突破數(shù)學(xué)抽象，形成深度理解

江蘇省濱?？h實(shí)驗(yàn)小學(xué) 王立恒

數(shù)學(xué)知識(shí)嚴(yán)謹(jǐn)抽象，學(xué)生只有借助于嚴(yán)密推理、高度抽象才能準(zhǔn)確地掌握知識(shí)，理解其中的思想內(nèi)涵。教師卻往往“倒置本末”，以注入教學(xué)、大量刷題來(lái)提升考分，卻忽略了對(duì)知識(shí)的關(guān)聯(lián)、思維的啟發(fā)、思想的挖掘，學(xué)生難以形成深度的感悟，他們的抽象思維能力難以獲得真正的提升。

一、多法共融，探尋抽象概念

1.融入生活，搭建學(xué)習(xí)支架。

概念是從生活世界中高度抽象出來(lái)的，為拉近抽象概念與學(xué)生之間的距離，教師要讓數(shù)學(xué)概念回歸生活，將他們置于形象的情境之中，通過(guò)對(duì)諸多事物的觀察、思考，從而探尋他們所具有的共同屬性，并分析其中的本質(zhì)內(nèi)容。學(xué)生只有經(jīng)歷概念的抽象過(guò)程，能去除“情境支架”分析本質(zhì)內(nèi)容，從而能促進(jìn)他們對(duì)抽象數(shù)學(xué)概念的理解。

如在學(xué)習(xí)蘇教版三下《兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算》一課內(nèi)容時(shí)，教者創(chuàng)設(shè)情境：散落在地上的12箱絲瓜，每箱有31條，請(qǐng)求出一共有多少條？教師立足于學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，以“散落”的形式為學(xué)生留有探索的空間，他們通過(guò)圈一圈、寫一寫，將12這個(gè)兩位數(shù)轉(zhuǎn)化為熟知的一位數(shù)，有的學(xué)生將12變換成4×3，也有的學(xué)生將其變成6×2，還有學(xué)生將其拆成10與2。學(xué)生運(yùn)用不同的方法計(jì)算，教者引導(dǎo)他們歸納這些方法背后蘊(yùn)含的“一般性”的規(guī)律，將其中的一個(gè)乘數(shù)轉(zhuǎn)換成整十的數(shù)與一位數(shù)，再分別與另一個(gè)乘法相乘，最后將結(jié)果相加。知識(shí)是螺旋發(fā)展的，教師只有建立“一位數(shù)乘多位數(shù)與“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的關(guān)聯(lián)，引導(dǎo)他們從所學(xué)舊知中探索、理解、生長(zhǎng)新知，從而能促進(jìn)他們對(duì)抽象內(nèi)容的理解。

2.依托工具，獲得直觀感受。

教師要借助于多媒體等工具，讓抽象的內(nèi)容變得形象直觀，從而獲得感性的認(rèn)識(shí)，通過(guò)觀察、操作、討論等方式加以概括、分析，讓自己的思考逐步由表層走向深入。如在學(xué)習(xí)“圓的周長(zhǎng)”一課內(nèi)容時(shí)，教者利用多媒體呈現(xiàn)直徑分別為22、24、26英寸的輪胎圖片，讓學(xué)生通過(guò)觀察、對(duì)比，說(shuō)說(shuō)各滾動(dòng)一周，哪個(gè)車輪行駛的路徑會(huì)更長(zhǎng)一些？教者以多媒體幫助學(xué)生形成“直徑越大，周長(zhǎng)越長(zhǎng)”的直觀感受。學(xué)生對(duì)圓的周長(zhǎng)這一抽象概念缺少理解，教師借助媒體呈現(xiàn)直觀內(nèi)容，引發(fā)學(xué)生在觀察輪胎中對(duì)“圓的周長(zhǎng)”獲得感知，在對(duì)比中獲得直徑與周長(zhǎng)關(guān)系的感悟。

