考慮損傷修正的巖石統(tǒng)計損傷本構模型研究

楊宇生，尹前鋒，豐叢杰，賈洪彪

(1.中國地質(zhì)大學工程學院,湖北 武漢 430074; 2.中國科學院大學地球與行星科學學院,北京 100049)

巖石是一種復雜的天然地質(zhì)材料，由于巖石內(nèi)部常包含大量隨機分布的微裂隙等缺陷，使得巖石材料具有明顯的各向異性和漸進破壞性[1]。近年來，基于連續(xù)損傷理論和統(tǒng)計強度理論的巖石損傷本構模型研究取得了很大的進展，成為研究巖石本構關系的主流。

文獻[2]首次將連續(xù)損傷理論與統(tǒng)計強度理論結合，提出了損傷模型，開啟了在巖石損傷本構模型方向上的探究之旅。文獻[3]在前人的基礎上，提出了將軸向應變作為統(tǒng)計分布變量的觀點，對巖石損傷破裂過程進行了研究，為后續(xù)的研究奠定了基礎。文獻[4]首次提出巖石微元強度的概念，并以巖石微元強度服從Weibull分布為出發(fā)點，基于屈服準則建立了巖石損傷本構模型。文獻[5]提出基于正態(tài)分布的巖石微元強度，以此建立了新的巖石損傷本構模型。文獻[6]在前人研究的基礎上提出了新的衰減型函數(shù)——Harris函數(shù)，作為巖石微元強度概率密度分布函數(shù)，并以此建立新的本構模型，較好的反應了巖石在三維應力狀態(tài)下的應力——應變關系和破壞全過程。本文在現(xiàn)有的研究基礎上，引入改進的Harris函數(shù)作為巖石微元強度概率密度分布函數(shù)，并對損傷變量進行修正，引入損傷變量修正系數(shù)，采用較為簡潔的定義巖石微元強度隨機分布變量的方式，提出了新的巖石損傷統(tǒng)計本構模型，運用MATLAB軟件將實驗數(shù)據(jù)點與本構模型進行擬合，求取相關模型參數(shù)，最終確定了巖石損傷本構模型。

1 巖石損傷本構模型的建立

假定理想條件下巖石內(nèi)部不存在缺陷，為無損狀態(tài)，在三維應力作用下其本構關系服從胡克定律，則有

(1)

式中：σ1、σ2、σ3為巖石所承受的3個主應力；ε1、ε2、ε3為巖石在3個主應力方向上所產(chǎn)生的主應變；G為巖石剪切模量，λ為拉梅常數(shù)。

在等圍壓條件下，無損巖石材料三軸壓縮軸向應力——應變關系根據(jù)式(1)可得

σ1=Eε1+2νσ3

(2)

式中：E為巖石彈性模量；ν為泊松比。

在天然狀態(tài)下，巖石內(nèi)部往往分布有各種各樣的微裂隙和結構面，這些均為巖石材料的初始缺陷，導致巖石材料的物理力學性質(zhì)的非均質(zhì)性[7]，為此我們引入損傷變量D，設在某荷載作用下已破壞的巖石微元體數(shù)目為c，巖石微元體總數(shù)為N，定義巖石損傷變量為D=C/N[8]，當D=0時，說明巖石為無損狀態(tài)，D=1時說明巖石為完全損傷狀態(tài)，D的取值反映了巖石材料內(nèi)部的受損程度。在單一受力條件下，由連續(xù)損傷理論[9]，可得

σ=Eε(1-D)

(3)

由此可推導在三維應力作用下受損巖石的本構關系為

σ1=Eε1(1-D)+2νσ3

(4)

對于巖石材料而言，其單軸壓縮曲線和三軸壓縮曲線在累進性破裂階段達到峰值點后，內(nèi)部結構被完全破壞，裂隙迅速發(fā)展，巖石的承載力隨變形的繼續(xù)增大而下降，但并不會完全消失，即巖石的殘余強度。而根據(jù)損傷參量的定義，當達到峰值點時巖石完全破壞，此時D=1，代入到式(3)中得出應力為零，此時表示巖石無殘余強度，與實際情況不符。

為此，引入損傷變量修正系數(shù)δ∈(0，1)，通過與損傷變量D相乘的方式對其進行修正，使得到的巖石損傷統(tǒng)計本構模型能反映巖石材料的殘余強度，以及巖石材料各向異性的特點，使得到的模型更接近實際情況，更好的模擬出巖石在達到峰值點后的應力——應變特征。通過分析，在引入損傷變量修正系數(shù)δ后得到的新的巖石損傷統(tǒng)計本構模型為

σ1=Eε1(1-δD)+2νσ3

(5)

根據(jù)前文所提，目前大多數(shù)研究中均假設巖石微元強度服從Weibull分布和正態(tài)分布，但兩者均有其缺點和不足，為此本文引入著名的衰減型函數(shù)模型Harris函數(shù)[10]，其表達式為

(6)

式中：F為自變量，S為因變量，a、b為模型參數(shù)，均大于0。

在Harris函數(shù)中，S隨F的遞增而減小，其單調(diào)性與D相反，且S與D的變化范圍均為[0，1]。為此，本文對Harris函數(shù)進行修正，使之作為巖石損傷變量的發(fā)展方程，即

(7)

式中：將F重新定義為巖石微元強度分布變量。

將式(7)兩邊對F求導，即得到巖石微元強度概率密度分布函數(shù)Φ(F)

(8)

