基于帶通濾波器的慣性元件隨機(jī)噪聲逼真模擬方法

王 玨，賈瑞才，喬立偉

（1. 中國電子科技集團(tuán)公司第五十四研究所，石家莊 050081；2. 衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)與裝備技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，石家莊 050081；3. 天津航海儀器研究所，天津 300131）

采用模擬數(shù)據(jù)進(jìn)行慣導(dǎo)算法研究與測試，在以下場合顯得尤為重要：一是高動態(tài)、高過載、高速載體慣導(dǎo)算法研究與測試；二是不同精度元件的慣性導(dǎo)航算法研究與測試，如激光慣導(dǎo)算法、光纖慣導(dǎo)算法、微機(jī)械慣導(dǎo)算法；三是方案可行性與指標(biāo)論證。如果沒有逼真的慣性元件數(shù)據(jù)模擬方法，將會付出昂貴代價，因此研究慣性元件噪聲逼近模擬方法具有重要意義。

不同于系統(tǒng)誤差，慣性元件隨機(jī)噪聲無法標(biāo)定與補(bǔ)償，是影響慣性導(dǎo)航結(jié)果的主要誤差源。在隨機(jī)誤差建模與參數(shù)辨識方面，一階馬爾科夫過程被應(yīng)用于描述慣性元件零偏不穩(wěn)定性噪聲、比例因子等隨機(jī)誤差[1-2]。Sameh研究了不同層次AR模型，并分別用靜態(tài)和動態(tài)慣性數(shù)據(jù)驗(yàn)證了AR模型效果[3]。應(yīng)用自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度函數(shù)可以從時域和頻域計算誤差統(tǒng)計特性，但很難將不同隨機(jī)誤差分離開來。由于 Allan方差與頻率特定關(guān)系，Allan方差被廣泛應(yīng)用于慣性元件隨機(jī)誤差建模，其能夠?qū)Σ煌S機(jī)誤差進(jìn)行辨識[3-5]。

慣性元件（陀螺）隨機(jī)誤差主要包括角度隨機(jī)游走、零偏不穩(wěn)定性（又稱閃變噪聲）、角速率隨機(jī)游走等[6-7]。多種噪聲在合成時直接相加，未考慮各種噪聲的頻率分布特性，因此存在模擬數(shù)據(jù)與設(shè)置數(shù)據(jù)誤差較大的問題。針對該問題，根據(jù)各隨機(jī)噪聲頻率分布，基于帶通濾波器，提出了一種基于帶通濾波器的慣性元件隨機(jī)噪聲逼真模擬方法，并通過實(shí)驗(yàn)得到了驗(yàn)證。

1 慣性元件隨機(jī)噪聲模型

慣性元件包括陀螺與加速度計，本文主要介紹陀螺隨機(jī)噪聲模擬方法，加速度計與之類似。陀螺隨機(jī)誤差由量化噪聲、 噪聲、角速度隨機(jī)游走、角度隨機(jī)游走、零偏不穩(wěn)定性和速率斜坡等組成。除此之外還存在指數(shù)相關(guān)噪聲、正弦噪聲等[8-10]。影響中長時間導(dǎo)航精度的隨機(jī)誤差主要包括零偏不穩(wěn)定性噪聲、角度隨機(jī)游走噪聲、角速度隨機(jī)游走噪聲。

圖1 陀螺常見隨機(jī)噪聲類型Fig.1 Some types of gyro random noises

量化噪聲是一切量化操作所固有的噪聲。只要進(jìn)行數(shù)字化編碼采樣，傳感器輸出的理想值與量化值之間就必然會存在微小的差別，量化噪聲代表了傳感器檢測的最小分辨率水平。量化噪聲具有很寬的帶寬，屬于高頻噪聲，在實(shí)際應(yīng)用中可進(jìn)行低通濾波處理或大部分被導(dǎo)航姿態(tài)積分環(huán)節(jié)所消除，因此一般對長時間慣導(dǎo)精度影響不大。

角度隨機(jī)游走是寬帶角速度白噪聲積分的結(jié)果，即陀螺從零時刻起累積的總角增量誤差表現(xiàn)為隨機(jī)游走，而每一時刻等效角速度誤差表現(xiàn)為白噪聲。角度隨機(jī)游走功率譜為常值其中N為隨機(jī)游走系數(shù)。

