基于觀測器的離散廣義分段仿射系統(tǒng)H￥控制

周振華，楊博媛，王 茂

（1. 常州輕工職業(yè)技術學院，常州 213164；2. 哈爾濱工業(yè)大學 空間控制與慣性技術研究中心，哈爾濱 150000）

一直以來，復雜控制系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性問題是廣大 學者研究的熱點和難點，其中關于具有范數(shù)有界時變參數(shù)不確定性廣義分段仿射系統(tǒng)的魯棒性能問題的研究少有報道。Barakat和Oliveira等人分別用混沌系統(tǒng)理論[1]以及線性可變參數(shù)Lyapunov函數(shù)法[2]對仿射系統(tǒng)進行研究，邱建彬等人首次討論分段仿射系統(tǒng)線性矩陣不等式方法下閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題[3]，但基于觀測器廣義分段仿射系統(tǒng)魯棒控制問題的研究確少有報道。在廣義分段仿射系統(tǒng)當前所處的作用域未知，而且不能從測量輸出獲得的時候，我們希望通過引入基于觀測器的控制器使得系統(tǒng)獲得可測量的輸出，并具有魯棒穩(wěn)定性[4]?；谟^測器的控制器設計方法提出的目的在于使得由反饋控制器構成的閉環(huán)控制系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，而且要求系統(tǒng)輸出可測量得到，且滿足一定的魯棒性能指標[5]。

快速發(fā)展的計算機技術也帶動了現(xiàn)代控制理論研究方法的不斷更新，廣義系統(tǒng)魯棒現(xiàn)代控制方法的研究也相繼取得了一些成果，Najmeh和張俞等人分別對多模態(tài)分段仿射系統(tǒng)極限環(huán)綜合控制[6]和脈沖仿射系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性[7]進行研究，所取得的研究成果大部分局限于連續(xù)時間系統(tǒng)，應用分段Lyapunov函數(shù)法[8]是常用的手段之一，并結合處理線性矩陣不等式的一些常用方法[9]。此外，分段仿射系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性研究多用于解決基于狀態(tài)估計的濾波器設計方法問題[10]，同時，帶時滯環(huán)節(jié)仿射系統(tǒng)控制器設計方法的研究也取得了進一步的進展[11]。王茂等人針對范數(shù)有界離散分段仿射系統(tǒng)設計了基于靜態(tài)輸出的反饋控制器[12]，并最終通過線性矩陣不等式（LMIs）的形式將主要結果體現(xiàn)出來。

本文引入廣義系統(tǒng)理論，將不同具有范數(shù)有界時變參數(shù)不確定性的離散仿射系統(tǒng)看作子系統(tǒng)，采用基于觀測器的廣義分段系統(tǒng)控制器設計方法對其整體進行反饋鎮(zhèn)定。因此，降低各子系統(tǒng)控制狀態(tài)切換時產生時滯的可能性，在此基礎上應用投影定理，不對系統(tǒng)矩陣進行分解，使得閉環(huán)系統(tǒng)保守性有所下降，并具有一定的魯棒性能指標。

1 基本定義與引理

本文考慮的分段仿射系統(tǒng)具有范數(shù)有界參數(shù)不確定性，其具體的離散時間模型如式(1)所示：

如果式(2)和式(3)成立，則稱此系統(tǒng)參數(shù)不確定性是容許的。

該多面體區(qū)域可以進一步描述為一個橢圓集合，其中：

對于每個橢圓區(qū)域，可以得到：

定義1[13]考慮離散時間廣義分段仿射系統(tǒng)(1)，其中

4）如果系統(tǒng)(1)是正則、因果，并且穩(wěn)定的，則稱廣義系統(tǒng)(1)是容許的。

引理1[12]對于適當維數(shù)實矩陣若滿足當且僅當存在某個標量于

引理2[14](投影定理) 給定矩陣則關于變量的矩陣不等式是LMI可解的，當且僅當以下三條同時成立：代表和的右正交核空間。

引理 3[14]的二次仿射函數(shù)，若對任意成立，則對于滿足的所有

本文考慮如下基于觀測器的控制器：

其中：

2 主要結果

定理1考慮離散時間廣義分段仿射系統(tǒng)式(1)，如果能找到對稱矩陣

證明：首先，由離散時間廣義分段仿射系統(tǒng)Lyapunov穩(wěn)定性判據(jù)出發(fā)，基于閉環(huán)系統(tǒng)式(9)的狀態(tài)空間描述，選取如下Lyapunov函數(shù)：

其中：

從式(16)可以得到：

很明顯，式(20)的表述與條件式(11)相悖。即證明了矩陣束的因果性，進而證明矩陣束的正則性。

對于分段仿射系統(tǒng)融入仿射區(qū)域信息，即將式(7)帶入式(16)，基于引理3整理得到式(21)，其中，

在應用Schur補引理的基礎上，合并式(21)中所給的各個矩陣，進一步可以得到：

另一方面，由于本文所考慮的系統(tǒng)參數(shù)不確定性是范數(shù)有界形式的，將式(22)中的不確定性分離出來，將式(22)進一步改寫為式(23)。

在此之前，我們做如下定義：

定理得證。

定理2針對參數(shù)不確定廣義分段仿射系統(tǒng)式(1)，如果能找到對稱矩陣

i使得式(11)成立，且滿足以下不等式：

證明：通過觀察，上述不等式(25)中，閉環(huán)系統(tǒng)式(9)的 Lyapunov矩陣和系統(tǒng)矩陣相互耦合，接下來應用schur補引理進一步將其分開，從而降低閉環(huán)系統(tǒng)的保守性。首先將式(25)改寫為如下形式：

