機(jī)車轉(zhuǎn)子非線性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析

楊 柳， 楊紹普， 楊月婷

(1.北京交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，北京 100044；2.石家莊鐵道大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，石家莊 050043)

工程中受復(fù)雜激勵(lì)作用下，機(jī)車雙轉(zhuǎn)子傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)分析是機(jī)車運(yùn)行狀態(tài)和疲勞強(qiáng)度的關(guān)鍵。尤其是在機(jī)車高速運(yùn)行中，出現(xiàn)的軸承及齒輪故障會(huì)對(duì)機(jī)車運(yùn)行帶來(lái)很大的安全隱患。所以如何準(zhǔn)確建立非線性轉(zhuǎn)子動(dòng)態(tài)模型及檢測(cè)轉(zhuǎn)子的振動(dòng)成為分析的關(guān)鍵。

機(jī)車雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)由輪對(duì)齒輪、軸承及主、從轉(zhuǎn)軸組成。最初，Jeffcott轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，經(jīng)常被用作研究大型柔性轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)模型，系統(tǒng)穩(wěn)定性、臨界轉(zhuǎn)速和動(dòng)態(tài)特性[1-3]。Jeffcott[4]最早提出并分析了轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)單自由度模型。并研究了在超臨界運(yùn)行時(shí)，轉(zhuǎn)子具有自動(dòng)定心現(xiàn)象。之后，Cveticanin[5]建立了Jeffcott 轉(zhuǎn)子的二階撓度函數(shù)的非線性微分方程，并對(duì)Jeffcott轉(zhuǎn)軸進(jìn)行了穩(wěn)定性分析。Ishida等[6]利用Jeffcott轉(zhuǎn)子模型，出現(xiàn)2倍轉(zhuǎn)頻時(shí)，分析系統(tǒng)非線性分岔特性及內(nèi)共振現(xiàn)象。隨著工業(yè)發(fā)展，對(duì)稱轉(zhuǎn)子系統(tǒng)軸-齒輪-軸承耦合系統(tǒng)分析是成為研究重點(diǎn)[7]。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的特性研究主要從以下幾個(gè)方面，首先，對(duì)柔性轉(zhuǎn)子穩(wěn)定性及臨界轉(zhuǎn)速的研究。其次，不平衡質(zhì)點(diǎn)對(duì)幅值和相位角的影響。Dimentberg[8]是第一個(gè)給出簡(jiǎn)支撐邊界條件下，考慮轉(zhuǎn)軸質(zhì)量，轉(zhuǎn)子齒輪耦合系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程。魏靜等[9]建立高速機(jī)車齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)彎扭耦合多自由度動(dòng)力學(xué)模型，定量分析了齒輪內(nèi)部激勵(lì)、齒面間隙、軸承游隙等參數(shù)等對(duì)高速機(jī)車齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的影響。Eshleman等[10]研究了軸承黏彈性條件下，彈性轉(zhuǎn)軸的臨界轉(zhuǎn)速求解及幅值響應(yīng)分析。唐進(jìn)元等[11]建立了含齒側(cè)間隙和徑向間隙的動(dòng)力學(xué)模型，著重分析研究了齒輪系統(tǒng)的混沌和分岔現(xiàn)象。竇唯等[12]針對(duì)實(shí)際高速齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，建立了考慮齒輪嚙合及扭轉(zhuǎn)共同作用的彎扭耦合非線性振動(dòng)模型，研究了偏心量、齒輪嚙合剛度等參數(shù)對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的影響規(guī)律。Luczko[13]建立鐵木辛柯模型，分析了軸轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。Shiau等[14]求解了復(fù)合支撐條件下，旋轉(zhuǎn)軸的臨界轉(zhuǎn)速。而對(duì)于雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)的研究，主要從利用有限元模方法分析雙轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)，求解其臨界轉(zhuǎn)速及模態(tài)變形[15-16]。其中，Gupta等[17]采用傳遞矩陣法計(jì)算雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速和振型, 分析軸承剛度和阻尼系統(tǒng)響應(yīng)。