多媒體能產(chǎn)生化難為易、變繁為簡(jiǎn)的效果，教師要利用多媒體的直觀性，為學(xué)生的探索提供指引，讓他們?nèi)ヌ綄ぬN(yùn)含于圖形中的深刻原理，從而能獲得深刻的感悟，這樣要遠(yuǎn)比機(jī)械、枯燥的記憶要來(lái)得有效。如在學(xué)習(xí)《角的初步認(rèn)識(shí)》內(nèi)容時(shí)，教者為學(xué)生呈現(xiàn)一個(gè)五角星的圖片，讓他們對(duì)角產(chǎn)生初步的感知。教者呈現(xiàn)校園情景圖，讓他們“比一比”眼力，去發(fā)現(xiàn)圖中隱藏的角。教者讓學(xué)生指角，很多學(xué)生自然地點(diǎn)了角的頂點(diǎn)處，教者利用學(xué)生的“盲點(diǎn)”，用粉筆在黑板上點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)，并提出問(wèn)題“這是個(gè)角嗎？”，讓他們及時(shí)地發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，自然地引出角的各部分名稱，從而建立“角”的正確表象。

3.借助操作，形成感官體驗(yàn)。

教師還可以引領(lǐng)學(xué)生動(dòng)手操作、展開(kāi)想象，促進(jìn)他們對(duì)抽象內(nèi)容的理解，讓他們的思維得以拔高，思維能力獲得提升。如在學(xué)習(xí)“三角形的面積計(jì)算”內(nèi)容時(shí)，教者呈現(xiàn)一個(gè)平行四邊形，讓他們?cè)O(shè)法將其分為兩個(gè)三角形。教師為小學(xué)生提供動(dòng)手操作的空間，他們將其剪成兩個(gè)一模一樣的三角形，并將其與原有圖形進(jìn)行對(duì)比。他們?cè)诓僮?、?duì)比中對(duì)三角形的面積形成直觀的感知。學(xué)生通過(guò)操作，能使形象與抽象之間建立聯(lián)系，能促進(jìn)他們對(duì)抽象內(nèi)容的領(lǐng)悟。教師要將動(dòng)眼看、動(dòng)腦思、動(dòng)手做結(jié)合起來(lái)，讓學(xué)生有了廣闊的體驗(yàn)空間，在剪、拼中促進(jìn)他們對(duì)“轉(zhuǎn)化”思想的認(rèn)識(shí)。在將原圖形與拼后的圖形對(duì)比中感受三角形面積公式的推導(dǎo)過(guò)程。學(xué)生在操作中不僅獲得知識(shí)的積累，還能形成解決問(wèn)題的策略、掌握“轉(zhuǎn)化”的思想方法。

二、借助提問(wèn)，促進(jìn)規(guī)律建構(gòu)

1.以問(wèn)促疑，引發(fā)探索動(dòng)力。

知識(shí)只有披上情境的“馬甲”，才能讓學(xué)生產(chǎn)生似曾相識(shí)的感覺(jué)，引發(fā)他們的情感投入。而對(duì)于小學(xué)生而言，新穎的問(wèn)題對(duì)他們更有天生的吸引力，能促進(jìn)他們的思維聚攏，讓他們?cè)谔剿髦行纬缮羁痰挠∠?。教者要有意識(shí)地設(shè)置問(wèn)題情境，引發(fā)學(xué)生的好奇之心，不斷刺激他們的探知欲望，讓他們能主動(dòng)地解決疑惑。

如在學(xué)習(xí)“解方程”的內(nèi)容時(shí)，教者有意識(shí)地“賣關(guān)子”，讓學(xué)生想好一個(gè)數(shù)乘以5，再加上2，然后報(bào)出這個(gè)結(jié)果，教者就能根據(jù)結(jié)果去“讀”出學(xué)生心里所想的數(shù)。當(dāng)學(xué)生報(bào)出結(jié)果是62時(shí)，老師指出這個(gè)數(shù)是12；當(dāng)學(xué)生報(bào)出結(jié)果是117時(shí)，教師指出這個(gè)數(shù)時(shí)23……學(xué)生對(duì)老師的“讀心術(shù)”充滿好奇，會(huì)積極投入到解方程之中，去探尋這個(gè)有趣問(wèn)題背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)規(guī)律。教師故意設(shè)置疑難問(wèn)題，會(huì)引發(fā)學(xué)生對(duì)“讀心術(shù)”的好奇，讓他們的注意力聚焦于問(wèn)題中，為解決自己的疑惑，他們會(huì)急于探尋問(wèn)題的答案。教師以問(wèn)題情境激思，能驅(qū)動(dòng)學(xué)生的求知熱情，驅(qū)使他們?nèi)ダ斫鈫?wèn)題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)規(guī)律，在循序而思中掌握解決方程的方法。