通過觀察，不等式(28)中Lyapuno矩陣和系統(tǒng)矩陣是耦合在一起的，接下來我們應用投影定理將其分離，并且不分解閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣，進一步將式(28)改寫為：

基于投影定理，做如下變量替換：

應用引理2的投影定理，得到：

將式(32)帶到式(31)中，并結合所有給定矩陣的定義，最終得到：

接下來再對式(33)應用投影定理，所用方法與前一次一樣，此處證明省略。

注：欲尋求本文所考慮基于觀測器的控制器使得閉環(huán)系統(tǒng)式(9)是容許的，首要條件則是系統(tǒng)式(1)的輸入矩陣是列滿秩的，在此基礎上若能找到滿足式(26)(27)的對稱矩陣則線性矩陣不等式(9)的解存在。

3 數(shù)值仿真

圖1 月球車運載體數(shù)學模型Fig.1 Mathematical model of the lunar vehicle carrier

其中，各物理量的具體含義如表1所示。

表1 各物理量的具體含義Tab.1 Specific meaning of each physical parameter

橢圓體系數(shù)矩陣通過以下公式可計算得到：

最終，基于此控制器設計的閉環(huán)系統(tǒng)不僅漸近穩(wěn)定，同時具有一定的魯棒性能，即：干擾抑制度

考慮系統(tǒng)全狀態(tài)響應，對離散系統(tǒng)采樣周期設置為1 s，給定如圖2(a)所示控制輸入曲線，根據(jù)本文定理所描述方法繪制閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)響應曲線如圖2(b)所示。

圖2 給定控制輸入情況下閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)響應曲線Fig.2 State response curve of the closed-loop system under given control input

接下來，將本文所提控制器設計方法和文獻[15]中所提算法進行對比，定義該月球運載車中廣義矩陣此時系統(tǒng)降為正常系統(tǒng)，如式(35)所示：

表2 幾種區(qū)間速度下的性能指標Tab.2 performance index at different speeds

表2 幾種區(qū)間速度下的性能指標Tab.2 performance index at different speeds

車體速度u0/(m/s)2.5 2 1.5 1文獻[15]∞ ∞ 312.2623 106.3212本文定理1 69.2021 43.3423 26.2632 6.2334

接下來，針對系統(tǒng)矩陣分解與否對閉環(huán)控制系統(tǒng)造成的影響，將本文所提定理 1和文獻[15]中所提算法中控制器設計方法進行對比。將系統(tǒng)矩陣參數(shù)重新賦值，整個過程保持其他系統(tǒng)參數(shù)不變，再次模擬仿真，具體取值如下：

仿真結果表明，基于文獻[15]中所提算法中所提控制器設計方法構造的控制系統(tǒng)不能使閉環(huán)系統(tǒng)鎮(zhèn)定，即找不到相應的基于觀測器的控制器反饋增益以及觀測器增益使得閉環(huán)系統(tǒng)(9)容許。而通過應用本文定理設計得到的閉環(huán)控制系統(tǒng)，能夠得到反饋控制增益和觀測器增益：

最終，通過應用本文定理1構造閉環(huán)控制器的算法，保證此類離散廣義分段仿射系統(tǒng)不僅是漸近穩(wěn)定的，而且同時滿足一定的魯棒。

針對如圖1所示月球車運載體模型，我們只繪制月球車運載體角加速度以及角加速度在大地物理坐標系下X方向的角加速度分量所呈現(xiàn)的開環(huán)特性，如圖3所示，與其對應控制系統(tǒng)的閉環(huán)控制曲線由圖4給出。

從仿真所得數(shù)據(jù)可以看到本文所設計算法對運載體控制的最終效果比較明顯，體現(xiàn)在角加速度上開環(huán)特性具有一定的系統(tǒng)跟隨特性。同時，基于本文定理1的控制器設計方法由于沒有對系統(tǒng)矩陣進行分解，使得閉環(huán)系統(tǒng)保守性有所保證，并且獲得了較好的閉環(huán)系統(tǒng)魯棒性能。

圖3 數(shù)據(jù)對比開環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)響應曲線Fig.3 Data contrast on state responses of the open-loop system

圖4 數(shù)據(jù)對比狀態(tài)響應曲線Fig.4 Data contrast on state responses

4 結 論

針對一類參數(shù)不確定離散分段仿射系統(tǒng)當前所處的作用域未知，而且不能從測量輸出獲得的問題，引入離散時間廣義系統(tǒng)理論。為使閉環(huán)控制系統(tǒng)漸近穩(wěn)定且具有一定的魯棒性能，只需從離散時間分段仿射 Lyapunov判據(jù)出發(fā)，推導過程中結合投影定理，并應用幾個處理線性矩陣不等式的基本引理將結果轉化為線性矩陣不等式的形式。設計了使此類閉環(huán)系統(tǒng)容許的基于觀測器的饋控制器，且保證由此構成的閉環(huán)系統(tǒng)具有一定的魯棒性能，在此基礎上將控制器存在的充分條件以線性矩陣不等式約束的形式給出，為減低該算法的保守性，整個推導過程不對系統(tǒng)矩陣進行分解。最終，數(shù)值仿真以月球車運載體基體模型為例，給出了基于觀測器的控制器的最優(yōu)解，同時獲得了控制器反饋增益和觀測器增益，在此基礎上保證干擾抑制度并使得閉環(huán)系統(tǒng)保守性有所下降。仿真表明，分析結論是正確的，理論上解決了此類參數(shù)不確定離散分段仿射系統(tǒng)當前所處的作用域未知且不能從測量輸出獲得的問題。