基于電池交換的電動汽車充電設(shè)施規(guī)劃方法研究

顧騰飛，張勇

(蘇州大學(xué)軌道交通學(xué)院，江蘇 蘇州 215131)

電動汽車續(xù)航里程短、充電時耗長、充電設(shè)施不普及等因素限制了其推廣應(yīng)用。電動汽車充電方式主要有兩類，一類是整車充電；另一類是電池交換，即在換電站將電能耗盡的電池取下，換上滿電電池。后者補能迅速，是潛力較大的充電方式。

電池交換方式的補能基礎(chǔ)設(shè)施研究主要有兩類，一是換電站布設(shè)研究；二是換電站內(nèi)充電樁及電池配置的研究。在第一類研究中，Mak等[1]建立了成本最低和實現(xiàn)投資收益目標概率最大兩個選址模型，后者能更快地給出選址方案，但沒討論電池容量的選擇問題。為此，Nie等[2]以社會總成本最小為目標建立模型研究電池容量和充電功率的選擇，但該研究未考慮電池交換需求是路徑選擇的結(jié)果。而Yang等[3]用整數(shù)規(guī)劃模型來研究換電站站點設(shè)置和車流路徑選擇問題，并進行經(jīng)濟和環(huán)境影響分析。此外，錢斌等[4]利用近鄰傳播聚類方法優(yōu)化電池交換式電動公交的充電站址，再以建設(shè)成本最小為目標，給出充電樁、換電位和電池保有量的規(guī)劃方案。該模型適用于電動公交。而面對出租車的換電需求，Wang等[5]以所有換電需求的總時間成本最小為目標建立模型，給出了換電站布設(shè)方案，并利用蘇州出租車現(xiàn)狀進行案例分析。Jamian等[6]還從減少配電網(wǎng)電能損失的角度研究換電站布設(shè)問題，利用分析法和人工蜂群算法分別給出了電能損失最小的方案。Kang等[7]面對用電價格波動提出電池交換式電動汽車的集中充電策略，并優(yōu)化了充電地點和充電規(guī)則，在換電站布設(shè)完成后，需進一步研究站內(nèi)充電樁、電池保有量等問題。因此，在第二類研究中，Adler等[8]設(shè)計了一種車輛引導(dǎo)模型，解決電動汽車網(wǎng)絡(luò)導(dǎo)航和電池儲備問題。相對于普通電動汽車，電動公交的換電需求更為頻繁，因而Zou等[9]研究電動公交換電站配置優(yōu)化問題，以運營成本最小為目標建立模型，優(yōu)化站內(nèi)充電樁及電池數(shù)量，并對北京換電站進行案例分析。Wu等[10]以日間電池保有成本最小為目標建立規(guī)劃、運營兩階段模型，并以香港國際機場公交進行案例分析。

上述研究存在兩個缺陷。首先，以往研究忽略了充電過程，而認為總是有電池可換。而卸下的電池在站內(nèi)也有較長的充電過程，若保有電池數(shù)較少，會出現(xiàn)無法立刻換取滿電電池的情況，因而不能將其忽略。其次，站點配置的電池數(shù)不僅與充電時間相關(guān)，還與運營商所擔(dān)保的能立刻換得滿電電池的概率(下文稱換電成功概率)相關(guān)。針對以往研究忽略了的這兩個因素，本文做了以下研究：(1)為描述充電過程，基于生滅過程理論，建立電池滿電或缺電狀態(tài)數(shù)學(xué)描述；(2)以充電設(shè)施建設(shè)成本最小為目標，考慮換電成功概率要求，建立換電站及保有電池數(shù)決策模型；(3)采用構(gòu)造拉格朗日函數(shù)的方法，對決策模型提出求解算法。通過以上分析，利用所建的模型及其求解算法，結(jié)合算例，揭示換電成功概率、充電速率對建設(shè)成本的影響。

1 基本模型

1.1 電池交換過程及基本假設(shè)