角速率隨機(jī)游走是寬帶角加速率白噪聲積分的結(jié)果，即陀螺角加速率誤差表現(xiàn)為白噪聲，而角速率誤差表現(xiàn)為隨機(jī)游走。角速率隨機(jī)游走功率譜為為角速率隨機(jī)游走系數(shù)。

零偏不穩(wěn)定性噪聲又稱為閃變噪聲或1/f噪聲，其功率譜密度與頻率成反比，其具有低頻特性，在陀螺輸出中表現(xiàn)為零偏隨時間的緩慢波動。功率譜密度為其中B為零偏不穩(wěn)定性系數(shù)。

速率斜坡由系統(tǒng)誤差引起，比如環(huán)境溫度的緩慢變化。通過嚴(yán)格的環(huán)境控制或引入補(bǔ)償機(jī)制可以降低此類誤差，它更像確定性誤差，而不是隨機(jī)誤差。

2 基于帶通濾波器的隨機(jī)噪聲模擬方法

圖2示出了這三類主要隨機(jī)噪聲序列的逼真模擬流程。

圖2 陀螺隨機(jī)噪聲逼真模擬流程圖Fig.2 Procedure of gyro random noise simulation

角度隨機(jī)游走噪聲序列模擬過程：首先依據(jù)角度隨機(jī)游走方差，計算角度隨機(jī)游走驅(qū)動白噪聲方差，如式(1)所示，角度隨機(jī)游走方差既可通過辨識實(shí)測慣性元件數(shù)據(jù)得到[11]，還可以通過產(chǎn)品手冊得到；然后基于驅(qū)動白噪聲方差生成白噪聲序列，寬帶角度隨機(jī)游走在任意時刻體現(xiàn)為白噪聲。

零偏不穩(wěn)定性噪聲序列產(chǎn)生過程：首先依據(jù)零偏不穩(wěn)定性方差，計算零偏不穩(wěn)定驅(qū)動白噪聲方差，如式(2)所示，零偏不穩(wěn)定性方差既可通過辨識實(shí)測慣性元件數(shù)據(jù)得到，還可通過產(chǎn)品手冊得到；然后基于驅(qū)動白噪聲方差生成白噪聲序列；最后將白噪聲序列經(jīng)傅里葉變換至頻域，并經(jīng)濾波處理，再逆變換，得到寬帶零偏不穩(wěn)定噪聲序列。

角速度隨機(jī)游走噪聲序列產(chǎn)生過程：首先依據(jù)角速率隨機(jī)游走方差，計算角速率隨機(jī)游走驅(qū)動白噪聲方差，如式(3)所示。角速度隨機(jī)游走方差既可通過辨識實(shí)測慣性元件數(shù)據(jù)得到，還可通過產(chǎn)品手冊得到。然后基于驅(qū)動白噪聲方差生成白噪聲序列。最后將白噪聲序列按時間積分即得到寬帶角速率隨機(jī)游走噪聲序列。

上述方法生成的隨機(jī)噪聲序列均具有寬頻特性，然而事實(shí)上，角度隨機(jī)游走具有中高頻特性，角速度隨機(jī)游走具有中低頻特性，零偏不穩(wěn)定性具有中頻特性。如圖3所示，由Allan方差與功率譜關(guān)系可知，角度隨機(jī)游走Allan方差雙對數(shù)圖曲線斜率為–1/2，帶寬范圍為零偏不穩(wěn)定性Allan方差雙對數(shù)圖曲線斜率為 0，帶寬范圍為，角速率隨機(jī)游走Allan方差雙對數(shù)曲線斜率為1/2，帶寬范圍為

圖3 隨機(jī)噪聲頻率分布示意圖Fig.3 Sketch graph of stochastic noise frequency distribution

針對隨機(jī)噪聲頻譜分布特性，采用帶通濾波器分別對上述三種寬帶隨機(jī)噪聲序列進(jìn)行濾波，生成具有一定帶寬的角度隨機(jī)游走序列、零偏不穩(wěn)定性噪聲序列、角速率隨機(jī)游走序列。最后將濾波后三類隨機(jī)噪聲序列進(jìn)行累加，合成陀螺主要隨機(jī)噪聲序列。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

