基于嵌入分?jǐn)?shù)維的樹種算法的結(jié)構(gòu)質(zhì)量剛度識別

趙一霖, 劉濟科, 丁政豪, 呂中榮

(中山大學(xué) 工學(xué)院， 廣州 510006)

結(jié)構(gòu)損傷識別一直是許多學(xué)者關(guān)注的重點問題，對于結(jié)構(gòu)行之有效的檢測可以避免很多事故的發(fā)生[1]。在相關(guān)研究中，許多學(xué)者將結(jié)構(gòu)損傷模型等價為單元剛度矩陣中楊氏模量的減少[2]，質(zhì)量的改變[3]，以及一種完全開口裂紋的模型[4]等等。但是將單元的損傷同時歸結(jié)為質(zhì)量和剛度同時改變的研究較少。另一方面，在損傷程度反演的研究中往往把該問題歸結(jié)為優(yōu)化問題[6-11]，即通過定義一個關(guān)于損傷結(jié)構(gòu)的目標(biāo)函數(shù)，然后利用各種優(yōu)化方法來實現(xiàn)結(jié)構(gòu)參數(shù)的損傷檢測。而利用經(jīng)典的優(yōu)化方法往往需要好的初始值，借助梯度和導(dǎo)數(shù)等信息,所以極大地限制了這些方法的應(yīng)用。在這一方面，群智能算法則可以彌補經(jīng)典優(yōu)化方法的不足。在這一族方法中，樹種算法因為方便執(zhí)行，尋優(yōu)能力較傳統(tǒng)算法如GA (Genetic Algorithm)，PSO (Particle Swarm Optimization)等算法更強[12],進而引起了注意。本文旨在利用嵌入分?jǐn)?shù)維機制的樹種算法來實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的質(zhì)量剛度識別。首先引入樹的搜索階段。第二步在標(biāo)準(zhǔn)樹種算法上，引入了兩種更好的搜索模式，進而使得算法的局部搜索能力和全局搜索能力得以平衡?；趽p傷結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)建立損傷識別問題的目標(biāo)函數(shù),利用改進后的算法對該目標(biāo)函數(shù)進行求解以獲得損傷參數(shù)的識別。

1 目標(biāo)函數(shù)

在本文中，將結(jié)構(gòu)的損傷歸結(jié)為單元剛度和質(zhì)量的同時減少，所以可以利用一系列折損系數(shù)αi(i=1,2,…,n)，βi(i=1,2,…,n)來描述。αi=βi=0時表示結(jié)構(gòu)無損，αi=βi=1時則表示結(jié)構(gòu)完全破壞。損傷結(jié)構(gòu)的整體剛度和質(zhì)量矩陣又可以表示為

(1)

(2)

(3)

2 改進的樹種算法

樹種算法是一種新型的群智能算法。它主要是模仿大樹的繁衍方式來對最優(yōu)解進行尋找。對于每一棵樹(可行解)首先會隨機地產(chǎn)生若干種子，每一顆種子根據(jù)趨勢函數(shù)ST (Search Tendency)來選擇適合自己的搜索模式。然后對原解和若干種子產(chǎn)生的可行解進行評估，選擇留下適應(yīng)度更好的解。所以與一般的群智能算法相比(如人工蜂群算法(Artificial Bee Colony， ABC)和螢火蟲算法[13])該算法的局部搜索模式更為劇烈和精細(xì)，所以具備了更好的全局尋優(yōu)能力。關(guān)于樹種算法的詳細(xì)描述可以參考丁政豪等的研究,以下重點介紹樹種算法的改進部分，即MTSA (Modified Tree Seed Algorithm)。

2.1 嵌入分?jǐn)?shù)維的初次尋找

參考人工蜂群算法的雇傭蜂搜索，所以擬在標(biāo)準(zhǔn)TSA算法中引入一個‘樹的搜索’即對初始種群進行一個大致地尋找，然后在進行樹種搜索。在這個階段里面，搜索的初期(迭代剛開始的階段)，為了保證種群的多樣性，采用如下搜索模式

Ti,j(iter+1)=Ti,j(iter)+γi,j×(Ti,j(iter)-

Tr,j(iter))