研究道路長為S，該道路上均勻分布m個間距為l的換電站。有補能需求的電動汽車到達后，換取滿電電池，耗盡的電池留在換電站充電并供后續(xù)到達的電動汽車換取。圖1展示了電池交換及電池充電的過程。

圖1 電池交換示意圖Fig.1 Battery-swapping of electric vehicles

為方便建模，進行如下假設(shè)：

(i)對于第i個換電站，電動汽車的到達服從參數(shù)為αi的泊松分布；

(ii)待充電池的充電時間服從參數(shù)為μ的負指數(shù)分布；

(iii)滿電電池續(xù)航里程應(yīng)大于相鄰站點間距；

(iv)道路上設(shè)置的換電站是等間距的；

(v)電池是統(tǒng)一標準的，即滿電電池續(xù)航里程相同；

(vi)僅考慮單方向情況，單位時間單位距離上產(chǎn)生的需求為β(x)，β(x)是關(guān)于具體位置x的函數(shù)。

1.2 模型構(gòu)建

1.2.1 需求分析

換電站個數(shù)應(yīng)大于站間距個數(shù)，則：

(1)

根據(jù)假設(shè)(iii)，電池續(xù)航里程大于站間距，則有：

(2)

其中，y為電池的電量，v為車速，W為電池功率。

根據(jù)公式(1)、(2)，易得：

(3)

根據(jù)圖2，考慮從站1到站m方向的交通量對沿途換電站換電需求的影響，此時則有：

αi=λ1·(f1i+f1(i+1)+f1(i+2)+…+f1m)+λ2·(f2i+f2(i+1)+f2(i+2)+…+f2m)+…+λi。

(4)

另外，設(shè)施總服務(wù)速率應(yīng)大于換電需求到達率，因此有：

。

(5)

圖2 道路沿線站點布置Fig.2 Layout of stations along the road

1.2.2 交換站狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程分析

由1.1假設(shè)(i)、(ii)知，電動汽車的到達服從參數(shù)為αi的泊松分布，待充電池的充電時間服從參數(shù)為μ的負指數(shù)分布。若將電車上卸下的待充電池看成系統(tǒng)的顧客，那么每到達一輛電動汽車，就會卸下一塊電池等待充電，這個速率和電車的到達率αi是一致的，泊松流的到達間隔時間服從負指數(shù)分布，因此待充電池的“到達”時間間隔亦服從負指數(shù)分布。而待充電池隨著充電的進行將會被充滿，每充滿一塊電池就意味著一個“顧客”——待充電池的離開，這個速率與單服務(wù)臺充電速率μ及此時正在充電的電池數(shù)有關(guān)。整個過程都伴隨著待充電池的“到達”和“離開”，因此，根據(jù)隨機過程理論，換電站的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程本質(zhì)上為一個生滅過程。但值得注意的是，一輛電動汽車到達后，如果換電站此時有滿電電池，那么將會換取一塊電池并即刻離開；如果沒有滿電電池，將會在換電站處排隊等待，因此用(b,v)表示電池交換站狀態(tài)，b、v分別代表可用于交換的滿電電池數(shù)、系統(tǒng)中電動汽車數(shù)。設(shè)換電站i保有的電池數(shù)量為Ni，則第i個電池交換站的電池狀態(tài)轉(zhuǎn)換如圖3所示。

圖3 電池交換站可用電池狀態(tài)轉(zhuǎn)換Fig.3 The state transition of full batteries in battery-swapping stations

將換電站內(nèi)部電池和電車狀態(tài)變化情況分成三部分來看：

第一部分是端點情況。如圖4所示，當(dāng)電池交換站狀態(tài)為(Ni，0)時，換電站有Ni塊可交換電池，沒有電車在等待，此時換電站狀態(tài)只能以αi的速率向(Ni-1，0)狀態(tài)轉(zhuǎn)化。