3.1 實(shí)驗(yàn)過程

以MEMS慣性測量單元Adis16480中的陀螺為模擬對象，通過靜態(tài)實(shí)驗(yàn)、動態(tài)實(shí)驗(yàn)兩種方式驗(yàn)證本方法的性能。Adis16480是美國ADI公司采用MEMS工藝研制的較高精度微慣性測量單元，陀螺動態(tài)范圍達(dá)到 450 (°)/s，陀螺零偏不穩(wěn)定性誤差可達(dá) 6.25 (°)/h，角隨機(jī)游走誤差優(yōu)于，可應(yīng)用于工業(yè)機(jī)器人、移動平臺、無人車輛等姿態(tài)與方位測量。

1）靜態(tài)實(shí)驗(yàn)過程

首先，Adis16480靜止放置，采集靜態(tài)數(shù)據(jù)，采樣頻率60 Hz，時間長度通過Allan方差辨識其隨機(jī)誤差參數(shù)，識別各誤差參數(shù)帶寬范圍，作為數(shù)值模擬的參數(shù)輸入。

然后，分別應(yīng)用本文方法與傳統(tǒng)方法模擬隨機(jī)噪聲序列，并應(yīng)用Allan方差辨識模擬噪聲參數(shù)。

最后，分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

2）動態(tài)實(shí)驗(yàn)過程

首先，將Adis16480安裝于三軸速率轉(zhuǎn)臺，設(shè)置轉(zhuǎn)臺外環(huán)以20 (°)/s速率旋轉(zhuǎn)，采集動態(tài)數(shù)據(jù)，采樣頻率60 Hz，時間長度并通過Allan方差辨識隨機(jī)誤差與誤差帶寬。

然后，根據(jù)轉(zhuǎn)臺運(yùn)動指令，分別應(yīng)用本文方法與傳統(tǒng)方法模擬隨機(jī)噪聲序列，并采用 Allan方差辨識模擬數(shù)據(jù)的噪聲。

最后，分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

圖4 動態(tài)實(shí)驗(yàn)圖片F(xiàn)ig.4 Dynamic experimental graph

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

1）靜態(tài)實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

應(yīng)用 Allan方差法分析實(shí)測靜態(tài)數(shù)據(jù)，得到雙對數(shù)圖，如圖5所示，由圖中可辨識出角度隨機(jī)游走方差為帶寬0.3～30 Hz，零偏不穩(wěn)定性方差為 3.2×10–3(°)/s，帶寬 0.05～0.125 Hz。由于數(shù)據(jù)采集時間偏短，圖上無法辨識出角速率隨機(jī)游走噪聲的 Allan方差值。為驗(yàn)證角速率隨機(jī)游走噪聲模擬方法有效性，后續(xù)模擬實(shí)驗(yàn)時將該噪聲 Allan方差值設(shè)為 1.2×10–3(°)/(s×s1/2)，帶寬 0.005～0.01 Hz。

圖5 靜態(tài)實(shí)驗(yàn)Adis16480 Allan方差雙對數(shù)曲線Fig.5 Allan variance double logarithmic graph of Adis16480 by static test

相對于傳統(tǒng)方法，本文方法的創(chuàng)新點(diǎn)在于將帶通濾波器應(yīng)用于模擬過程，因此在實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖中將傳統(tǒng)方法模擬結(jié)果標(biāo)記為濾波前結(jié)果，將本文方法模擬結(jié)果標(biāo)記為濾波后結(jié)果，如圖6～8所示。由圖6～8可以看出：濾波前三類隨機(jī)噪聲為寬帶分布，角度/角速度隨機(jī)游走噪聲以及零偏不穩(wěn)定性噪聲三者相互影響，尤其是前兩者對零偏不穩(wěn)定性噪聲影響較大；濾波后三類隨機(jī)噪聲在帶寬內(nèi)與濾波前類似，而在帶寬外噪聲則迅速減小，避免了對其它噪聲的影響。

圖6 角度隨機(jī)游走Allan方差雙對數(shù)圖Fig.6 Allan variance double logarithmic graph of angle random walk

圖7 角速度隨機(jī)游走Allan方差雙對數(shù)圖Fig.7 Allan variance double logarithmic graph of angular rate random walk

