半潛式平臺(tái)在外載荷下的位移計(jì)算與仿真

韓 森，賈寶柱，顧一鳴

(大連海事大學(xué) 輪機(jī)工程學(xué)院，遼寧 大連 116026)

0 引 言

浮式海洋結(jié)構(gòu)物為了避免受到環(huán)境擾動(dòng)后發(fā)生位置漂移，需要裝備能夠控制其位置保持在作業(yè)條件允許的半徑范圍內(nèi)的定位系統(tǒng)，常見的有動(dòng)力定位、錨泊定位及錨泊輔助動(dòng)力定位等方式。錨泊輔助動(dòng)力定位結(jié)合了錨泊定位和動(dòng)力定位的優(yōu)點(diǎn)，既具備抵抗外載荷的能力，又能夠控制半潛式平臺(tái)的首向、偏移量以及對(duì)任意可能斷裂的錨泊線進(jìn)行補(bǔ)償。當(dāng)外載荷較小時(shí)，錨泊系統(tǒng)能提供足夠的回復(fù)力使平臺(tái)保持在允許作業(yè)半徑內(nèi)而不需要推進(jìn)器開動(dòng)，從而降低動(dòng)力定位系統(tǒng)的燃油消耗；當(dāng)外載荷超過錨泊系統(tǒng)的回復(fù)力極限，動(dòng)力定位能夠阻止平臺(tái)的動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)并抵消部分外載荷，防止錨泊線出現(xiàn)應(yīng)力過大導(dǎo)致的斷裂。因此根據(jù)環(huán)境載荷提前預(yù)估半潛式平臺(tái)可能的位置能夠加強(qiáng)系統(tǒng)的定位能力、節(jié)約成本及增大可變載荷。Smith等[6]基于懸鏈線方程采用拉格朗日迭代求解深水兩成分錨泊線的回復(fù)力。Liu等[2]對(duì)規(guī)則波浪條件下的采用錨泊系統(tǒng)的半潛式平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行了數(shù)值研究，并用2種不同的方式評(píng)估錨泊系統(tǒng)對(duì)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)響應(yīng)的影響。Qiao等[3]對(duì)2種靜力特性及布錨方式相同的錨泊系統(tǒng)進(jìn)行了非線性時(shí)域耦合分析，并研究了兩者對(duì)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)及系泊線張力的影響。Guo等[4]研究了懸鏈?zhǔn)藉^泊線在動(dòng)態(tài)響應(yīng)下的非線性回復(fù)力問題。余龍等[5]通過準(zhǔn)靜定法研究了不同錨泊線組成對(duì)錨泊系統(tǒng)回復(fù)力的影響。

錨泊系統(tǒng)的錨泊線并不總是交于一點(diǎn)，因此半潛式平臺(tái)在外載荷及錨泊線張力的共同作用下既產(chǎn)生位移，首向又會(huì)發(fā)生改變，稱這樣的系統(tǒng)為非匯交錨泊系統(tǒng)。但如果假設(shè)錨泊系統(tǒng)的所有錨泊線總是交于一點(diǎn)，則平臺(tái)只產(chǎn)生位移，首向不發(fā)生變化，稱之為匯交錨泊系統(tǒng)。匯交錨泊系統(tǒng)是對(duì)實(shí)際系統(tǒng)的一種簡(jiǎn)化，但進(jìn)行相關(guān)仿真計(jì)算時(shí)更加簡(jiǎn)單方便。本文通過提出的平臺(tái)位移計(jì)算方法比較匯交和非匯交錨泊系統(tǒng)之間的性能差異，具體的研究方法和相關(guān)結(jié)論可為半潛式平臺(tái)的定位控制及計(jì)算提供參考。

1 計(jì)算方法

以平臺(tái)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平方向中線為x軸，首向?yàn)閤軸正向，縱向中線為y軸，左舷為y軸正向建立海洋平臺(tái)船體坐標(biāo)系。平臺(tái)采用8點(diǎn)對(duì)稱式布錨，錨泊線編號(hào)為L(zhǎng)1～L8，虛線為平臺(tái)受到環(huán)境擾動(dòng)后的位置，如圖1所示。

圖1 錨泊系統(tǒng)在外載荷下的位置變化圖Fig. 1 The position change of the mooring system under external interference