圖4 端點狀態(tài)變化情況Fig.4 The transition of endpoint states

第二部分是有可交換的滿電電池的情況。此時系統(tǒng)內(nèi)沒有電動汽車等待，如圖5所示。當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)為(b，0)時，瞬時可以向兩種狀態(tài)轉(zhuǎn)化：(1)當(dāng)前有(Ni-b)塊電池正以速率μs轉(zhuǎn)化為(b+1，0)狀態(tài)；(2)每到達1輛電動汽車就有1塊充滿電的電池將被換走，即以速率αi向(b-1，0)狀態(tài)轉(zhuǎn)化。

圖5 存在可交換電池的狀態(tài)變化情況Fig.5 The state transition of situations which contain swappable batteries

第三部分是電池全部在充電的情況。此時系統(tǒng)內(nèi)有電動汽車等待，如圖6所示。當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)為(0，v)時，瞬時可向兩種狀態(tài)轉(zhuǎn)化：(1)當(dāng)前有Ni塊電池正以速率μs向滿電電池轉(zhuǎn)化，每充滿一塊電池就有一輛電動汽車成功換電離開，即系統(tǒng)以Ni·μs的速率向(0，v-1)狀態(tài)轉(zhuǎn)化。(2)每到達1輛電動汽車就意味著增加一輛排隊等待的電動汽車，即系統(tǒng)以αi的速率向(0，v+1)狀態(tài)轉(zhuǎn)化。

圖6 存在電車等待換電情況下的狀態(tài)變化Fig.6 The state transition of situations which contain waiting vehicles

由此可見，換電站狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率與到達率αi、充電速率μ、換電站總的保有電池數(shù)Ni和此時電池交換站狀態(tài)(b,v)有關(guān)。綜上所述，在穩(wěn)態(tài)的情況下，可得下列表示各種狀態(tài)間相互轉(zhuǎn)移的差分方程：

(6)

。

(7)

(8)

(9)

令p0表示無滿電電池可以更換的概率，則：

。

(10)

當(dāng)電動汽車到達換電站時，并不意味著立刻就能換到電池。令η為電動汽車能立刻換得滿電電池的最小概率(下文簡稱換電成功概率)，則換不到電池的概率不應(yīng)大于1-η。即在電池交換站處無可交換電池的概率應(yīng)滿足式(11)。

(11)

1.2.3 換電站及其保有電池規(guī)劃

針對電池容量可變情形，建立換電站及其配置電池的優(yōu)化模型。電池容量決定其采購成本，假設(shè)電池價格與容量是線性關(guān)系，即：K(y)=a+b·y。其中，a為電池基價，b為單位電池容量價格。假設(shè)每個換電站建設(shè)成本為c，則建設(shè)總成本C為：

(12)

其中，決策變量包括電池容量y、配置電池數(shù)Ni以及換電站數(shù)m。以建設(shè)總成本最低為目標，根據(jù)約束條件(3)、(4)、(5)和(11)，得下述優(yōu)化模型：

(13)

st.

(14)

2 求解算法

本文采用構(gòu)造拉格朗日函數(shù)的方法，尋求規(guī)劃問題的K-T點，運用K-T條件和約束條件建立方程組，并討論乘子的取值以確定最優(yōu)性條件。針對模型(13)、(14)，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)如下：

(15)

其中：

x為決策變量，u為拉格朗日乘子，g(x)是約束條件函數(shù)組成的向量。對x求偏導(dǎo)?L(x,u)/?x，并根據(jù)K-T條件和約束得下列方程組：

(16)

式中，ni表示換電站i應(yīng)保有的最少電池數(shù)量。由式(16)得：

(17)

求解式(17)中的ni是本算法的關(guān)鍵，為此可利用公式(11)結(jié)合具體參數(shù)進行求解。

3 算例分析

3.1 算例設(shè)置

設(shè)道路長度S為800 km，v=60 km ·h-1，W=15 kW,c=300萬元，電池價格與容量的關(guān)系為：K(y)=3 500·y+ 10 000。單位時間內(nèi)每公里路段產(chǎn)生的需求量β(x)=0.2次/(km·h)；換電站充電速率μ=2塊·h-1。

