一種新型反雙曲正弦函數(shù)跟蹤微分器設(shè)計(jì)

李興格,李 剛,熊思宇，康旭超

(1.空軍工程大學(xué) 研究生院， 西安 710051； 2.空軍工程大學(xué) 防空反導(dǎo)學(xué)院， 西安 710051)

在控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中，準(zhǔn)確提取微分信號非常重要[1]。特別是當(dāng)系統(tǒng)存在外部干擾時(shí)，傳統(tǒng)的低通濾波器很難發(fā)揮作用。近年來，隨著機(jī)器人[2-3]，高超聲速飛行器[4-5]等領(lǐng)域的迅速崛起，從干擾信號中提取精確的微分信號已成為研究的熱點(diǎn)。

跟蹤微分器最初由韓京清[6-8]提出。提出了3種跟蹤微分器，但跟蹤微分的效果不是很好，且沒有更好的方法來解決高階微分信號的提取問題。近年來，許多學(xué)者提出了許多種新型的跟蹤微分器[9-12]。以色列學(xué)者Levent針對高階微分問題提出了一種高階滑模微分器[13]。然而，由于此微分器對噪聲非常敏感，并且難以選擇參數(shù)。因此，設(shè)計(jì)一種參數(shù)選擇比較簡單且具有噪聲抑制能力的跟蹤微分器顯得十分必要。

基于以上考慮，本文提出了一種基于反雙曲正弦函數(shù)的跟蹤微分器，并且在前人的基礎(chǔ)上，減少了跟蹤微分器的整定參數(shù)，提高了跟蹤微分器的可操作性。

1 跟蹤微分器設(shè)計(jì)

在常規(guī)狀態(tài)下，跟蹤微分器需要滿足以下兩個(gè)條件以實(shí)現(xiàn)對受干擾的微分信號的穩(wěn)定跟蹤。首先，在零點(diǎn)附近的線性區(qū)域下具有平滑穩(wěn)定的線性特性，在遠(yuǎn)離零點(diǎn)的非線性區(qū)域中，需要具有非線性特性以確保跟蹤微分器的穩(wěn)定跟蹤。 因此，選擇反雙曲正弦函數(shù)作為跟蹤微分器的加速度函數(shù)。

1.1 二階跟蹤函數(shù)設(shè)計(jì)

定理1對于以下系統(tǒng)

(1)

證明選擇李雅普諾夫函數(shù)

(2)

由于a1>0，并且當(dāng)z1>0時(shí)，a1arsinh(ξ)>0；當(dāng)z1<0時(shí)，a1arsinh(ξ)<0。根據(jù)積分中值定理，可以得到

(3)

對其求導(dǎo)數(shù)，有

z2[-a1arsinh(z1)-a2arsinh(z2)]=

-z2a2arsinh(z2)

(4)

1.2 跟蹤微分器設(shè)計(jì)

定理2對于以下系統(tǒng)

(5)

其中，系統(tǒng)的輸入信號為u(t)；x1(t)為系統(tǒng)的跟蹤信號；x2(t)為系統(tǒng)的微分信號；R>0,a1>0,a2>0為系統(tǒng)的可調(diào)參數(shù)。

為證明定理2，先提出以下引理：

引理1[7]對于以下系統(tǒng)

(6)

若對于所有的解滿足y1(t) →0,y2(t) →0(t→0)時(shí)，則對于任意常數(shù)T>0和任意的有界可積函數(shù)u(t)，系統(tǒng)

(7)

的解x1(t)滿足

(8)

該引理保證了系統(tǒng)在任意常數(shù)T的條件下，當(dāng)R趨近于無窮大時(shí)，系統(tǒng)的跟蹤信號x1(t)無限接近于系統(tǒng)的輸入信號v(t)。因此，定理2提出的系統(tǒng)即為本文提出的新型跟蹤微分器NATD。

