易拉罐的設(shè)計(jì)

黃睿明

摘 要：生活中我們?？吹綀A柱形的包裝容器，如易拉罐、水杯、油漆桶等。那么，為什么這些容器都設(shè)計(jì)成了這樣的形狀？這樣的形狀有什么優(yōu)勢(shì)呢？顯然，當(dāng)一個(gè)容器需要大量使用的時(shí)候，考慮用料成本，設(shè)計(jì)一個(gè)容積足夠、美觀大方又節(jié)省材料的容器是極為必要的。

關(guān)鍵詞：易拉罐 設(shè)計(jì) 最小值

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-9082（2018）07-0-01

易拉罐是生活中常見(jiàn)的飲料容器，每天都有不計(jì)其數(shù)的易拉罐飲料從生產(chǎn)線上生產(chǎn)出來(lái)打包裝箱輸送到全國(guó)各地，同時(shí)被無(wú)數(shù)人購(gòu)買(mǎi)，暢飲之后又要丟入垃圾桶。每個(gè)易拉罐的用料不多，但是有了龐大的基數(shù)支撐，用料成本便不可忽視，節(jié)約用料是一個(gè)極為重要的問(wèn)題。

根據(jù)已經(jīng)掌握的知識(shí)，平面中等面積的情況下圓的周長(zhǎng)最短，那么，可以聯(lián)想到空間中等體積的情況下球體的表面積最小。按照節(jié)省用料的考慮，為什么沒(méi)有大規(guī)模使用球型的容器呢？最簡(jiǎn)單直觀的缺點(diǎn)是不方便持握，不方便放置。而且還有一個(gè)問(wèn)題就是球型容器運(yùn)輸?shù)臅r(shí)候放入箱子中也會(huì)浪費(fèi)更多的空間。

思考一：假設(shè)包裝都是標(biāo)準(zhǔn)的圓柱體，忽略包裝材料的拼接，近似認(rèn)為容積就等于體積，這樣把問(wèn)題近似轉(zhuǎn)換為一個(gè)純粹的數(shù)學(xué)問(wèn)題，即：“體積一定的圓柱體，底面半徑與高的比值為多少時(shí)，表面積最??？”

設(shè)易拉罐的高為h，底面半徑為r，有圓柱體的體積公式V=πr2h，得到h= 。又易拉罐表面積為S=2πr2+2πrh。將h= 代入表面積公式得S=2πr2+ 。[1]現(xiàn)在，問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為了在r取何值的時(shí)候，函數(shù)S能夠取到最小值。S= ，當(dāng)且僅當(dāng)2πr2= ，即 時(shí)，易拉罐有最小表面積 ，此時(shí)h=2r。

但是在實(shí)際生活中，我們絕對(duì)看不到有這樣形狀的容器裝滿飲料放在貨架上，為什么呢？這種形狀的圓柱體又叫等邊圓柱，這種形狀拿起來(lái)的手感很差，因?yàn)樘至?，不適合作為飲料的容器，作為罐頭、油桶倒是不錯(cuò)。那么，還有什么因素影響了易拉罐的形狀呢？易拉罐的上底和下底經(jīng)過(guò)觀察和側(cè)面是不一樣的，一般來(lái)說(shuō)，下底的材料會(huì)更加厚一些，或是更加硬一些，這可能是影響易拉罐形狀的又一因素。

思考二：體積一定的圓柱形容器，上下底面的價(jià)格是側(cè)面造價(jià)的k倍，那么底面半徑和高的比為多少時(shí)表面總造價(jià)最小[2]？

經(jīng)過(guò)調(diào)查，有相當(dāng)一部分飲料包裝的底面的單位造價(jià)是側(cè)面單位造價(jià)的2倍左右，為了便于計(jì)算，假設(shè)k=2。設(shè)圓柱底面半徑r，高為h，側(cè)面單位造價(jià)為a，底面單位造價(jià)為ka，圓柱體總造價(jià)為y。V=πr2h，y=2aπrh+4aπr2。 = 。

當(dāng)且僅當(dāng)4r=h時(shí)，表面總造價(jià)最低。如果材料特殊，底面單位面積造價(jià)不為側(cè)面的2倍，計(jì)算方法相同。市面上大多數(shù)易拉罐裝的飲料符合4r=h這一比例。