。

(18)

3.2 充電設(shè)施建設(shè)成本分析

3.2.1 不同建站情況設(shè)計要求

該模型是以換電站及其配置的電池數(shù)為決策變量的整數(shù)規(guī)劃問題，這類問題難以解決。幸運的是，道路上換電站數(shù)量是有限的。因此，可通過枚舉并比較不同建站數(shù)對應(yīng)的目標函數(shù)(13)的值來求解。

在給定參數(shù)下，可算得換電系統(tǒng)設(shè)計要求，如表1所示。據(jù)表1知，建站數(shù)較少時，站間距、基本吸引量較大，因此需要配置的電池容量也較大，電池組價格相應(yīng)較高；反之，站間距、基本吸引量及相應(yīng)的電池容量、價格則較小。因此，有必要尋求最優(yōu)的換電站數(shù)量及配置的電池數(shù)組合，確保滿足換電成功概率約束下的建設(shè)成本最小化。

表1 建不同數(shù)量換電站的設(shè)計要求Table 1 Design requirements for the construction of different number of battery-swapping stations

由式(17)得各種建站情況下各站點總需求率：

(α1,α2,α3)=(54,90,90);

(α1,…,α4)=(40,70,80,70);

(α1,…,α5)=(32,57.6,70.4,70.4,57.6);

(α1,…,α6)=(27,49.5,63,67.5,63,49.5);

(α1,…,α7)=(23,42.7,55.9,62.4,62.4,55.9,42.7);

(α1,…,α8)=(20,37.5,50,57.5,60,57.5,50,37.5);

(α1,…,α9)=(18,34,46,54,58,58,54,46,34)。

3.2.2 保有電池數(shù)對換電成功概率影響

圖7 無滿電電池概率與站點保有電池數(shù)關(guān)系圖Fig.7 Relationship between the number of batteries and the probability of no swappable batteries

電動汽車用戶最為關(guān)心的是到達站點后能否立刻換到電池，其概率很大程度上取決于換電站保有電池數(shù)。據(jù)式(11)可算得電動汽車到達后無滿電電池可換的概率。圖7a～c展示了不同建站數(shù)情況下(僅展示部分建站情況)，各站保有電池數(shù)與無滿電電池概率之間的關(guān)系。從圖中可以看出，換電站無滿電電池概率關(guān)于Ni是單調(diào)遞減的，即換電站配置電池越多，換電成功概率越大。運營商需將不能立刻換得滿電電池的概率控制在一個較小值(稱閾值)內(nèi)。以圖7c中建8個站為例，閾值線與無滿電電池概率曲線的交點，即為該站所需保有的最少電池數(shù)，閾值為0.1時，站1至少應(yīng)保有16塊電池。

3.2.3 換電成功概率對建設(shè)成本的影響

換電站所設(shè)定的換電成功概率影響其配置的電池數(shù)，進而影響總建設(shè)成本。通過計算可得換電成功概率對整個系統(tǒng)保有的最少電池總數(shù)、綜合建設(shè)成本的影響，如圖8、9所示。據(jù)圖8、9知：(i)同樣建站數(shù)下，要求的換電成功概率越高，規(guī)劃的最少電池數(shù)越多，總建設(shè)成本越大；反之，只需保有較少的電池數(shù)，但可能產(chǎn)生排隊，因而違背了換電站高效的原則。(ii)換電成功概率η=0.9時，僅從電池數(shù)上看(如圖8所示)，建3個站似乎是最優(yōu)的，但圖9顯示建4個站總建設(shè)成本反而更低。原因是電池單價不同，影響了電池組保有成本進而影響總建設(shè)成本。因此，在規(guī)劃充電站及其配置電池數(shù)時，不能僅依據(jù)換電站及電池數(shù)量，還需考慮站點建設(shè)成本及電池容量-價格關(guān)系。