以上文獻(xiàn)研究可以看出，現(xiàn)有轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型大多數(shù)只是考慮轉(zhuǎn)子質(zhì)量的影響，而忽略了支撐軸承、嚙合剛度等非線性因素的影響，對(duì)考慮齒輪-轉(zhuǎn)軸-軸承傳動(dòng)系統(tǒng)的非線性振動(dòng)模型的較少。本文在前人基礎(chǔ)上，研究了復(fù)合邊界條件下，考慮轉(zhuǎn)軸質(zhì)量的動(dòng)力學(xué)模型，并綜合針對(duì)軸承、輪軌激勵(lì)、齒輪嚙合剛度的基礎(chǔ)上，建立了傳動(dòng)系統(tǒng)的非線性雙轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型，求解了其臨界轉(zhuǎn)速，不同轉(zhuǎn)速下固有頻率、輪軌接觸力及齒輪剛度等非線性參量變化對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響。

1 動(dòng)力學(xué)模型

考慮隨機(jī)輪軌激勵(lì)，輪對(duì)剛性支撐，軸承-齒輪嚙合剛度等條件下，機(jī)車非線性雙轉(zhuǎn)子軸的動(dòng)力學(xué)模型，如圖1所示。

圖1 機(jī)車轉(zhuǎn)子軸模型

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示，在該模型中，假設(shè)兩輪對(duì)彈性支撐，考慮軸承及齒輪等參數(shù)的影響。圖1中:T1為轉(zhuǎn)子扭矩;m1,m2為軸承及M2c,M1c大小齒輪質(zhì)量;M2i為左右輪對(duì)質(zhì)量。Ω為輸入轉(zhuǎn)動(dòng)角速度;I1j,I2d2,I2oc,I1oc分別為軸箱軸承、輪對(duì)、大小齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;c,k(t)分別為輪齒嚙合阻尼、剛度;w1,v1,w2,v2分別為主、從動(dòng)軸橫向及其縱向彎曲位移變形量;θ1,θ2分別為主、從動(dòng)扭轉(zhuǎn)位移變形量;I1o,I2o分別為主、從動(dòng)軸極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;I1d,I2d分別為主、從動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；A1，A2分別為主、從動(dòng)軸截面面積；E,G分別為彈性模量、剪切模量。

建立系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型，綜合考慮轉(zhuǎn)子質(zhì)量及其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，齒輪及輪對(duì)的集中質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在復(fù)合邊界支撐下系統(tǒng)動(dòng)能及勢(shì)能。

轉(zhuǎn)子動(dòng)能

齒輪動(dòng)能

(3)

輪對(duì)動(dòng)能

(4)

系統(tǒng)勢(shì)能

(5)

(6)

系統(tǒng)嚙合剛度及其阻尼作用能量

(7)

式中:K(t)為齒輪嚙合剛度;Cc齒輪嚙合阻尼系數(shù)；r1,r2為主從動(dòng)齒輪的基圓半徑。

邊界軸承

軸承剛度、及阻尼剛度對(duì)系統(tǒng)影響

(10)

式中:K1b,K2b為主從動(dòng)軸支撐軸承剛度;c1b,c2b為主從動(dòng)軸支撐軸承阻尼系數(shù);l1,l2為主動(dòng)軸及從動(dòng)軸長(zhǎng)度。

外力勢(shì)能

(11)

機(jī)車垂向平面內(nèi)，車輛與軌道之間的耦合作用下, 通過(guò)輪軌接觸實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)。輪軌垂向作用力由著名的赫茲非線性接觸理論[18]

式中:G為輪軌接觸常數(shù);δw2(t)為輪軌相對(duì)變形量，選取軌道變形量為零；P(t)外載荷。

根據(jù)Hamilton最小勢(shì)能原理

(12)

將式(1)～式(11)代入得主動(dòng)輪軸動(dòng)態(tài)方程

mΩ2(ezsinΩt-eycosΩt)

(13)

Kc[δ(x1c)(w1(x,t)+r1θ1)-

δ(x2c)(w2(x,t)-r2θ2)-e(t)]=

mΩ2(ezcosΩt-eysinΩt)

(14)

-Teδ(xe)-r1K(t)[δ(x1c)(w1(x,t)+r1θ1)-

δ(x2c)(w2(x,t)-r2θ2)-e(t)]

(15)

從動(dòng)輪軸動(dòng)態(tài)方程

(16)

