大方塊就是由1000個(gè)小方塊組成的。

組2：我有不同意見。我們認(rèn)為這個(gè)大方塊是由600個(gè)小方塊組成的。這個(gè)大方塊有6個(gè)面，每個(gè)面是100個(gè)，所以是由600個(gè)小方塊組成的。

組1：這個(gè)大方塊是實(shí)心的，它里面還有呢，所以是1000個(gè)小方塊。

組3：就算它是實(shí)心的，你又怎么能說(shuō)明里面正好就是400個(gè)小方塊呢？

（非常精彩的互動(dòng)與追問(wèn)，組1與組2清晰表達(dá)自己的想法，而組3嚴(yán)謹(jǐn)追問(wèn)每個(gè)結(jié)論背后的道理與根據(jù)，這個(gè)過(guò)程就是深度學(xué)習(xí)了）

師：我們聽聽組1完整的想法。

組1：我們先看正對(duì)著我們的最外面的一片，橫著數(shù)和豎著數(shù)都是10個(gè)，所以這面就是10個(gè)10，就是100個(gè)小方塊，我們可以把整個(gè)大方塊拆成這樣的10片。

（學(xué)生邊指邊說(shuō)，其他學(xué)生恍然大悟。教室里再次響起熱烈的掌聲）

師：（面對(duì)組3）說(shuō)說(shuō)你們明白什么了。

組3：我們明白了，他是這么一片一片看的。一片是100個(gè)，共有10個(gè)，也就是10個(gè)100，所以是1000個(gè)。

師：我們來(lái)看一看課件演示（如圖6）。

（教師動(dòng)態(tài)演示，幫助全班建立千的直觀表象）

圖6

活動(dòng)四：數(shù)形結(jié)合數(shù)數(shù)活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生思維靈活性

隨著學(xué)生對(duì)大數(shù)認(rèn)識(shí)的不斷深入，教師鼓勵(lì)學(xué)生在數(shù)數(shù)過(guò)程中突破一個(gè)一個(gè)計(jì)數(shù)的局限，靈活選取計(jì)數(shù)單位：一百一百地?cái)?shù)、一十一十地?cái)?shù)、一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)……同時(shí)，教師根據(jù)學(xué)生所選的計(jì)數(shù)單位，呈現(xiàn)計(jì)數(shù)模型隨數(shù)數(shù)累加變化的過(guò)程，以“視覺”支撐學(xué)生對(duì)不同計(jì)數(shù)單位對(duì)應(yīng)的計(jì)數(shù)方法的理解。特別是從899到900、897到907、999到1000等學(xué)生易錯(cuò)，或計(jì)數(shù)單位發(fā)生變化的地方放慢速度，三次“變形”（10個(gè)小方塊變?yōu)橐粭l；10條變?yōu)橐幻妫?0面變?yōu)橐惑w）讓學(xué)生在數(shù)數(shù)中再次直觀感受到計(jì)數(shù)單位間的十進(jìn)關(guān)系，將數(shù)數(shù)的過(guò)程與計(jì)數(shù)直觀模型的變化過(guò)程有機(jī)結(jié)合起來(lái)，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)計(jì)數(shù)單位、十進(jìn)制關(guān)系的理解，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。

師：從887數(shù)到1000可以怎樣數(shù)？

生 1:887、888、889、890、891、892、893……

師：他是怎么數(shù)的？

生：（齊）一個(gè)一個(gè)往上數(shù)的。

師：還可以怎樣數(shù)？

生 2：887、897、907……997,998、999、1000。

（教師隨學(xué)生數(shù)數(shù)的過(guò)程，呈現(xiàn)直觀模型的變化。圖略）

師：這樣數(shù)快了一些，還有更快的方法嗎？

生3：可以先一百一百地?cái)?shù)，再一十一十地?cái)?shù)，再一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)，這樣更快。

師：大家一起數(shù)數(shù)看。

生：（齊）887，987、997，998、999、1000。

（教師隨學(xué)生數(shù)數(shù)的過(guò)程，再次呈現(xiàn)直觀模型的變化。圖略）

在直觀圖的變化過(guò)程中，特別體現(xiàn)10個(gè)小方塊變成一條，湊成1個(gè)十，10條變成一面，湊成1個(gè)百的過(guò)程，借助模型體會(huì)滿十進(jìn)一，進(jìn)一步促進(jìn)對(duì)相鄰計(jì)數(shù)單位之間十進(jìn)關(guān)系的理解。

我們認(rèn)為，讀懂教材直觀模型，合理并有效使用直觀模型，對(duì)學(xué)生認(rèn)知發(fā)展非常重要。因?yàn)橹庇^模型是教材為學(xué)生提供的認(rèn)識(shí)概念、理解算理的重要抓手，更是學(xué)生自主探究、交流表達(dá)的數(shù)學(xué)工具，借助直觀模型可以充分暴露學(xué)生的思維過(guò)程，揭示數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展、變化及抽象概括的過(guò)程，有利于激活學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，有效促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)思考。