基于內(nèi)點法的最優(yōu)潮流計算及算例分析

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(廣西大學(xué)電氣工程學(xué)院，廣西 南寧 530004)

1 引言

最優(yōu)化方法形成的歷史較短，它主要采用數(shù)學(xué)手段提出各種系統(tǒng)的優(yōu)化途徑及方案，為電力系統(tǒng)運行提供科學(xué)決策的依據(jù)。最優(yōu)潮流問題要求算法具有收斂速度快的同時還要求算法簡介，計算量少，以便其應(yīng)用計算機求解。其求解常用的方法有：線性規(guī)劃法、二次規(guī)劃法、梯度及牛頓類算法、內(nèi)點法和智能方法等[1]。

2 最優(yōu)潮流模型及內(nèi)點法

2.1 最優(yōu)潮流模型

最優(yōu)潮流模型的假設(shè)有：

(1)投入運行的火電機組的數(shù)量和運行情況已知。

(2)水電機組的出力已定。

(3)已知電網(wǎng)結(jié)構(gòu)并且無變動。

數(shù)學(xué)意義上，最優(yōu)潮流就是在一定約束條件下尋求最優(yōu)狀況的問題。其中主要包含各種變量、約束條件和目標函數(shù)?，F(xiàn)在對已上三個方面做簡單的介紹。

常見的模型中，變量主要分為兩大類。一類是控制變量;另一類是狀態(tài)變量。

最優(yōu)潮流考慮的系統(tǒng)約束條件有：

(1)各節(jié)點功率平衡約束(細分為有功和無功兩種)。

(2)各有功電源有功出力上下界約束。

(3)各無功電源無功出力上下界約束。

(4)系統(tǒng)中所能提供無功功率約束。

(5)移相器抽頭位置約束。

(6)可調(diào)變壓器抽頭位置約束。

(7)各節(jié)點電壓幅值上下界約束。

(8)各支路傳輸功率約束。

其中(1)約束為等式約束，其余約束為不等式約束。

最優(yōu)潮流的目標函數(shù)根據(jù)實際情況不同有很多，最常用通常為以下兩種：

(1)系統(tǒng)運行成本最小。該目標函數(shù)一般表示為火電廠煤耗量最少，即費用最低。由于其他成本變動不大，所以不考慮發(fā)電機組啟動、停機和維護等費用，即認為發(fā)電成本為煤耗成本。其中發(fā)電廠的成本耗費特性是求解最優(yōu)問題的關(guān)鍵，它決定了最終求解是否最優(yōu)，還影響求解過程所用方法和最優(yōu)模型的建立。其耗量特性通常用一個階數(shù)少于3的多項式表示。若不滿足該條件，目標函數(shù)將呈現(xiàn)非凸性，造成OPF收斂困難[2]。

(2)有功功率損耗最小。

實際調(diào)度運行中模型的目標函數(shù)主要是滿足系統(tǒng)耗量最小，即耗費最低。其函數(shù)如下：

目標函數(shù)：

(1)

式中PGi表示系統(tǒng)中發(fā)電機的有功功率；a0i、a1i、a2i為其耗量特性曲線參數(shù)。

約束條件：

(i∈SB)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

以上函數(shù)中式(2)為等式約束,即節(jié)點功率平衡方程；式(3)～(6)為不等式約束,依次為有功功率約束條件，無功功率約束條件，節(jié)點電壓約束條件，復(fù)功率約束條件。在所建立模型之中用極坐標來表示節(jié)點電壓。

2.2 最優(yōu)潮流問題的內(nèi)點法

最初，內(nèi)點法的思路是通過在可行域內(nèi)反復(fù)迭代最終得到最優(yōu)解。因此，應(yīng)在可行域內(nèi)取目標變量的初值。并在求解過程中目標變量接近設(shè)定的邊界時與之對應(yīng)的目標函數(shù)會迅速增加，由此得到的解均在設(shè)定的邊界以內(nèi)[3]。可是在規(guī)模較大實際問題中，難以找到符合條件的初始點。本模型中使用跟蹤中心軌跡內(nèi)點法，其優(yōu)勢在與迭代計算中松弛變量和拉格朗日乘子滿足不等式約束條件(通常與零比較)即可，簡化了模型迭代過程。

為了便于分析，可做如下假設(shè)：把 [(1)～(6)]簡化為一般非線性函數(shù)：

obj. min.f(x)

(7)

s.t.h(x)=0

(8)

(9)

其中：式(7)為目標函數(shù)，對應(yīng)于普通模型中式(1)，為非線性函數(shù)。式(8)對應(yīng)于普通模型中式(2)，是非線性的；式(9)中的不等式約束也是非線性函數(shù)。在該模型中采用的基本思路如下。

首先，將不等式轉(zhuǎn)化為等式約束：

(10)

