一種基于邊長約束的界址點(diǎn)坐標(biāo)平差方法

陳長波

（1.廣東省國土資源測繪院，廣東 廣州 510500）

近年來，隨著數(shù)字?jǐn)z影測量技術(shù)的快速發(fā)展，全國很多地區(qū)結(jié)合自身對(duì)地理信息資源的需求，開展了高分辨率航空影像數(shù)據(jù)建設(shè)。如何將其成果應(yīng)用到村莊地籍調(diào)查中，快速、高效地完成村莊地籍調(diào)查，已成為國土資源管理和地籍調(diào)查人員探討的重點(diǎn)?；诟叻直媛视跋駡D解的界址點(diǎn)坐標(biāo)[1-7]，采用坐標(biāo)法計(jì)算宗地面積與實(shí)際面積存在較大差異[8]。為此，本文以圖解的界址點(diǎn)坐標(biāo)為基礎(chǔ)，以實(shí)地丈量的界址邊長及界址邊方位變化最小為約束，采用附帶約束的平差方法進(jìn)行圖解界址點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算[9]，使得最終的圖解界址邊長與丈量界址邊長一致、界址邊方位角變化最小，并使用圖解界址點(diǎn)采用坐標(biāo)法計(jì)算宗地面積，滿足解析法地籍調(diào)查宗地面積計(jì)算要求。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 界址點(diǎn)坐標(biāo)觀測值誤差方程式

以圖解的界址點(diǎn)、地物點(diǎn)的坐標(biāo)作為觀測值，由于圖解坐標(biāo)觀測值含有誤差，使得根據(jù)這些頂點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算的宗地面積與實(shí)際面積不一致。假定（xi，yi）為界址點(diǎn)Ji的圖解坐標(biāo)，相應(yīng)的平差值、觀測值改正值、未知參數(shù)分別為（，）、（v，v）、（δx，δy），則：xiyiii

對(duì)所有界址點(diǎn)、地物點(diǎn)坐標(biāo)觀測值，列出誤差方程如下：

式中，V1為坐標(biāo)觀測值改正數(shù)向量；δX為坐標(biāo)未知參數(shù)向量。顧及圖解坐標(biāo)的精度一致性且相互獨(dú)立，故觀測值的權(quán)為單位陣。

1.2 界址邊長約束條件方程式

對(duì)任意界址邊JiJi+1，實(shí)地丈量邊長為li,i+1，由于實(shí)地丈量界址邊長精度高于圖解界址邊長，在此不考慮界址邊長丈量誤差影響，則有：

線性化，得：

對(duì)所有界址邊長（含界址點(diǎn)至地物點(diǎn)丈量距離）列立約束條件方程，得：

式中，C為約束條件方程式系數(shù)陣；W為約束條件方程式常數(shù)向量。

1.3 方位角虛擬觀測值誤差方程式

在實(shí)際情況中，存在界址邊長不一，當(dāng)界址邊長差異很大時(shí)，僅利用界址邊長約束進(jìn)行界址點(diǎn)坐標(biāo)平差對(duì)界址邊方位影響較大，進(jìn)而引起界址邊夾角變化，極容易對(duì)幾何圖形產(chǎn)生扭曲變形。對(duì)于0.5 m的界址邊長，當(dāng)界址點(diǎn)坐標(biāo)在垂直于界址邊方向產(chǎn)生5 cm的改正，對(duì)界址邊方向影響接近6°。為此，增加界址邊方位角虛擬觀測值。

線性化，得：

對(duì)所有界址邊列立方位誤差方程，得：

式中，V2為界址邊方位角虛擬觀測值改正數(shù)向量；B為誤差方差式系數(shù)陣；相應(yīng)的權(quán)陣P。

1.4 誤差方程式求解

聯(lián)合圖解坐標(biāo)觀測值誤差方程式（2）、界址邊長約束條件方程式（5）及界址邊方位角虛擬觀測值方程式（8），根據(jù)最小二乘原理，組成極值函數(shù)[10]：

將Ψ對(duì)δX求一階倒導(dǎo)數(shù)，并令其為零，得：

顧及式（2）、（8），得：

式中，I為單位陣。將式（11）代入式（5），解得：

最終，解得未知參數(shù)δX。由此解得所有界址點(diǎn)及地物點(diǎn)的坐標(biāo)，且所有界址邊長的圖解與實(shí)際丈量的一致。此時(shí)，可直接利用圖解界址點(diǎn)平差坐標(biāo)計(jì)算宗地面積：