圖8 零偏不穩(wěn)定性噪聲Allan方差圖Fig.8 Allan variance graph of bias instability noise

三類隨機(jī)噪聲合成后的Allan方差曲線如圖9所示。由圖9可以定性看出：濾波前后Allan方差曲線差異較大，尤其是低頻、中頻區(qū)域差別較大；濾波后曲線與圖5的 Adis16480實(shí)測數(shù)據(jù)Allan方差曲線的逼真度更高。應(yīng)用 Allan方差對濾波前后合成的模擬數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到的各項隨機(jī)噪聲模擬值誤差統(tǒng)計情況如表1所示。由表1可知，本文方法在保證角度/角速率隨機(jī)游走模擬精度同時，大幅提高零偏不穩(wěn)定性噪聲模擬精度，改善幅度達(dá)到50%。

圖9 靜態(tài)模擬數(shù)值A(chǔ)llan方差雙對數(shù)曲線Fig.9 Allan variance double logarithmic graph of static data simulated

表1 靜態(tài)實(shí)驗(yàn)誤差統(tǒng)計表Tab.1 Error statistics of static experiment

2）動態(tài)實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

陀螺動態(tài)數(shù)據(jù)如圖10所示，應(yīng)用Allan方差法分析，雙對數(shù)圖如圖11所示。由圖11可辨識出角度隨機(jī)游走方差為帶寬0.3～30 Hz，零偏不穩(wěn)定性方差為 2.4×10–3(°)/s，帶寬 0.017～0.125 Hz。圖11中無法辨識出角速率隨機(jī)游走噪聲的 Allan方差值，為驗(yàn)證角速率隨機(jī)游走噪聲模擬方法有效性，后續(xù)模擬實(shí)驗(yàn)時將該噪聲 Allan方差值設(shè)為帶寬0.005～0.01 Hz。

圖10 Adis16480陀螺數(shù)據(jù)序列圖Fig.10 Gyro data series of Adis16480

圖11 動態(tài)實(shí)驗(yàn)Adis16480 Allan方差雙對數(shù)曲線Fig.11 Allan variance double logarithmic graph of Adis16480 by dynamic test

處理過程與靜態(tài)實(shí)驗(yàn)過程類似?；诒孀R參數(shù)與轉(zhuǎn)臺運(yùn)動指令，分別采用本文方法與傳統(tǒng)方法模擬陀螺動態(tài)數(shù)據(jù)序列，并采用 Allan方差辨識模擬數(shù)據(jù)誤差參數(shù)，結(jié)果如圖12所示。由圖12可知，濾波前后Allan方差曲線差異較大，尤其是低頻、中頻區(qū)域，濾波后曲線與實(shí)測數(shù)據(jù)Allan方差曲線更相近。

動態(tài)實(shí)驗(yàn)各項隨機(jī)噪聲模擬值誤差統(tǒng)計情況如表2所示。與靜態(tài)實(shí)驗(yàn)結(jié)果類似，本文方法在保證角度/角速率隨機(jī)游走模擬精度同時，大幅提高零偏不穩(wěn)定性噪聲模擬精度，改善幅度超過50%。

圖12 動態(tài)模擬數(shù)值A(chǔ)llan方差雙對數(shù)曲線Fig.12 Allan variance double logarithmic graph of dynamic data simulated

表2 動態(tài)誤差統(tǒng)計表Tab.2 Error statistics for dynamic test

4 總 結(jié)

本文針對傳統(tǒng)慣性元件模擬方法存在的誤差較大、逼真度不足的問題，依據(jù)隨機(jī)噪聲頻帶分布特點(diǎn)，提出了基于帶通濾波器的慣性元件隨機(jī)噪聲逼真模擬方法，并以Adis16480為模擬對象開展了數(shù)值模擬試驗(yàn)。相對于傳統(tǒng)數(shù)值模擬方法，本文方法大幅提高了零偏不穩(wěn)定性噪聲的模擬精度，改善幅度達(dá)到50%，可實(shí)現(xiàn)零偏不穩(wěn)定性噪聲逼真模擬，具有很高的工程應(yīng)用價值。

在慣性元件隨機(jī)噪聲模擬基礎(chǔ)上，結(jié)合軌跡生成的慣性元件測量值，即可實(shí)現(xiàn)慣性元件數(shù)值模擬。另外，高動態(tài)、全溫環(huán)境下慣性元件數(shù)值模擬需要再考慮g敏感性、溫度引起的系統(tǒng)噪聲，在此不再介紹。