目前對巖石損傷本構模型的研究，均引入不同的巖石強度準(Mohr-Coulomb準則[11-12]、Hoek-Brown準則[13-14]、Druckre-Prager準則[15]等)作為巖石微元強度隨機分布變量，通過研究發(fā)現(xiàn)，若以巖石屈服準則作為微元強度隨機分布變量，推導出的表達式較為復雜，而以巖石軸向應變作為微元強度隨機分布變量則簡單許多，因此，本文同樣采取此種簡化方法，將巖石軸向應變作為微元強度隨機分布變量，此時F=ε1。

將式(7)代入式(8)可得

(9)

2 模型的驗證

為驗證所建巖石損傷統(tǒng)計本構模型的合理性，采用INSTRON伺服機對微風化石英片巖進行了單軸壓縮和三軸壓縮實驗(見圖1～圖3)，得到石英片巖的單軸抗壓強度以及在2MPa、4MPa和6MPa三種不同圍壓下的全應力——應變曲線，得到了巖石彈性模量E及泊松比ν，其常規(guī)力學參數(shù)及不同圍壓下的特征參量如表1～表2所示。

圖1 INSTRON伺服壓力機及數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)

圖2 三軸試驗所用壓力室

圖3 巖樣實驗前后照片

巖石種類泊松比ν彈性模量E/GPa單軸抗壓強度σc/MPa內(nèi)摩擦角φ/(°)石英片巖0.23521.3399.3955.276

表2 不同圍壓下的特征參量

通過獲得的實驗數(shù)據(jù)，運用曲線擬合法，利用MATLAB軟件進行曲線擬合，得到模型參數(shù)a、b和修正系數(shù)δ的值，最終確定巖石損傷統(tǒng)計本構模型，并將模型曲線與實驗數(shù)據(jù)點進行擬合，得到如圖3所示的不同圍壓下模型曲線與實驗數(shù)據(jù)點的吻合對比圖，通過對比模型曲線與實驗數(shù)據(jù)點的吻合情況可以發(fā)現(xiàn)，本文推導出的巖石統(tǒng)計損傷本構模型曲線能夠很好的反映巖石應力應變?nèi)^程，實驗數(shù)據(jù)點和模型曲線吻合良好，不僅在巖石峰前階段吻合度良好，由于引入了修正系數(shù)δ，也很好的反映了巖石峰后破壞階段。由實驗可知，隨著所加圍壓的增加，巖石的脆性降低，相對應的延性提高，巖石的殘余強度表現(xiàn)的更加明顯，本文推導出的巖石統(tǒng)計損傷本構模型對巖石峰后階段有著很高的擬合精度，較傳統(tǒng)的線性擬合方法更加優(yōu)越，在某種程度也上體現(xiàn)了巖石的各向異性和漸進破壞性，符合已知的巖石材料的實際情況，具有一定的實用價值。

圖4 不同圍壓下模型曲線與實驗數(shù)據(jù)點擬合情況

3 相關參數(shù)的探討

本文推導的本構模型中創(chuàng)新的引入了巖石損傷修正系數(shù)δ，在此來探討δ對本構模型的影響，如圖4所示，引用前文模型驗證中INSTRON伺服機對微風化石英片巖進行的在4MPa圍壓下的三軸壓縮實驗數(shù)據(jù)，考慮修正系數(shù)δ的不同取值對模型曲線的影響。從圖5中可以看出，當δ取1時，即不引入巖石損傷修正系數(shù)時，模型曲線顯然與實際相差很大，很難反映出巖石破壞后的應力應變情況，說明修正系數(shù)δ的引入很好的表現(xiàn)了微風化石英片巖峰值點后的破壞情況，同時也反映了它的殘余強度，優(yōu)化了以往研究中本構模型的不足，具有很好的實際意義。從圖5中還可以看出，修正系數(shù)δ的不同取值，對模型曲線的前半段影響不大，即石英片巖峰值點前影響不大，對曲線峰值點后影響較大，在實際工程應用中，δ的取值會隨著巖性、圍壓以及初始缺陷的不同而變化，所以δ的準確取值是至關重要的，運用MATLAB軟件進行曲線擬合確定δ的取值不失為一種好方法。

圍壓2MPa圖5 修正系數(shù)δ的取值對模型曲線的影響

4 結論

本文提出了一種新的巖石統(tǒng)計損傷本構模型，以微風化石英片巖為例進行了實驗論證，主要創(chuàng)新點和所得到的結論如下：

(1)根據(jù)以往的研究，提出運用改進的Harris 函數(shù)作為巖石微元強度概率密度分布函數(shù)，基于連續(xù)損傷理論和統(tǒng)計強度理論建立了巖石在三維應力作用下的統(tǒng)計損傷本構模型，同時在求取模型參數(shù)時，摒棄了以往研究中的多元函數(shù)求極值法，運用MATLAB軟件，采用精度更高的曲線擬合法確定了模型參數(shù)。

(2) 由于對擬合精度產(chǎn)生的影響十分微小，本文將巖石軸向應變作為微元強度隨機分布變量來建立本構模型，簡化了模型，方便了運算。

(3)創(chuàng)新的引入巖石損傷修正系數(shù)δ，進一步提高了模型曲線在巖石峰值后階段的擬合精度，很好的反映了巖石在三維應力狀態(tài)下的漸進破壞性，通過相同受力條件下δ的不同取值對模型曲線與實驗數(shù)據(jù)擬合精度的影響，表明引入δ的必要性，為理論研究和實際工程提供參考，具有很好的現(xiàn)實意義。