(4)

式中：iter為當(dāng)前的迭代步數(shù)；Ti,j為第ith棵樹的第jth維變量γi,j是分布于[-1,1]的隨機數(shù)；Tr,j為種群里面隨機選擇的第rth棵樹，在經(jīng)過若干次迭代之后，到了迭代后期，則采用嵌入了分?jǐn)?shù)維模型的公式進行后期搜索。分?jǐn)?shù)維的定義如下所示

(5)

式中：Dδ[x(t)]為對函數(shù)x(t)求δ階導(dǎo)數(shù)；Γ(·)為伽馬函數(shù)。在本文中，考慮這種模型的前4階的表達式，由式(5)離散得到迭代后期的搜索模式，如式(6)所示

(2-δ)(3-δ)T(iter-3)+φ1(b-x)+

φ2(g-x)

(6)

式中：φ1(b-x)+φ2(g-x)為離散化的時候產(chǎn)生的截斷誤差。在經(jīng)過前期搜索之后，該公式用來執(zhí)行后期的搜索。采用分?jǐn)?shù)維模型是因為這種機制具有記憶功能，可以發(fā)現(xiàn)在這個表達式里頭每一次迭代都是由之前3次迭代的信息共同決定的，所以在迭代后期，由于同化效應(yīng)的影響，算法的收斂速度可以得到改善。

2.2 搜索模式的改進

在標(biāo)準(zhǔn)算法中，樹種的全局搜索模式采用了人工蜂群算法中引領(lǐng)蜂的迭代方式

Si,j=Ti,j+γi,j×(Ti,j-Tr,j)

(7)

式中：Si,j為第ith樹繁殖地第ith種子中第jth變量的變異結(jié)果；Tr,j為種群中的另一棵樹的第jth變量；γi,j為一個位于[-1,1]之間的隨機數(shù)。由于這種搜索模式側(cè)重于算法的全局搜索，所以應(yīng)該采用更加劇烈的方式來描述，站在這點來看，利用差分進化算法中的DE/rand/2/bin變異機制對待優(yōu)化變量的每一維變量進行變異更為合理，而且文獻[14]已經(jīng)明確指出了差分進化機制相較于其他引領(lǐng)蜂搜索機制而言有更強的全局尋優(yōu)能力，所以擬用式(8)來產(chǎn)生新解

Si,j=Ti1,j+F1·(Ti2,j-Ti3,j)+F2·(Ti4,j-Ti5,j)

(8)

式中：Ti1,Ti2,Ti3,Ti4,Ti5為種群中任意5棵不同的數(shù)；j為待優(yōu)化變量中的任意一維變量)，與原始算法的一維攝動產(chǎn)生新解相比，這種方式可以使得變異更劇烈，更加充分地利用種群的信息，從而使得初始狀態(tài)的搜索著眼于全局搜索，進而能夠避免“早熟”。其中F1,F2為縮放因子，一般兩者都取0.5。

2.3 局部尋優(yōu)能力的改善

在原始算法中，樹種的局部搜索方式是圍繞著此次迭代中最好的那一棵樹進行鄰域二次探索來實現(xiàn)的，具體表達式如式(9)所示

Si,j=Ti,j+γ×(Bj-Tr,j)

(9)

式中：Bj為最好的那棵樹的第jth變量；γ為位于[-1,1]之間的隨機數(shù)。如果圍繞著最好的可行解周邊進行二次探索是非常有利于算法收斂的。為了更好地實現(xiàn)這個目的，改進算法中擬采用以下方式探索

Si,j=Ti,j+γi,j(Ti,j-Tk,j)+χi,j(Bj-Ti,j)

(10)

式中：γi,j為位于[-1,1]之間的隨機數(shù)；χi,j為位于[0,1.5]之間的隨機數(shù)。此種模式的尋優(yōu)不僅利用了最優(yōu)解的信息而且利用了種群中其它可行解的信息[15]，通過兩個不同范圍的縮放因子可以兼顧收斂速度和全局尋優(yōu)能力。