圖中，編號(hào)分別為W1，W2，W3，W4的4臺(tái)錨絞機(jī)布置在平臺(tái)的4個(gè)角上，每臺(tái)錨絞機(jī)控制2條錨泊線，其夾角設(shè)為θ，相鄰錨絞機(jī)之間的距離分別為x0和y0。若平臺(tái)位置變化后其中心由O點(diǎn)移動(dòng)到O′點(diǎn)，直線位移大小為δm，位移方向?yàn)棣隆Ｓ捎谒绣^泊線不交于一點(diǎn)，因此當(dāng)平臺(tái)位置變化后其首向會(huì)發(fā)生改變，設(shè)變化角度為ψ。

1.1 回復(fù)力計(jì)算

已知平臺(tái)位移δ、方向α及轉(zhuǎn)角ψ，可求出平臺(tái)位移后錨絞機(jī)在北東（NE）坐標(biāo)系下的位置為：

式中，XWi，YWi分別為錨絞機(jī)Wi的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，i=1，2，3，4。

定義平臺(tái)位移后錨泊線的水平長(zhǎng)度與其初始狀態(tài)下的水平長(zhǎng)度之差為等效位移ΔL，則

式中：Xj，Yj分別為與第j根錨泊線連接的錨在NE坐標(biāo)系下的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，i=1，2，3，4；j=1，2，…，8，錨絞機(jī)和錨泊線存在對(duì)應(yīng)關(guān)系，例如W1對(duì)應(yīng)L1和L2，以此類推；L是錨泊線在預(yù)張狀態(tài)下的水平長(zhǎng)度。

在錨固點(diǎn)不變時(shí)，錨絞機(jī)的等效位移ΔL即為相應(yīng)錨泊線長(zhǎng)度的變化，假設(shè)8根錨泊線的材質(zhì)及組成完全一致，因?yàn)殄^泊線頂端水平張力與位移呈現(xiàn)非線性關(guān)系，無法用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)方程加以描述，可以采用級(jí)數(shù)對(duì)其進(jìn)行逼近，設(shè)錨泊線頂端水平張力與等效位移的關(guān)系為

式中：T0為錨泊線在預(yù)張狀態(tài)下的水平分力；κ為錨泊線頂端張力與海平面的夾角，其值與ΔL滿足函數(shù)關(guān)系；ai為待求的參數(shù)；n的大小與單根錨泊線的應(yīng)力模型有關(guān)。

已知錨泊線頂端水平張力與等效位移的關(guān)系函數(shù)，可以求出錨泊線水平張力T，其與NE坐標(biāo)系中E軸的夾角為λ：

已知錨泊線頂端的水平張力T及夾角λ，通過力的合成可求出錨泊系統(tǒng)的靜回復(fù)力F和方向β：

式中，Tj和λj分別是第j根錨泊線提供的水平張力及作用方向。

設(shè)M是首搖方向的平臺(tái)力矩，則

式中：d為錨絞機(jī)到平臺(tái)中心的距離；μi為錨絞機(jī)Wi與平臺(tái)中心的連線和船體坐標(biāo)系下x軸的夾角。

1.2 公式擬合

對(duì)錨泊線頂端的水平張力進(jìn)行計(jì)算時(shí)，首先要確定式（4）中的待求參數(shù)。以三段式組合錨泊線為研究對(duì)象，上段鋼鏈與錨絞機(jī)相連，中段鋼纜，下段鋼鏈與錨相連。在鋼纜中串聯(lián)浮子改善錨泊系統(tǒng)的靜力特性[6]，并考慮其尺度作用，材質(zhì)參數(shù)如表1所示。海洋平臺(tái)的工作水深設(shè)為300 m，海流的切向和法向阻力系數(shù)分別為0.024和1.2[7]，流速分布為均勻流1.2 m/s。錨泊線在預(yù)張狀態(tài)下的長(zhǎng)度為1 500 m，上段錨鏈的長(zhǎng)度為50 m，下段錨鏈的長(zhǎng)度為595 m，將整串浮子的起點(diǎn)位置安置在距錨泊線頂端550 m處，浮子尺度為5 m，浮子和錨鏈的直徑為等效直徑。

表1 錨泊線材料特性Tab. 1 Line physical properties

在錨泊線頂端施加預(yù)緊力，能使平臺(tái)在一定的外載荷下正常作業(yè)而不需要錨絞機(jī)運(yùn)行，選擇合適的預(yù)緊力能夠增強(qiáng)錨泊系統(tǒng)抵抗外載荷的能力[8]。