2.巧妙設(shè)計(jì)，促進(jìn)學(xué)生思辨。

教師要圍繞教學(xué)中的關(guān)鍵點(diǎn)，故意設(shè)置疑惑性的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生去析疑解惑，從而對(duì)難點(diǎn)內(nèi)容有一定深度的理解。教師在易于混淆點(diǎn)、認(rèn)知模糊點(diǎn)設(shè)計(jì)問(wèn)題，讓學(xué)生的思維聚焦于難點(diǎn)問(wèn)題，為解決自己的疑惑而探索，使自己的思路變得清晰。如“年、月、日”一課教學(xué)中，“二月”較為特別，既不是大月，也不是小月，它沒(méi)有固定的天數(shù)，平年的二月有28天，閏年的二月有29天。教者抓住學(xué)生的理解難點(diǎn)巧妙設(shè)計(jì)問(wèn)題：李華今年9周歲了，卻僅僅過(guò)了3個(gè)生日，你知道這是為什么嗎？在學(xué)生的印象中，都是一年過(guò)一次生日，為何李華只過(guò)了3個(gè)生日呢？為了破除心中之惑，他們?nèi)ネ度氲介c年規(guī)律的探索中。教師要在疑惑處、關(guān)鍵處設(shè)計(jì)問(wèn)題，點(diǎn)燃學(xué)生的探索欲望，讓他們對(duì)所學(xué)知識(shí)產(chǎn)生深入的思考。如果教師只是教給學(xué)生閏年、平年的知識(shí)，學(xué)生往往收效甚微，教師的提問(wèn)只有叩中難點(diǎn)、疑點(diǎn)，對(duì)“9周歲卻只過(guò)3個(gè)生日”產(chǎn)生思考，在理解閏年這種情況后才會(huì)有所突破，才能促進(jìn)他們對(duì)重難點(diǎn)內(nèi)容的把握。

3.以問(wèn)促構(gòu)，形成深度理解。

學(xué)生要親歷活動(dòng)的過(guò)程，在體驗(yàn)、積累知識(shí)中主動(dòng)建構(gòu)。教師要以問(wèn)題為學(xué)生的探索提供支撐，為他們操作提供指引，在探究中形成對(duì)知識(shí)的理解。

如在學(xué)習(xí)“認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)”內(nèi)容時(shí)，教者出示學(xué)具，讓學(xué)生猜一猜，這個(gè)扇形是一個(gè)圓的幾分之一？在學(xué)生猜測(cè)后教者讓學(xué)生動(dòng)手拼一拼，看自己的猜測(cè)是否正確（七分之一）。教者讓學(xué)生小組合作，用多個(gè)這樣的七分之一拼出一個(gè)扇形，看它是一個(gè)圓的幾分之幾？各小組匯報(bào)，有七分之二、七分之三……教者讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)，這些拼出的圖形形狀以及分?jǐn)?shù)不同，但他們有著怎樣的共同之處？學(xué)生發(fā)現(xiàn)這幾個(gè)分?jǐn)?shù)的分母都是“7”，七分之一是這些分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位。教者再呈現(xiàn)圖形，讓他們說(shuō)說(shuō)這些分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位是多少？通過(guò)剛才的操作，你發(fā)現(xiàn)了什么？教者以問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生觀察、估算、驗(yàn)證，促進(jìn)他們對(duì)分?jǐn)?shù)單位這一概念的理解。

三、追問(wèn)引思，促進(jìn)思維攀爬

1.乘勝追擊，點(diǎn)燃思維引擎。

提問(wèn)能促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的鞏固，能獲得學(xué)情的把握，但教師往往難以全面地預(yù)設(shè)學(xué)生的回答、思維發(fā)展的狀態(tài)，要借助于深層次的追問(wèn)，讓他們不停留于思維表面，去思考、質(zhì)疑，形成深層次的探索。教師不滿足于傳遞知識(shí)、引導(dǎo)方法，要在細(xì)節(jié)處、分歧處、疑惑處追問(wèn)，引發(fā)學(xué)生的思維攀爬，從而能形成自主參與的體驗(yàn)，形成深度的數(shù)學(xué)思考。