-Tfδ(xr)-r2K0[δ(x1c)(w1(x,t)+r1θ1)-

δ(x2c)(w2(x,t)-r2θ2)-e(t)]

(17)

K0[δ(x1c)(w1(x,t)+r1θ1)-

δ(x2c)(w2(x,t)-r2θ2)-e]=

mΩ2(ezcosΩt-eysinΩt)+δ(xk)P(t)

(18)

式中：P(t)為輪軌激勵(lì);e為偏心距;K(t)為齒輪嚙合剛度，利用Fourier級(jí)數(shù)展開嚙合剛度為

K(t)=k0+a1cosΩt+b1sinΩt

(19)

邊界條件

主傳動(dòng)動(dòng)軸承支撐下

(20)

(21)

從動(dòng)傳動(dòng)軸簡(jiǎn)支撐下

(22)

(23)

2 動(dòng)態(tài)方程化簡(jiǎn)

將上列公式代入式(13)～式(23)。

主動(dòng)輪軸動(dòng)態(tài)方程

(24)

(25)

δ(x2c)(w2(x,t)-r2θ2)-e]

(26)

方程系數(shù)

從動(dòng)輪軸動(dòng)態(tài)方程

(27)

(28)

-T負(fù)載δ(xr)+T′[δ(x1c)(w1(x,t)+r1θ1)-

δ(x2c)(w2(x,t)-r2θ2)-e(t)]

(29)

方程系數(shù)

邊界條件

主傳動(dòng)軸簡(jiǎn)支撐下

(30)

(31)

從動(dòng)輪傳動(dòng)軸邊界

(32)

(33)

方程系數(shù)

3 臨界轉(zhuǎn)速及固有頻率

令方程

z1(x,t)=φ1(x)eiωti+φ1(x)eiωt

z2(x,t)=φ2(x)eiωti+φ2(x)eiωt,θ1(x,t)=ψ(x)eiω1t

代入式(24)～式(29)，其中ε項(xiàng)為零。

主動(dòng)輪軸模態(tài)方程

(34)

滿足的邊界條件

(35)

從動(dòng)輪軸模態(tài)方程

(36)

滿足的邊界條件

(37)

由式(34)得，主動(dòng)軸模態(tài)方程的通解

(38)

(39)

其中系數(shù)為

(40)

其中，主動(dòng)軸扭轉(zhuǎn)角邊界條件可知

(41)

將式(38)，式(40)代入主動(dòng)軸彎曲模態(tài)邊界條件式(35)中，其中：c1,c2,c3,c4為任意常數(shù)項(xiàng)，滿足

(42)

式(42)detΔ=0是關(guān)于ω的超越方程，有無(wú)窮多個(gè)解，求解其方程根問(wèn)題，不能簡(jiǎn)單利用迭代求解，本文采用區(qū)間分段法，求解超越非線性方程根問(wèn)題。如圖2所示，其中，Ω的取值將不直接影響固有頻率的大小，主動(dòng)軸前三階臨界轉(zhuǎn)速42， 258，577。

圖2 機(jī)車主動(dòng)軸臨界轉(zhuǎn)速

由式(36)得，從動(dòng)軸模態(tài)方程的通解

(43)

(44)

其中,

(45)

由從動(dòng)軸扭轉(zhuǎn)角邊界條件可知

(46)

將式(43)、式(45)代入從動(dòng)軸彎曲模態(tài)邊界條件式(37)中,求取c21,c22,c23,c24方程矩陣detΔ2=0，式中是關(guān)于ω的超越方程，有無(wú)窮多個(gè)解，采用與上式同一解法。其中，系統(tǒng)參數(shù)選定下，轉(zhuǎn)速Ω改變，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有頻率的大小如圖3。圖中數(shù)值結(jié)果表明，低價(jià)固有頻率的大小受轉(zhuǎn)速影響較小。隨轉(zhuǎn)速Ω的增大高階固有頻率緩慢增加。系統(tǒng)前三階臨界轉(zhuǎn)速值為：12.6，43.8，86.5。

圖3 機(jī)車從動(dòng)軸臨界轉(zhuǎn)速

當(dāng)Ω=ω臨界轉(zhuǎn)速發(fā)生時(shí)，求取系統(tǒng)機(jī)車前三階模態(tài)，如圖4～圖6所示，主動(dòng)軸耦合模態(tài)值相對(duì)較小，從動(dòng)軸耦合模態(tài)值變化明顯。低階模態(tài)值較大，隨著模態(tài)階數(shù)增加，模態(tài)值減小。