對(duì)錨泊系統(tǒng)的所有錨泊線預(yù)加某初始張力，使平臺(tái)處于平衡位置，當(dāng)外載荷作用于平臺(tái)后，平臺(tái)發(fā)生位移。在錨絞機(jī)不動(dòng)作的情況下，背離外載荷方向的錨泊線中總有一根受力最大。以受力最大的錨泊線為研究對(duì)象，當(dāng)平臺(tái)處于允許工作半徑時(shí)，此錨泊線剛好達(dá)到安全應(yīng)力的臨近點(diǎn)，這時(shí)的錨泊線初始張力即為最佳預(yù)緊力。

本文錨泊線采用的安全系數(shù)為2。通常規(guī)定平臺(tái)的工作半徑為水深的3%～5%，本文將平臺(tái)的正常作業(yè)半徑設(shè)為12.123 m。以錨泊線頂端位移為x軸，錨泊線頂端張力為y軸建立平面直角坐標(biāo)系。當(dāng)錨泊線頂端位移為12.123 m，頂端張力剛好處于安全應(yīng)力的臨界點(diǎn)（2 920 875 N）時(shí)，其張力-位移曲線與x=0的交點(diǎn)即為錨泊線的最佳預(yù)緊力。根據(jù)給出的錨泊線參數(shù)，使用分段外推法[9]在Matlab中搭建錨泊線的應(yīng)力模型，得出單根錨泊線頂端張力與位移的關(guān)系曲線，如圖2所示。

圖2 錨泊線張力-位移曲線Fig. 2 The tension-movement curve of mooring line

從圖中可知，錨泊線的最佳初始預(yù)張力為1 500 261 N。

繼續(xù)使用搭建的錨泊線應(yīng)力模型，得出單根錨泊線水平張力與位移的關(guān)系，并對(duì)式（4）中的參數(shù)進(jìn)行求解，得到錨泊線頂端水平張力與等效位移的函數(shù)關(guān)系為

所得函數(shù)圖形與通過仿真得到的錨泊線頂端水平張力和位移關(guān)系點(diǎn)的差異如圖3所示。

圖3 錨泊線水平張力-位移曲線Fig. 3 The horizontal tension-movement curve of mooring line

從圖中可以看出，函數(shù)曲線較好地反映了錨泊線水平張力與位移的關(guān)系，式（9）可以用于錨泊系統(tǒng)靜回復(fù)力的計(jì)算。

2 求解與驗(yàn)證

定義位移方向、回復(fù)力方向及外載荷方向都是其與E軸的夾角。平臺(tái)在外載荷的影響下從A點(diǎn)移動(dòng)到B點(diǎn)，此時(shí)回復(fù)力與外載荷方向大小相等，方向相反，三者的關(guān)系如圖4所示。

已知外載荷大小及方向，使用數(shù)值求解的方法得出平臺(tái)的位移方向及大小。但是，在求解之前，需要驗(yàn)證平臺(tái)的位移方向與外載荷方向是否一致，即位移方向與回復(fù)力方向是否相等。如果兩者方向不相等，需要在整個(gè)NE坐標(biāo)系下尋找平臺(tái)位置，使其在此位置下的回復(fù)力與外載荷剛好抵消；如果兩者方向相等，或者偏差很小，則只需在外載荷方向上尋找平臺(tái)位置，這樣能夠大大減小求解范圍，提高求解速度。

錨泊系統(tǒng)采用θ=π/4的布錨方式，根據(jù)之前推導(dǎo)的回復(fù)力計(jì)算公式，在Matlab中搭建錨泊系統(tǒng)的回復(fù)力模型，比較平臺(tái)在允許工作半徑內(nèi)回復(fù)力方向β與位移方向α的差異，如圖5所示。

圖4 方向示意圖Fig. 4 Direction diagram

圖5 回復(fù)力方向與位移方向差異圖Fig. 5 The direction difference between the restoring force and movement

從圖中可以看出，平臺(tái)位移越大，回復(fù)力方向與位移方向之間的差距越大，但是兩者在允許作業(yè)半徑內(nèi)的最大的差值僅為0.000 89 rad，因此可以認(rèn)為錨泊系統(tǒng)的回復(fù)力方向與平臺(tái)位移方向相等，即平臺(tái)的位移方向與外載荷方向一致。