如在學(xué)習(xí)“三角形的三邊關(guān)系”一課內(nèi)容時(shí)，很多學(xué)生會(huì)認(rèn)為只要用三根小棒都可以搭成一個(gè)三角形，為促進(jìn)他們對(duì)三邊關(guān)系的認(rèn)識(shí)，教者為每組學(xué)生分別提供兩組小棒，一組小棒長(zhǎng)度分別為3厘米、5厘米、6厘米，另一組小棒長(zhǎng)度分別為3厘米、5厘米、9厘米，讓他們說(shuō)說(shuō)在搭的過(guò)程中有何發(fā)現(xiàn)？學(xué)生發(fā)現(xiàn)一組能組成三角形，而另一組不能，因而就會(huì)產(chǎn)生疑惑，這會(huì)與哪些因素有關(guān)系？學(xué)生通過(guò)對(duì)比、交流，認(rèn)為是不是9厘米這根小棒太長(zhǎng)了。教者讓他們與同組的另兩根小棒進(jìn)行對(duì)比，并用式子表示出來(lái)（3+5＜9），同時(shí)追問(wèn)他們：兩邊的和與第三邊存在怎樣的關(guān)系時(shí)，才能順利地圍成一個(gè)三角形？此時(shí)也有學(xué)生提出異議，這三條邊中也存在兩邊之和大于第三邊的情況，教者追問(wèn)學(xué)生：你還能寫出其它的算式嗎？通過(guò)追問(wèn)讓他們理解“任意”兩字的內(nèi)涵，教師借助于追問(wèn)，幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)概念。

2.恰當(dāng)理答，促進(jìn)深度發(fā)展。

很多教師往往在意如何“問(wèn)”，卻忽略了應(yīng)對(duì)學(xué)生的“答”，未能借機(jī)牽引思維，沒(méi)有為學(xué)生留有深入發(fā)展的余地。教師有時(shí)要放下話語(yǔ)霸權(quán)，要為學(xué)生的表達(dá)留有機(jī)會(huì)，讓他們能表達(dá)自己的觀點(diǎn)。教師要學(xué)會(huì)傾聽(tīng)，能融入學(xué)生的內(nèi)心世界，看清他們暴露的思維。教師要問(wèn)在觀點(diǎn)的模糊處，能促進(jìn)他們對(duì)抽象概念的理解、錯(cuò)誤觀點(diǎn)的糾正、模糊理解的厘清。學(xué)生在表達(dá)中往往會(huì)漏掉關(guān)鍵詞句，而這往往是易混淆處，教師要以問(wèn)激思，促進(jìn)他們對(duì)問(wèn)題的準(zhǔn)確理解。

如在學(xué)習(xí)《認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)》一課內(nèi)容后，教者呈現(xiàn)郎平、丁俊輝、郭晶晶的身高分別是184、174、164厘米，如果將郭晶晶身高看作0，郎平、丁俊輝身高分別是多少？如果把丁俊輝身高看作0，那么郎平、郭晶晶身高是多少？當(dāng)學(xué)生回答都是10后，教者追問(wèn)：那她們的身高是一樣高了？該如何表示？在教師的追問(wèn)下，學(xué)生用10表示郎，郭比丁少10，用負(fù)數(shù)表示。教者通過(guò)追問(wèn)，讓學(xué)生經(jīng)歷負(fù)數(shù)的形成過(guò)程，學(xué)會(huì)表示正負(fù)數(shù)。教師如果囿于靜態(tài)的知識(shí)提問(wèn)，學(xué)生只能收獲知識(shí)部分的內(nèi)容，而學(xué)生的思維無(wú)法深入，教師要關(guān)注學(xué)生的發(fā)展動(dòng)態(tài)，從學(xué)生的回答、交流中獲得反饋，并予以積極的理答，通過(guò)恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)、追問(wèn)啟智，能激活學(xué)生的思維，引他們循序而進(jìn)，向更高層次進(jìn)階。