(11)

其中松弛變量l=[l1,…,lr]T，u=[u1,…,ur]T，應(yīng)滿足

u>0,l>0

(12)

這樣，原問題變?yōu)閮?yōu)化問題A：

obj. min.f(x)

s.t.h(x)=0

u>0,l>0

由此，所求函數(shù)經(jīng)過變換后，可以滿足可行域范圍內(nèi)與原函數(shù)f(x)接近，而在接近邊緣時則差異很大。因此可得到優(yōu)化問題B：

s.t.h(x)=0

其中擾動因子(或稱障礙常數(shù))μ>0。

變換之后的拉格朗日函數(shù)為：

(13)

式中：y=[y1,…,ym]，z=[z1,…,zr]，w=[w1,…,wr]為拉格朗日乘子。目標函數(shù)存在極小值的必要條件是拉格朗日函數(shù)對所有變量及乘子的偏導(dǎo)數(shù)為0[4]：

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

式中：L=diag(l1,…,lr)，U=diag(u1,…,ur)，Z=diag(z1,…,zr)，W=diag(w1,…,wr)。由式(18)和式(19)可以解得:

定義

Gap=lTz-uTw

(20)

可得

(21)

式中：Gap稱為對偶間隙。但是，上式中參數(shù)μ所取值會導(dǎo)致計算過程中收斂效果較差。實際中采用

(22)

式中：σ∈(0,1))稱為中心參數(shù)。為取得較好收斂特性，通常取0.1。由于μ>0，u>0，l>0,由式(18)和式(19)可知道z>0,w<0。

對[(14)～(19)]線性化后得到修正方程組為：

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

寫成矩陣形式

(29)

由于其系數(shù)矩陣是個(4r+m+n)×(4r+m+n)的方陣，因此迭代過程將變的非常復(fù)雜。需對其進行適當(dāng)?shù)暮喕?/p>

(30)

現(xiàn)在，我們只需對一個相對較小的(m+n)×(m+n)對稱矩陣進行LDLT分解，在求出結(jié)果后回代即可。這樣，不僅減少計算量，同時簡化了算法[5]。

方程(30)可以求解出第次迭代的修正量，由此可求出下次計算的新變量：

x(k+1)=x(k)+αpΔx

(31)

l(k+1)=l(k)+αpΔl

(32)

u(k+1)=u(k)+αpΔu

(33)

y(k+1)=y(k)+αdΔy

(34)

z(k+1)=z(k)+αdΔz

(35)

w(k+1)=w(k)+αdΔw

(36)

式中：αp和αd為步長。

程序算例的流程圖如圖1所示。其中初始化部分包括：

(1)設(shè)置松弛變量l、u，保證[l,u]T>0。

(2)設(shè)置拉格朗日乘子z、w、y，保證[z>0,w<0,y≠0]T。

(3)設(shè)優(yōu)化問題各變量的初值。

(4)設(shè)置中心參數(shù)σ∈(0,1)，并設(shè)置計算精度ε=10-6，迭代次數(shù)初值是k=0，最大迭代次數(shù)kmax=50。

3 算例計算

本文中采用內(nèi)點法對9節(jié)點系統(tǒng)進行最優(yōu)潮流計算，9節(jié)點系統(tǒng)具體參數(shù)數(shù)據(jù)見表1～表3。

圖1 基于內(nèi)點法的潮流算法流程圖。

表1 9節(jié)點系統(tǒng)支路數(shù)據(jù)

表2 9節(jié)點系統(tǒng)發(fā)電機數(shù)據(jù)

表3 9節(jié)點系統(tǒng)負荷數(shù)據(jù)

在初始化時，各變量初值可以根據(jù)不同情況而設(shè)置。本計算中，各節(jié)點電壓初值均為1，相角初值均取0，電壓上界取1.06，電壓下界取0.94[6]；松弛變量，li=1,ui=1；拉格朗日乘子zi=1，wi=-0.5。按圖1所示的模型計算，當(dāng)程序收斂時，需要進行12次迭代。計算結(jié)果如下：

表4 發(fā)電機出力

計算所得整個系統(tǒng)的燃料費用為5303.629。

表5 各節(jié)點電壓相量

表6 支路有功功率

4 結(jié)語

通過計算可以發(fā)現(xiàn)，采用內(nèi)點法進行的尋優(yōu)求解有效的簡化了計算過程，減少迭代次數(shù)，提高實踐應(yīng)用的效率。

本文對最優(yōu)潮流的內(nèi)點法求解進行了深入的研究，構(gòu)建了考慮穩(wěn)定約束的最優(yōu)潮流模型，并詳細推導(dǎo)了其內(nèi)點法求解過程。通過算例分析經(jīng)行驗證，有效簡化了最優(yōu)潮流的計算過程。