圖4 一階模態(tài)分析

圖5 二階模態(tài)分析

圖6 三階模態(tài)分析

4 系統(tǒng)方程化簡(jiǎn)

利用Galerkin方法，離散非線性偏微分方程，試探函數(shù)選取前一階模態(tài)形函數(shù)。

令方程

(47)

代入式(24)～式(29)中，方程微分方程中乘以φ1(x),φ1(x)，并在區(qū)間內(nèi)積分得

系統(tǒng)主動(dòng)軸動(dòng)態(tài)方程簡(jiǎn)化為

Fr+Ff

(48)

(49)

(50)

系數(shù)如下所示

χ6=β1cη14

系統(tǒng)從動(dòng)軸動(dòng)態(tài)方程簡(jiǎn)化為

(51)

(52)

(53)

系數(shù)如下所示

5 數(shù)值分析

5.1 時(shí)頻響應(yīng)

機(jī)車轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中齒輪嚙合和軸承支撐都是非線性影響因素，整個(gè)系統(tǒng)為較復(fù)雜的非線性多維方程，因此不必要進(jìn)行解析求解，在此通過(guò)MR-K線性迭代法求解非線性機(jī)車雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)。本文根據(jù)機(jī)車CRH輪對(duì)轉(zhuǎn)子作為研究對(duì)象，給定系統(tǒng)參數(shù):支撐軸系長(zhǎng)度為L(zhǎng)=2 000 mm，軸截面外徑R=200 mm，內(nèi)徑為：r=55 mm，車輪質(zhì)量m=305 kg，集中慣性質(zhì)量Io1=18.75 kg·m2，齒輪模數(shù)ma=6 mm，齒數(shù)z1=34,z2=84，齒寬b=70 mm,齒輪的平均嚙合剛度Km。

機(jī)車轉(zhuǎn)子受齒輪嚙合剛度及軸承剛度阻尼、軌道激勵(lì)作用下，系統(tǒng)響應(yīng)和頻域分析分別如圖7～圖12所示。取Ω=ω時(shí)，圖7時(shí)間幅值響應(yīng)可知，主軸轉(zhuǎn)子縱向振動(dòng)較小，振動(dòng)頻率成分較多。幅頻響應(yīng)可知，頻率f1=2.1 Hz及f2=4 Hz時(shí)，出現(xiàn)較大的主軸縱向峰值變化。其中，f1為系統(tǒng)一階固有頻率值，而f2為嚙合頻率。圖中，f3=8.3 Hz及f4=9.2 Hz二倍周期頻率值時(shí)幅值出現(xiàn)較大變化。圖8時(shí)間幅值響應(yīng)可知，主軸轉(zhuǎn)子橫向振動(dòng)較大，齒輪嚙合剛度影響下，響應(yīng)峰值變化較明顯。幅頻響應(yīng)中，系統(tǒng)頻率f1及f2時(shí)，出現(xiàn)明顯主軸橫向峰值變化。圖9時(shí)間幅值響應(yīng)可知，從動(dòng)軸轉(zhuǎn)子縱向振動(dòng)較小，振動(dòng)比較單一。幅頻響應(yīng)圖中，頻率f5=1.2時(shí)，受輪軌隨機(jī)激勵(lì)作用，幅值有明顯變化。圖10時(shí)間幅值響應(yīng)可知，受嚙合剛度影響下，系統(tǒng)從動(dòng)軸轉(zhuǎn)子橫向振動(dòng)較大。幅頻響應(yīng)圖中，固有頻率f1時(shí)，響應(yīng)幅值較大。圖11響應(yīng)可知，主動(dòng)軸扭轉(zhuǎn)角頻率成分較多，響應(yīng)變化較大。圖12從動(dòng)軸扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)子橫向振動(dòng)較大。幅頻響應(yīng)圖中，齒輪嚙合頻率f2時(shí)，響應(yīng)幅值較大。

(a) 主動(dòng)軸v向時(shí)程響應(yīng)

(b) 主動(dòng)軸v向的頻譜圖

(a) 主動(dòng)軸w向時(shí)程響應(yīng)