四、留白促學(xué)，促進(jìn)思維延伸

1.少教多悟，促進(jìn)學(xué)生深思。

在傳統(tǒng)教學(xué)中，教師往往“教”的多，而留給學(xué)生“悟”的時(shí)間過(guò)少，學(xué)生難以形成深度的體驗(yàn)。教師要彈性設(shè)計(jì)內(nèi)容，刻意留白，為學(xué)、思、悟留有空間，擺脫知識(shí)的“灌輸”、問(wèn)題的“轟炸”，能留給學(xué)生自主思考的空間。如果無(wú)意義、無(wú)價(jià)值的問(wèn)題過(guò)多，勢(shì)必給他們留有思考的時(shí)間少。學(xué)生只有經(jīng)過(guò)充足時(shí)間的思考，才能對(duì)問(wèn)題的理解更加準(zhǔn)確、更加深入。

如在學(xué)習(xí)“認(rèn)識(shí)千以內(nèi)的數(shù)”一課內(nèi)容時(shí)，教者讓學(xué)生從學(xué)具中拿出一個(gè)小方塊，并說(shuō)說(shuō)可以用數(shù)字幾表示？再讓他們繼續(xù)一個(gè)一個(gè)地取出來(lái)，并數(shù)一數(shù)。當(dāng)他們數(shù)到10時(shí)，教者提出問(wèn)題：現(xiàn)在這10個(gè)都散放著，我們能將它們裝在一起嗎？你看到了什么？學(xué)生通過(guò)拼裝，看到了一個(gè)十。教者繼續(xù)提問(wèn)：現(xiàn)在我們還可以如何數(shù)？學(xué)生數(shù)著手中的學(xué)具，1個(gè)十，2個(gè)十……10個(gè)十。邊數(shù)邊合作將10個(gè)十裝進(jìn)托盤中，并指出這10個(gè)十就是1個(gè)百。教者繼續(xù)引導(dǎo)：現(xiàn)在我們可以怎么數(shù)？學(xué)生組與組之間共同合作，將學(xué)具盤放在一起，1個(gè)百，2個(gè)百……10個(gè)百。有學(xué)生指出這是10個(gè)百，也有學(xué)生指出這是1千。教者借助于正方形學(xué)具和托盤引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行操作，從而以實(shí)物的方式表現(xiàn)出一、十、百、千這幾個(gè)計(jì)數(shù)單位。教師為學(xué)生留有組裝、拼接的空間，讓他們能直觀地感受數(shù)量的多少，并能自然地對(duì)“千”這個(gè)計(jì)數(shù)單位形成初步的認(rèn)識(shí)。

2.重質(zhì)輕量，促進(jìn)思維延伸。

在傳統(tǒng)的教學(xué)中，教師為追求熱鬧的氣氛與問(wèn)題的覆蓋面，以密集性的提問(wèn)“轟炸”學(xué)生，讓課堂變得“熱鬧非凡”，課堂看似達(dá)成度較高，但卻無(wú)法激活學(xué)生的思維，引發(fā)學(xué)生的深度思考。教師要將“質(zhì)”置于首位，提出富有挑戰(zhàn)性、外延大的深度問(wèn)題，有意識(shí)地設(shè)置留白，讓他們有思維攀爬的空間，通過(guò)循序漸進(jìn)的引導(dǎo)，探討問(wèn)題的答案，形成有深度的理解。

如在學(xué)習(xí)“公倍數(shù)和最小公倍數(shù)”一課內(nèi)容時(shí)，教者選擇一個(gè)典型性的問(wèn)題：6和4的公倍數(shù)有哪些？其中最小的公倍數(shù)是幾？學(xué)生結(jié)合自己的理解參與討論交流，想出了多樣的方法，有的學(xué)生先找出6的倍數(shù)，有6、12、18、24、30、36……再?gòu)闹姓页鍪?的倍數(shù)，有12、24、36……；也有的學(xué)生先找出4的倍數(shù)，有4、8、12、16、20、24……，再?gòu)闹姓页鍪?的倍數(shù)，有12、24……教師并未直接告知學(xué)生方法，而是為他們留有思考的空間，讓他們有更多思維感悟的空間，讓他們的思維得以發(fā)散、延伸。

綜上所述，教師要尋求多樣的方法幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)障礙，理解抽象內(nèi)容，能促進(jìn)他們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)、抽象規(guī)律的把握、數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，從而形成深度的數(shù)學(xué)思維。