目前考慮的是上下底面造價(jià)相同的情況下，實(shí)際中可能出現(xiàn)特殊要求，上下底面構(gòu)造不同，上下底面都要求一定的抗壓能力，但是上底面還要能夠打開(kāi)。價(jià)格和下底可能略有差別。

思考三：體積一定的圓柱形容器，上底面的價(jià)格是側(cè)面造價(jià)的m倍，下底面的價(jià)格是側(cè)面造價(jià)的n倍，那么底面半徑和高的比為多少時(shí)表面總造價(jià)最小[3]？

計(jì)算方法和上面類(lèi)似，過(guò)程也基本一致，最終的結(jié)果是（m+n）r=h時(shí)，表面總造價(jià)最小。

此時(shí)得到的易拉罐如圖1，是一個(gè)圓柱體，但是生活中我們看到的易拉罐是如圖2的形狀，上面的圓臺(tái)顯然不可忽視，那么我們對(duì)圓臺(tái)同樣進(jìn)行一下計(jì)算。

思考四：設(shè)易拉罐上部為一正圓臺(tái)，下面是圓柱體，圓臺(tái)的體積一定，底面半徑設(shè)為R，上底半徑r和圓臺(tái)高度h的比為何值時(shí)表面積最??？

圓臺(tái)的表面積=圓臺(tái)頂蓋面積+圓臺(tái)側(cè)面積。S=πr2+π（r+R） 。

依據(jù)圓臺(tái)的體積公式有 ，則有S=

。限于目前的能力不能解出正確的結(jié)果，公式求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為0，則能夠求出結(jié)果。

生活中常用的易拉罐底部也不是規(guī)則的圖形，底部是向內(nèi)凹陷的造型，凹陷進(jìn)去的設(shè)計(jì)有著比較優(yōu)秀的性能。易拉罐作為容器，內(nèi)部存放著飲料的時(shí)候?qū)Φ撞坑幸欢ǖ膲毫?，向?nèi)凹陷的設(shè)計(jì)可以提升抗壓能力，其次立放的時(shí)候可以更加穩(wěn)定，如果是一個(gè)平面，那么支撐面不平整會(huì)導(dǎo)致整個(gè)易拉罐不能穩(wěn)定放置，中間向上凹陷，接觸面由平面與平面的接觸變?yōu)槠矫媾c一個(gè)外圈接觸，當(dāng)平面平整，兩者都能夠穩(wěn)定放置，如果有一個(gè)細(xì)小的突起，凹陷的設(shè)計(jì)可以使易拉罐輕微移動(dòng)之后穩(wěn)定放置，而平整的底面做不到；再次，飲料在夏季冰凍或是不良反應(yīng)可能會(huì)增大體積，凹陷部分可以變?yōu)橥怀?，防止罐體破裂、泄露；最后，下面的設(shè)計(jì)可以嵌入易拉罐頂部的圓內(nèi)，在大量運(yùn)輸?shù)臅r(shí)候可以提升穩(wěn)定性。

易拉罐看似常見(jiàn)，但是其中的設(shè)計(jì)元素一點(diǎn)也不少。經(jīng)過(guò)了對(duì)易拉罐的研究之后，感到生活處處皆學(xué)問(wèn)。易拉罐的設(shè)計(jì)不僅僅涉及到經(jīng)濟(jì)因素，還和人們的價(jià)值觀和美學(xué)觀念有一定的聯(lián)系。希望設(shè)計(jì)師能夠設(shè)計(jì)出更美觀、更實(shí)用和更經(jīng)濟(jì)的易拉罐。

參考文獻(xiàn)

[1]周文國(guó). 易拉罐的設(shè)計(jì)方案[J]. 中學(xué)生數(shù)學(xué)，2002，（01）：18.

[2]劉彭芝，王珉珠. 中學(xué)數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)指導(dǎo) 數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)文化[M]. 北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2010.44-45.

[3]陶鋒. 易拉罐中的數(shù)學(xué)知識(shí)[J]. 數(shù)學(xué)大世界（高中生數(shù)學(xué)輔導(dǎo)版），2003，（12）：21.