2.1 求解方法

根據(jù)之前的公式推導(dǎo)和仿真分析，可以在已知外載荷大小及方向的情況下，求解平臺(tái)的位移及首向變化。當(dāng)布錨夾角θ以及錨泊線材質(zhì)組成確定后，通過建立的NE坐標(biāo)系得到預(yù)張狀態(tài)下的錨絞機(jī)及錨固點(diǎn)坐標(biāo)。已知外載荷大小Fr與方向γ，因?yàn)槲灰品较颚僚c外載荷方向一致，所以只需假設(shè)位移大小為δ和平臺(tái)首相變化為ψ，即可根據(jù)式（1）、式（2）、式（3）求出錨絞機(jī)坐標(biāo)及錨泊線頂端的等效位移。將等效位移代入式（9）中，就能求出每根錨泊線的張力，最后經(jīng)過式（6）求出平臺(tái)的回復(fù)力大小。調(diào)整位移大小δ直到回復(fù)力大小與外載荷大小之差滿足一定精度。因?yàn)槲灰品较虼_定后，位移大小與平臺(tái)首向變化存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此相當(dāng)于只有一個(gè)自變量，結(jié)果存在唯一解。具體計(jì)算流程如圖6所示。其中，ε是一個(gè)足夠小的值。

圖6 求解流程圖Fig. 6 The solution flow chart

2.2 可行性驗(yàn)證

給定平臺(tái)一個(gè)實(shí)際位置，可以得出平臺(tái)在此位置下的回復(fù)力大小及方向。將計(jì)算得出的回復(fù)力假設(shè)為外載荷，通過圖6給出的求解方法得出平臺(tái)的計(jì)算位置。比較平臺(tái)的實(shí)際位置與計(jì)算位置，來驗(yàn)證方法的可行性，仿真結(jié)果如圖7所示。

圖7 坐標(biāo)差異圖Fig. 7 The coordinate difference chart

從圖中可以看出，平臺(tái)的實(shí)際位置與計(jì)算位置差異很小，所以本文給出的計(jì)算平臺(tái)在外載荷下位移的方法具備可行性和準(zhǔn)確性。

3 匯交和非匯交錨泊系統(tǒng)的差異

實(shí)際的錨泊輔助動(dòng)力定位系統(tǒng)中，所有的錨泊線并不會(huì)交于一點(diǎn)。但采用非匯交方法對(duì)平臺(tái)位置進(jìn)行計(jì)算時(shí)，由于計(jì)算量偏大會(huì)導(dǎo)致控制器的時(shí)效性較差，進(jìn)而影響動(dòng)力定位系統(tǒng)中的推進(jìn)器對(duì)前饋的補(bǔ)償。本節(jié)借助上節(jié)給出的平臺(tái)位移計(jì)算方法，研究匯交和非匯交錨泊系統(tǒng)的差異，進(jìn)而探討使用匯交錨泊系統(tǒng)代替非匯交系統(tǒng)的可行性。

3.1 位移差異

錨泊系統(tǒng)的定位能力是由所有分布在平臺(tái)四周的錨泊線共同決定的，在相同的外載荷下，平臺(tái)的位移越小，說明錨泊系統(tǒng)的定位性能越好，推進(jìn)器工作的頻率越小。本文采用對(duì)稱式布錨，因?yàn)榱魉賹?duì)錨泊線的偏移量幾乎沒有影響，所以只研究外載荷方向γ在0～π/2 rad范圍內(nèi)，非匯交與匯交錨泊系統(tǒng)的平臺(tái)位移差異，如圖8所示。

圖8 位移差異圖Fig. 8 The movement difference diagram

從圖中可以看出，隨外載荷的增大，非匯交與匯交錨泊系統(tǒng)的位移差異逐漸增大。當(dāng)外載荷大小為4 597 207 N，外載荷方向?yàn)?.75 rad時(shí)，兩者的位移差異最大，為0.013 5 m，相比于此時(shí)位移大小為12.272 9 m的非匯交平臺(tái)，兩者的位移差異可忽略不計(jì)。

為了更加直觀比較匯交和非匯交錨泊系統(tǒng)對(duì)平臺(tái)位移的影響，給兩者施加同樣的外載荷。其中，外載荷大小為：

外載荷方向?yàn)椋?/p>

兩者在外載荷下的平臺(tái)運(yùn)動(dòng)軌跡如圖9所示。

從圖中可以看出，在允許工作半徑內(nèi)，匯交和非匯交錨泊系統(tǒng)的平臺(tái)在相同外載荷下的運(yùn)動(dòng)軌跡差異可忽略不計(jì)。