3 數(shù)值模擬

為了測試算法的有效性，采用了一26桿桁架橋來作為第一個數(shù)值算例。它的幾何外形如圖1所示，它的楊氏模量為E=2.1×1011Pa,密度ρ=2.7×103kg/m3, 橫截面積為A=10-4m2。 直桿的長度為L=1 m沖擊荷載選擇為6號自由度(4號節(jié)點垂直方向)作用一F=200 N的沖擊荷載；采樣總時長為0.5 s；無損結(jié)構(gòu)的前3階固有頻率分別為77.71 Hz, 147.57 Hz和257.46 Hz。

圖1 桁架模型

3.1 損傷工況1

假定6號單元損傷15%的楊氏模量，11號單元損傷10%的質(zhì)量參數(shù)。采用New-mark直接積分法得到某些自由度(10 th，12 th 和15 th)的加速度響應(yīng)(如圖2所示)，將這些相應(yīng)數(shù)據(jù)作為輸入，并且采用遺傳算法(GA)進行比較。算法參數(shù)設(shè)置如下：初始種群數(shù)量為50，最大迭代次數(shù)設(shè)置為500次；對于遺傳算法，交叉率為0.9，變異率為0.1；每種算法計算10次，統(tǒng)計平均值

和標(biāo)準(zhǔn)差。圖3展示了基于三種算法得到的目標(biāo)函數(shù)進化曲線，可以明顯地觀察到基于MTSA算法得到的曲線是更接近于0的，這就意味著基于該方法得到的識別結(jié)果是最好的。相較之下，其他算法如GA由于陷入了局部最優(yōu)，所以目標(biāo)函數(shù)值在經(jīng)過200次迭代之后始終維持在102量級,故而完全失效了。更進一步，圖4和表1記錄了最終的識別結(jié)果，可以清楚地發(fā)現(xiàn)TSA得到的最大誤差為3.811%，而基于MTSA得到的最大誤差僅為0.077%，這充分表明了MTSA在處理該問題上的優(yōu)越性。

圖2 工況1測點加速度響應(yīng)曲線

圖3 基于各算法得到的目標(biāo)函數(shù)迭代曲線

圖4 工況1的識別結(jié)果

Fig.4 Identified result of case 1

3.2 損傷工況2

第二種情況考慮多點損傷，即假定6號，11號和16號單元存在5%楊氏模量的折損，11號單元存在10%的質(zhì)量折損，因為GA算法在算例1中已經(jīng)失效，所以此情況下只有TSA和MTSA算法用來計算結(jié)構(gòu)損傷。為了測試噪聲[16-17]對算法的影響，10%的白噪聲加入到了加速度響應(yīng)數(shù)據(jù)。圖5展示了基于改進算法得到的折損因子的迭代曲線，經(jīng)過100次左右的迭代，算法收斂到了預(yù)設(shè)值附近。圖6和表1展示了最終的識別結(jié)果，可以清楚地發(fā)現(xiàn)，即便是運用被污染的響應(yīng)數(shù)據(jù)，MTSA對于剛度參數(shù)，得到的最大識別誤差為1.76%；對于質(zhì)量參數(shù)得到的誤差也僅為1.065%；同時就標(biāo)準(zhǔn)差而言，MTSA得到的值也是最小的，這充分說明了算法的穩(wěn)定性和穩(wěn)健性。

圖5 基于改進TSA得到的折損因子的迭代曲線(工況2)

圖6 工況2的識別結(jié)果

表1 桁架結(jié)構(gòu)的識別結(jié)果

4 結(jié) 論

本文采用分?jǐn)?shù)維機制改進樹種算法，并且引入了兩個全新的迭代方式，進而使得算法的全局尋優(yōu)能力和局部尋優(yōu)能力得以平衡。在損傷模型方面，將結(jié)構(gòu)的損傷歸結(jié)為質(zhì)量和剛度的同時變化。采用加速度響應(yīng)作為目標(biāo)函數(shù)，以一個26單元的桁架結(jié)構(gòu)作為數(shù)值算例，最終結(jié)果表明MTSA在響應(yīng)數(shù)據(jù)被高等級噪聲污染的情況下，仍然可以得到較好的識別結(jié)果。