2 相平面分析

應(yīng)用相平面分析法不僅可以自動準(zhǔn)確地繪制控制系統(tǒng)的相平面圖[14-15]，而且可以快速分析系統(tǒng)參數(shù)對控制系統(tǒng)的影響，從而研究系統(tǒng)參數(shù)的設(shè)置規(guī)則，對跟蹤微分器的性能提升有很大的作用。

系統(tǒng)式(1)在零點(diǎn)的雅可比矩陣為

(9)

將系統(tǒng)式(5)中的x1使用泰勒公式展開，可以得到

(10)

將系統(tǒng)式(5)中的x2使用泰勒公式展開，可以得到

(11)

其中，φ和ψ為泰勒展開式的高階無窮小項(xiàng)，則對系統(tǒng)(6)可以線性化為

(12)

對于近似線性系統(tǒng)式(12)，矩陣A的特征值為

由相平面分析可知，系統(tǒng)式(5)包含3個(gè)參數(shù)：R，a1，a2，其中，R與跟蹤效果有關(guān)，增大R可以提高跟蹤速度，但會提高微分信號的高頻噪聲。a1的效果與跟蹤效果有關(guān)，其效果與R類似;a2與微分效應(yīng)有關(guān)，提高a2有利于抑制微分噪聲，但是會使跟蹤速度變慢。通常在進(jìn)行參數(shù)整定時(shí)，可以粗略地選擇R以調(diào)整跟蹤效果。然后，通過a1和a2的微調(diào)來調(diào)整跟蹤和微分的綜合效果，最后使跟蹤微分器達(dá)到最佳效果。與其他文獻(xiàn)中提到的跟蹤微分器相比，NATD的參數(shù)比較少，參數(shù)整定比較簡單。

3 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證NATD的估計(jì)結(jié)果，將NATD與以下新的TD[16]和HSMD[13]進(jìn)行比較。采用四階Runge-Kutta法進(jìn)行仿真求解，仿真步長為0.001 s。仿真在以下兩種情況下進(jìn)行。

情形1：在無噪聲干擾的情況下，選擇輸入信號為υ(t)=sin(2πt),NATD和其他2個(gè)跟蹤微分器選擇的參數(shù)如表1所示，仿真結(jié)果如圖1所示。

3個(gè)微分器的估計(jì)效果和微分效果如圖1～圖4所示。圖2和圖4顯示，在3個(gè)微分器中，NATD的估計(jì)誤差最小，精度最高。從圖4可以看出，TD具有嚴(yán)重的峰值現(xiàn)象，HSMD在0附近有嚴(yán)重的抖振現(xiàn)象。因此，當(dāng)不考慮噪聲時(shí)，本文提出的NATD 與TD和HSMD相比具有一定的優(yōu)勢。

表1 無干擾情況下選擇的參數(shù)

情形2：在有噪聲干擾的情況下，輸入信號υ(t)=sin(2πt),輸入信號受到的干擾為均值為0，方差為0.1的高斯白噪聲。跟蹤微分器的參數(shù)選擇如表2所示，仿真結(jié)果如圖5所示。

由仿真結(jié)果圖5～圖8可知，當(dāng)輸入信號受到噪聲污染時(shí)， NATD仍然可以實(shí)現(xiàn)對于輸入的估計(jì)信號和微分信號的高精度和平滑估計(jì)。因此，與TD和HSMD等微分器相比，本文提出的NATD在噪聲濾波方面也具有一定的優(yōu)勢。

表2 有噪聲干擾情況下的參數(shù)選擇

4 結(jié)論

設(shè)計(jì)了一種基于反雙曲正弦函數(shù)的結(jié)構(gòu)比較簡單，并且在全局是漸進(jìn)穩(wěn)定的新型跟蹤微分器。通過相平面分析適當(dāng)調(diào)節(jié)參數(shù)，可以保證系統(tǒng)的奇點(diǎn)類型為穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。既可以保證在零點(diǎn)附近有明顯的線性特性，又能保證遠(yuǎn)離零點(diǎn)時(shí)的強(qiáng)非線性特性。仿真結(jié)果表明：NATD在跟蹤精度，響應(yīng)時(shí)間和濾波性能等方面也具有一定的優(yōu)勢。