圖8 換電成功概率對規(guī)劃保有的最少電池數(shù)的影響Fig.8 Impact of the probability of getting swappable batteries successfully on the lowest number of batteries each station should hold

圖9 換電成功概率對綜合建設(shè)成本影響Fig.9 Impact of the probability of getting swappable batteries successfully on the total cost of the recharging system

各站配置的電池數(shù)還受電池交換需求影響，建站數(shù)較少時，各站需求較高，為滿足換電成功概率，所需電池數(shù)就較多。以η=0.9為例，在建3個站時，站點2、3需要最少的電池數(shù)為55；而建9個站時，需求最大的站點(站5、6)僅需配置37塊電池?？傮w成本受電池組保有成本及站點建設(shè)固定成本的影響。表2是η=0.9時的充電設(shè)施建設(shè)成本。據(jù)表2知，建站數(shù)越多，站點建設(shè)固定成本就越大；而電池采購成本隨建站數(shù)增加而減少。因此，當(dāng)c?K(y)時，總成本會隨著站點數(shù)減少而減少；而隨著站點數(shù)不斷減少，電池容量增加，K(y)也增加，反而需要增加站點數(shù)以減少電池組保有成本，進而減少總成本。因此，規(guī)劃時需要考慮這兩種成本。

表2 充電設(shè)施建設(shè)成本Table 2 Construction cost of recharging infrastructure

3.3 充電技術(shù)進步的影響

充電技術(shù)的進步能縮短充電時間，對換電站系統(tǒng)規(guī)劃產(chǎn)生重要影響。在η=0.9的情況下，假設(shè)μ=1.5、2、2.5 塊·h-1三種充電速率。圖10為不同充電速率下，各種建站情況的綜合成本及保有的總電池數(shù)。據(jù)圖10知，充電速率越高，保有電池數(shù)越少，總成本越低。以建4個站為例，μ=1.5、2.5 塊·h-1時，系統(tǒng)保有的電池數(shù)分別為214、138，總成本分別為5 159萬元、3 753萬元。

換電成功概率對規(guī)劃過程至關(guān)重要，以建4個站為例分析充電速率對換電成功概率的影響。圖11、12分別為不同充電速率下，第3個站點的電池數(shù)與無滿電電池概率關(guān)系及各個站點最少保有電池數(shù)。據(jù)圖11知，同樣電池數(shù)下，充電速率越高，無滿電電池概率越小，即要滿足相同的換電成功概率，充電速率越高，各站需保有的電池數(shù)就越少。由圖12知，在三種充電速率下，站點3應(yīng)保有的最少電池數(shù)分別為48、37、31。

綜上所述，充電速率的提高可增加換電成功概率，大大降低保有的最少電池數(shù)及建設(shè)成本，對電動汽車發(fā)展意義重大。

圖10 充電技術(shù)進步對換電站系統(tǒng)規(guī)劃的影響Fig.10 The impact of the advance of recharging technology on the battery-swapping station system planning

圖11 不同充電速率下無滿電電池概率與電池數(shù)關(guān)系Fig.11 Relationship between the number of batteries and the probability of no full batteries under different recharging rate

圖12 各站規(guī)劃保有的最少電池組數(shù)Fig.12 The lowest number of batteries that each station must hold

