下有界線性算子與其伴隨算子的關(guān)系

李琳

【摘 要】研究了Banach空間線性算子的伴隨算子與Hilbert空間的伴隨算子的關(guān)系，利用Riesz表示定理給出了無界線性算子是下有界的充要條件。

【關(guān)鍵詞】下有界；伴隨算子

在數(shù)學(xué)物理中，很多實(shí)際問題都轉(zhuǎn)化成無窮維Hamilton系統(tǒng)，如流體力學(xué)、彈性力學(xué)、電磁學(xué)以及量子力學(xué)等數(shù)學(xué)物理問題。進(jìn)而應(yīng)用變分法使無窮維Hamilton系統(tǒng)導(dǎo)出無窮維Hamilton算子。對于無窮維Hamilton算子的研究，國內(nèi)外很多學(xué)者做了大量工作，其中有一種方法是通過其伴隨算子來求解無窮維Hamilton系統(tǒng)方程，無窮維Hamilton算子一般情況下是非自伴算子，非自伴算子譜理論的研究還處于初級階段，沒有形成完善的理論結(jié)構(gòu)。而且，無窮維Hamilton算子的譜比自伴算子、u-標(biāo)算子、積分算子等幾類非自伴算子的譜要復(fù)雜的多，因?yàn)闊o窮維Hamilton算子可能存在連續(xù)譜、剩余譜。因此，無窮維Hamilton算子譜理論研究已經(jīng)成為泛函分析、彈性力學(xué)、電磁學(xué)及應(yīng)用力學(xué)中比較活躍的分支學(xué)科，引起越來越多的學(xué)者的關(guān)注。

實(shí)際應(yīng)用中，下方有界算子出現(xiàn)在很多實(shí)際問題中，如流體力學(xué)、彈性力學(xué)、電磁學(xué)以及量子力學(xué)等數(shù)學(xué)物理問題。我們知道這些問題可以導(dǎo)出無窮維Hamilton系統(tǒng)，與此對應(yīng)的算子矩陣就是Hamilton算子矩陣，而這些算子中有很多是下方有界算子。我們知道，線性算子的預(yù)解集主要考慮本身的下有界性，通過下有界得到線性算子的譜的相關(guān)結(jié)論。因此，下有界性是線性算子非常重要的性質(zhì).在本文，我們給出Banach空間及Hilbert空間無界線性算子的伴隨算子的概念，應(yīng)用Riesz表示定理證明了下有界線性算子和伴隨算子之間的關(guān)系。

定義1.X，Y是Banach空間，T：D（T） X→Y是稠定線性算子，令T'y'=■，其中D（T'）={y'∈Y'：T是D（T）上的有界線性泛函}，稱T'是T在Banach空間的伴隨算子。

定義2.X是Hilbert空間，T：D（T） X→Y是X中稠定線性算子，令T*y=z，其中D（T*）={y∈X：存在z∈X，使得任意x∈D（T），（Tx，y）=（x，z）}，

稱T*是T在Hilbert空間的伴隨算子。

定義3.X是Hilbert空間，T：D（T） X→Y是X中稠定線性算子，存在m>0，使得‖Tx‖≥m‖x‖，∨x∈D（T），則稱T是下有界算子。

引理1.X是Banach空間（或Hilbert空間），T是X中的稠定線性算子，若T不是下方有界，則存在{x■} D（T），使得‖x■‖→∞，‖Tx■‖→0。

證明：由于T不是下方有界，因此存在{u■} D（T），且‖x■‖=1，使得‖Tu■‖→0。 ■，Tu■≠0，

nu■，tu=0■

則‖x■‖→∞，‖Tx■‖→0。

引理2.（Riesz表示定理）設(shè)H是Hilbert空間，f是H上定義的有界線性泛函，則存在唯一的y■∈H，使得f（x）=（x，y■），∨■∈H，

并且‖f‖=‖y■‖。設(shè)σ（f）=y■，則σ（f）是定義在全空間H*上的雙射，且共軛線性同構(gòu)，即σ（αf+■g）=■■（f）+■σ（g），其中α，β∈C。

證明：證明略，見Weidmann《Hilbert空間的線性算子》P61 Th4.8。

定理3.X，Y是Banach空間，T：D（T） X→Y是稠定線性算子，y'∈Y'，若y'·T在D（T）上有界，則y'·T在X上存在唯一的有界泛函■。

證明：∨x∈X，由于T稠定，因此 {x■} D（T），使得x■→X。因?yàn)閥'·T在D（T）上有界，所以‖y'·T（x■）-y'·T（x■）‖≤‖y'·T‖·‖x■-x■‖，因此{(lán)y'·T（x■）}是Cauchy列，記y'·T（x■）→a。

令F（x）=a，則F是X上的線性泛函，

F（x）=limy'·T（x■）≤‖y'·T‖·‖x‖，

因此F有界，且‖F(xiàn)‖≤‖y'·T‖。

∨x∈D（T），有‖y'·T（x）‖=F（x）≤‖F(xiàn)‖·‖x‖，‖y'·T‖≤‖F(xiàn)‖，所以‖y'·T‖=‖F(xiàn)‖。

下面證明F是唯一的：

設(shè)S是D（S） X上的有界線性泛函，且S（x）=y'·T（x），則∨x∈X， {x■} D（T），

使x■→x，且S（x）=limS（x■）=limy'·T（x■）=F（x）。

因此S=F，即F是唯一的，結(jié)論證畢。

定理4.X是Hilbert空間，T是X中的稠定線性算子，T*是T的伴隨算子，則R（T*）=XR（T*）當(dāng)且僅當(dāng)T下方有界。

證明：必要性：假設(shè)T不是下方有界，由引理1知，

{x■} D（T），使得∨y∈D（T*），有‖x■‖→∞，T（x■）→0，

則（x■，T*y）=（Tx■，y）→0。

因?yàn)镽（T*）=X，所以∨f∈X*， y∈D（T*），使得

f（x■）=（x■，T*y）=（Tx■，y）→0。

由一致有界原理知{‖x■‖}有界，這與x■→∞矛盾，所以T下方有界。

充分性：∨z∈X，則有引理2知存在唯一f∈X*，使得f（x）=（x，z）。

當(dāng)x∈D（T）時(shí)，記Tx=u，則

x=T■U，f（X）=F（T■（u））。

由于T■，f有界，所以f（T■）是R（T）上的有界線性泛函，

因此由Hahn-Banach定理知f（T■）可延拓到X上■，且‖■‖=‖f（T■）‖。

由引理3知 y∈X，g∈X*，使

■（u）=g（u）=（u，y），

從而當(dāng)u∈R（T）時(shí)，

（x，z）=f（x）=f（T■u）=■（u）=g（u）=（u，y）=（Tx，y），

（下轉(zhuǎn)第36頁）（上接第10頁）

因此y∈D（T*），T*y=z，所以z∈R（T*），即∈R（T*）=X，結(jié)論證畢。

【參考文獻(xiàn)】

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（課題：2017年河套學(xué)院科學(xué)研究項(xiàng)目自然科學(xué)一般類：無窮維Hamilton算子的辛自伴（編號：HYZY201702））