2 算例及精度分析

2.1 單宗地計(jì)算實(shí)例分析

以圖1所示的宗地為例，圖解界址點(diǎn)坐標(biāo)及外業(yè)實(shí)測界址邊長分別見表1第2、3列，如圖1所示。為比較界址邊長差異對(duì)平差坐標(biāo)的影響，分別采用僅約束界址邊長、約束界址邊長及方位角變化最小兩種方案，分別計(jì)算了界址點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)果見表1第4、5列和第6、7列。

圖1 宗地示意圖及實(shí)測界址邊長

表1 圖解界址點(diǎn)坐標(biāo)及平差坐標(biāo)

計(jì)算結(jié)果表明，通過平差計(jì)算，最終的界址邊長均與實(shí)測邊長一致，即通過平差實(shí)現(xiàn)幾何圖形界址邊與實(shí)際的一致對(duì)應(yīng)。

采用幾何要素計(jì)算本宗地面積為308 m2，分別采用圖解坐標(biāo)、邊長約束平差坐標(biāo)、邊長角度約束平差坐標(biāo)計(jì)算本宗地面積分別為312.965 1 m2、310.617 0 m2、308.032 1 m2，與幾何要素法計(jì)算面積差分別為4.965 1 m2（相對(duì)差1.61%）、2.617 0 m2（相對(duì)差0.85%）、0.032 1 m2（相對(duì)差0.01%）。由此可見，通過約束平差，面積精度得到了顯著提高。

利用界址點(diǎn)坐標(biāo)反算界址邊夾角，并與圖解界址邊夾角相比，其中邊長約束平差界址邊夾角變化最大達(dá)到1.5°，邊長角度約束平差界址邊夾角變化最大僅為5′，兩者相差接近20倍。

由此可見，采用邊長角度約束平差圖解宗地界址坐標(biāo)，宗地面積與實(shí)際面積差值較小，且界址邊夾角變化很小，實(shí)現(xiàn)幾何圖形保真。

2.2 村莊地籍調(diào)查實(shí)例分析

圖2 圖解村莊示意圖

為檢驗(yàn)方法的普適性，將上述方法用于如圖2所示的某村莊地籍調(diào)查。首先基于1∶2 000數(shù)字正射影像圖解各宗地，共得到350宗，平均宗地面積約90 m2。而后利用外業(yè)實(shí)測界址邊長及相鄰宗地界址點(diǎn)相互位置關(guān)系，進(jìn)行邊長角度約束平差計(jì)算圖解界址點(diǎn)平差坐標(biāo)，并與實(shí)測宗地面積比對(duì)，結(jié)果與上述結(jié)果基本一致。

表2 計(jì)算面積與幾何要素計(jì)算面積較差統(tǒng)計(jì)表

表2表明，采用本文的邊長角度約束平差，圖解面積與實(shí)測面積較差在1%范圍內(nèi)的約占70%，3%范圍內(nèi)的約占90%。個(gè)別誤差較大的宗地，究其原因，主要是宗地面積過小，稍許誤差即可引起較大的相對(duì)誤差，當(dāng)扣除小面積（此處取20m2以內(nèi)），95%以上宗地相對(duì)誤差在0.5%以內(nèi)。因此，在實(shí)際作業(yè)中，當(dāng)面積較小時(shí)（此處取20m2）應(yīng)特別注意宗地面積對(duì)宗地相對(duì)誤差的影響。

表3 計(jì)算方位角與圖解方位角較差統(tǒng)計(jì)表

表3表明，邊長角度約束平差坐標(biāo)計(jì)算宗地界址邊方位角，75%以內(nèi)的方位角變化在15′內(nèi)，采用邊長角度約束平差圖解宗地界址坐標(biāo)，同樣可以實(shí)現(xiàn)幾何圖形保真。

5 結(jié) 語

以圖解的界址點(diǎn)坐標(biāo)作為基礎(chǔ)，以實(shí)地丈量的界址邊長及界址邊方位變化最小為約束，采用附帶約束的平差方法進(jìn)行圖解界址點(diǎn)坐標(biāo)改正，使用圖解界址點(diǎn)平差坐標(biāo)計(jì)算宗地面積，既解決了宗地不規(guī)則的問題，又滿足了幾何要素的要求。

通過村莊地籍調(diào)查實(shí)踐證明，該方法既能高效便捷地開展村莊地籍調(diào)查，又能保證界址邊長和宗地面積的可靠性，方法完全可行，具有很好的應(yīng)用前景。