3.4 實例驗證

3.1～3.3中的算例是在理想化的交通走廊上的換電站規(guī)劃，現(xiàn)以現(xiàn)實中京滬高速江蘇段為例，驗證本文所建模型的實用性。電動汽車電池的特性、價格與電池容量的關(guān)系、充電速率等假設(shè)與3.1中算例設(shè)置中保持一致。根據(jù)京滬高速江蘇段的具體線路情況、江蘇經(jīng)濟發(fā)展?fàn)顩r及人民生活水平，對電動汽車的到達率進行分段假設(shè)以適應(yīng)實際情況。京滬高速江蘇段全長480.15 km，為方便計算這里取480 km?，F(xiàn)研究蘇北至蘇南側(cè)換電站系統(tǒng)規(guī)劃。將線路分為三個部分：蘇南(160 km)、蘇中(140 km)、蘇北(180 km)。三個區(qū)域的平均需求密度分別取0.3、0.2、0.1次/(km·h)，電動汽車往來比例保持不變。仍依據(jù)3.1～3.3的算例分析思路，這里不再詳細表述，直接給出必要計算結(jié)果。各種建站數(shù)下的各站點到達率分別為：

(α1,α2)=(30,79)；

(α1,…,α3)=(16,35.33,63.33)；

(α1,…,α4)=(12,21,35.5,50.5)；

(α1,…,α5)=(9.60,18.48,31.44,41.44,41.84 )；

(α1,…,α6)=(8,14.67,24.67,31,39.33,35.67 )。

這里仍設(shè)η=0.9，根據(jù)本文模型，換電站及其保有配置優(yōu)化結(jié)果如圖13所示。其中，保有電池成本曲線上標注的數(shù)字為該種建站方式下各站保有電池數(shù)。在該例中，建設(shè)3個站點的系統(tǒng)總成本最低，對應(yīng)圖13中空心圈所標注的位置，各站配備的電池數(shù)分別為13、18、41塊，總建設(shè)成本是2 130萬元。

圖13 換電系統(tǒng)優(yōu)化結(jié)果Fig.13 The optimal Results of Battery-swapping System

現(xiàn)實中，京滬高速單向平均每50 km設(shè)置一處快充站，江蘇段有11處快充站，均位于服務(wù)區(qū)內(nèi)。若考慮使用換電模式，據(jù)本文算例結(jié)果建議：蘇北至蘇南側(cè)的換電站可以利用淮安、泰州、蘇州的服務(wù)區(qū)，建三座換電站，可與快充站合建以減少初期站點建設(shè)成本。三處配備的電池數(shù)分別為13、28、41塊，該結(jié)果與現(xiàn)實中江蘇的人口及經(jīng)濟發(fā)展水平相吻合，蘇北地區(qū)經(jīng)濟發(fā)展相對落后，將來電車普及速度必定不及蘇中、蘇南地區(qū)。實例說明，本文模型對現(xiàn)實中交通走廊的充電基礎(chǔ)設(shè)施規(guī)劃有一定的指導(dǎo)意義，具有一定的實用價值。

4 結(jié)論

(1)本文考慮了換電站處電池充電及交換的隨機運作過程，因此在確定換電站及其電池數(shù)量時不僅能夠考慮換電需求，還能分析換電成功概率、充電技術(shù)進步的影響。

(2)所建模型能綜合考慮建站成本和電池采購成本，在滿足換電成功概率的約束下，實現(xiàn)建設(shè)成本最小的換電站及電池配置。該模型可用于電池交換式電動汽車充電設(shè)施規(guī)劃問題。

(3)依托本文模型，可從以下方面進行拓展：(i) 本文未深入分析充電設(shè)施對使用者行為的影響，包括出行行為分析、換裝電池的廣義費用等，可以此為切入點拓展本文模型，建立多目標規(guī)劃模型提高對實際需求的適應(yīng)性。同時，出行行為中的路徑選擇問題與道路交通網(wǎng)絡(luò)密切相關(guān)，可依托本模型進一步研究交通網(wǎng)絡(luò)上的換電站及電池規(guī)劃問題。(ii)要實現(xiàn)服務(wù)商成本回收及可持續(xù)運營，需要進一步考慮電池交換的有償使用問題。(iii)未來有必要同時考慮整車充電及電池交換這兩種方式對充電站規(guī)劃的影響。(iv)現(xiàn)實中的補能需求會隨時間變化，這對于研究換電站電池調(diào)度管理具有重要意義。