圖9 運(yùn)動(dòng)軌跡差異圖Fig. 9 The trajectory difference chart

3.2 錨泊線受力差異

研究匯交和非匯交錨泊系統(tǒng)的差異，不能單單考慮平臺(tái)在相同外載荷下的位移差異，也要考慮錨泊線的受力，特別是所有錨泊線的受力均勻程度。錨泊線在外載荷的影響下受力越均勻，則錨泊線發(fā)生斷裂的可能性就越低。匯交與非匯交錨泊系統(tǒng)的8根錨泊線在4 500 000 N外載荷下的應(yīng)力差異如圖10所示。

圖10 錨泊線受力差異圖Fig. 10 The tension difference of all mooring lines

從圖中可以看出，當(dāng)錨泊線張力大于初始預(yù)張力時(shí)，匯交錨泊系統(tǒng)的錨泊線的受力比非匯交偏小；反之則偏大。當(dāng)外載荷方向?yàn)?.05 rad時(shí)，錨泊線L6的頂端張力差異最大，為52 283 N，而此時(shí)非匯交系統(tǒng)中對(duì)應(yīng)錨泊線的頂端張力為2 856 725 N，相對(duì)差異并不大。

用8根錨泊線受力的標(biāo)準(zhǔn)差表示錨泊線受力的均勻程度，兩者的錨泊線受力均勻性差異如圖11所示。

從圖中可以看出，隨外載荷的增大，匯交和非匯交錨泊系統(tǒng)的錨泊線受力均勻性差異越來越大。當(dāng)外載荷大小為4 597 207 N，外載荷方向?yàn)?.65 rad時(shí)，兩者的錨泊線受力標(biāo)準(zhǔn)差差異最大，為433.67 N，相比于此時(shí)受力標(biāo)準(zhǔn)差大小為870 332.35 N的非匯交錨泊系統(tǒng)，差異可忽略不計(jì)。

3.3 平臺(tái)的首向差異

非匯交錨泊系統(tǒng)的錨泊線并不總交于一點(diǎn)，因此平臺(tái)在外載荷的影響下既發(fā)生位移，首向又發(fā)生變化。下面研究外載荷大小及方向?qū)ζ脚_(tái)首向ψ的影響，如圖12所示。

圖11 受力均勻性差異圖Fig. 11 The difference diagram of tension uniformity

圖12 平臺(tái)首向變化圖Fig. 12 The difference diagram of platform bow

從圖中可以看出，隨外載荷的增大，平臺(tái)首向變化逐漸增大。平臺(tái)在0～π/2 rad范圍內(nèi)的首向變化都為正值，即平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)方向全部都為逆時(shí)針。當(dāng)外載荷大小為4 597 207 N，外載荷方向?yàn)?.7 rad時(shí)，平臺(tái)的首向變化最大，為0.009 69 rad。所以非匯交錨泊系統(tǒng)對(duì)平臺(tái)首向的影響可忽略不計(jì)。

綜上所述，與實(shí)際系統(tǒng)相比，匯交錨泊系統(tǒng)在平臺(tái)位移、錨泊線受力以及平臺(tái)首向方面存在的差異很小，可忽略不計(jì)。在進(jìn)行相關(guān)計(jì)算時(shí)可假設(shè)錨泊系統(tǒng)的所有錨泊線總交于一點(diǎn)。

4 結(jié) 語

本文提出一種計(jì)算半潛式平臺(tái)在外載荷下位移的方法，并驗(yàn)證了其可行性。通過比較匯交錨泊系統(tǒng)與實(shí)際系統(tǒng)的差異，簡(jiǎn)化了求解模型，使控制器能夠提前預(yù)估平臺(tái)在外載荷下的位置，進(jìn)而提高推進(jìn)器的工作效率與控制精度?；窘Y(jié)論如下：

1）本文給出的半潛式平臺(tái)位移計(jì)算方法具備可行性及準(zhǔn)確性。

2）采用錨泊定位的半潛式平臺(tái)的位移方向與外載荷方向基本一致，其首向在外載荷的影響下變化也很小。

3）在對(duì)錨泊系統(tǒng)的受力及平臺(tái)位移進(jìn)行計(jì)算時(shí)，可使用匯交錨泊系統(tǒng)代替非匯交系統(tǒng)。

本文所做的研究工作及相應(yīng)結(jié)論可為錨泊輔助動(dòng)力定位系統(tǒng)控制器的設(shè)計(jì)提供參考。