(b) 主動(dòng)軸w向的頻譜圖

(a) 從動(dòng)軸v向的時(shí)程響應(yīng)

(b) 從動(dòng)軸v向的頻譜圖

(a) 從動(dòng)軸w向的時(shí)程響應(yīng)

(b) 從動(dòng)軸w向的頻譜圖

(a) 主動(dòng)軸扭轉(zhuǎn)角時(shí)程響應(yīng)

(b) 主動(dòng)軸扭轉(zhuǎn)角的頻譜圖

(a) 從動(dòng)軸扭轉(zhuǎn)角時(shí)程響應(yīng)

(b) 從動(dòng)軸扭轉(zhuǎn)角的頻譜圖

5.2 參數(shù)影響及幅頻響應(yīng)

機(jī)車在齒面磨損及點(diǎn)蝕破壞下，齒面均勻磨損變化較小，點(diǎn)蝕面更容易引起嚙合剛度的變化。由其早期齒面磨損對(duì)嚙合剛度影響不大，產(chǎn)生的振動(dòng)激勵(lì)很小。這里，選取齒面產(chǎn)生12%的點(diǎn)蝕時(shí)，嚙合剛度變化約為6%[19]。圖13和圖14中，由于點(diǎn)蝕作用下齒輪嚙合剛度增大，系統(tǒng)一階固有頻率右移，主動(dòng)軸響應(yīng)值增大。圖15和圖16中，點(diǎn)蝕減小,從動(dòng)軸縱向響應(yīng)向右移、幅值較小，橫向幅值變大。圖17和圖18中，點(diǎn)蝕導(dǎo)致主動(dòng)軸固有頻率處出現(xiàn)較大變化，對(duì)從動(dòng)軸振動(dòng)影響較小。

由圖19中可知，式(53)中輪軌激勵(lì)P的增加，主軸轉(zhuǎn)子的幅值開始呈速減小趨勢(shì)，達(dá)到一定值時(shí)系統(tǒng)幅值受輪軌激勵(lì)影響較小。圖20中，當(dāng)輪對(duì)磨損及扁疤時(shí)，輪軌激勵(lì)P的增加，從動(dòng)軸橫向幅值減小，輪軌接觸較為平緩，隨著輪軌激勵(lì)的不斷增加，橫向幅值逐漸增大。

圖13 幅頻響應(yīng)

圖14 幅頻響應(yīng)

圖15 幅頻響應(yīng)

圖16 幅頻響應(yīng)

圖17 幅頻響應(yīng)

圖18 幅頻響應(yīng)

圖19 輪軌激勵(lì)影響Fig.19 Wheel-rail excitation圖20 輪軌激勵(lì)影響Fig.20 Wheel-rail excitation

6 結(jié) 論

本文建立了連續(xù)質(zhì)量軸轉(zhuǎn)子傳動(dòng)系統(tǒng)彎扭耦合動(dòng)力學(xué)模型，考慮了非線性齒輪嚙合剛度及輪軌接觸的影響。求解系統(tǒng)在復(fù)雜邊界條件下，轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速大小。計(jì)算與分析，得出轉(zhuǎn)子系統(tǒng)彎扭耦合的非線性振動(dòng)特征及系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)規(guī)律。

(1) 建立了連續(xù)轉(zhuǎn)子模型，能更好的分析輪對(duì)、軸、齒輪之間的相互關(guān)系及影響。

(2) 復(fù)合邊界條件下，精確求解轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有頻率方程，及其耦合模態(tài)值。

(3) 受齒輪嚙合剛度下，傳動(dòng)系統(tǒng)縱向橫向彎曲幅值變化較為顯著，扭轉(zhuǎn)角在其耦合頻率幅值較大。點(diǎn)蝕作用下，一階固有頻率右移，主動(dòng)軸響應(yīng)值增大。

(4) 輪軌激勵(lì)P接觸耦合作用下，輪軌接觸力增大，從動(dòng)軸橫向彎曲變化顯著。

總上，機(jī)車連續(xù)質(zhì)量軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型，不同于傳統(tǒng)Jeffcott模型，對(duì)鐵路機(jī)車傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析及齒輪軸承等故障分析提供了很好的動(dòng)力學(xué)模型。