對數(shù)學(xué)歸納法的改進(jìn)

龔遠(yuǎn)華

【摘 要】 數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法，在近年的高考試題中，不但要求能用數(shù)學(xué)歸納法去證明現(xiàn)成的結(jié)論，而且加強(qiáng)了對于不完全歸納法應(yīng)用的考查，既要求歸納發(fā)現(xiàn)結(jié)論，又要求能證明結(jié)論的正確性，因此，初步形成“觀察—-歸納—-猜想—-證明”的思維模式，就顯得特別重要。在運(yùn)用歸納法步驟②的證明過程中，突出了兩個湊字，一“湊”假設(shè)，二“湊”結(jié)論，關(guān)鍵是明確n=k+1時證明的目標(biāo)，充分考慮由n=k到n=k+1時，命題形式之間的區(qū)別和聯(lián)系，但是“湊”結(jié)論這個過程往往需要一些技巧，變形難度較大，也沒具體固定的方法，這里對步驟②略作改進(jìn)使其形成通法，以回避拼湊結(jié)論這個過程。

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)歸納法；改進(jìn)

一、數(shù)學(xué)歸納法的概念

一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：

（1）（歸納奠基）證明當(dāng)n取第一個值n=n0時命題成立；

（2）（歸納遞推）假設(shè)n=k（k≥n0，k∈N*）時命題成立，證明當(dāng)n=k+1時命題也成立。

只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從nn開始的所有正整數(shù)n都成立。上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。

數(shù)學(xué)歸納法是推理邏輯，它的第一步稱為奠基步驟，是論證的基礎(chǔ)保證，即通過驗(yàn)證落實(shí)傳遞的起點(diǎn)，這個基礎(chǔ)必須真實(shí)可靠；它的第二步稱為遞推步驟，是命題具有后繼傳遞性的保證，即只要命題對某個正整數(shù)成立，就能保證該命題對后繼正整數(shù)都成立，兩步合在一起為完全歸納步驟，稱為數(shù)學(xué)歸納法，這兩步各司其職，缺一不可。特別指出的是，第二步不是判斷命題的真?zhèn)危亲C明命題是否具有傳遞性，如果沒有第一步，而僅有第二步成立，命題也可能是假命題。

二、常規(guī)的數(shù)學(xué)歸納法關(guān)鍵步驟及易犯的錯誤

1. 關(guān)鍵步驟

用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)問題的關(guān)鍵在第二步，即n=k+1時為什么成立，n=k+1時成立是利用假設(shè)n=k時成立，根據(jù)有關(guān)的定理、定義、公式、性質(zhì)等數(shù)學(xué)結(jié)論推證出n=k+1時成立，而不是直接代入，這里采用的方法突出了兩個湊字，一“湊”假設(shè)，二“湊”結(jié)論，難度大技巧性強(qiáng)。

2. 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時易犯的錯誤

（1）對項(xiàng)數(shù)估算的錯誤，特別是尋找n=k與n=k+1的關(guān)系時，項(xiàng)數(shù)發(fā)生什么變化被弄錯。

（2）沒有利用歸納假設(shè)：歸納假設(shè)是必須要用的，假設(shè)是起橋梁作用的，橋梁斷了就通不過去了。

（3）關(guān)鍵步驟含糊不清，“假設(shè)n=k時結(jié)論成立，利用此假設(shè)證明n=k+1時結(jié)論也成立”，是數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵一步，也是證明問題最重要的環(huán)節(jié)，對推導(dǎo)的過程要把步驟寫完整，注意證明過程的嚴(yán)謹(jǐn)性、規(guī)范性。

三、“湊”結(jié)論的一些技巧

“湊”結(jié)論這個過程往往需要一些技巧。變形難度較大，也沒具體固定的方法，而且易犯的錯誤因此這里對步驟②略作改進(jìn)使其形成通法，以回避拼湊結(jié)論這個過程。

1. 對等式的證明

例1 用數(shù)學(xué)歸納法證明：

n∈N*■+■+…+■=■。

解析：①當(dāng)n=1時，

左邊=■=■，

右邊=■=■，

左邊=右邊，

所以等式成立。

②假設(shè)n=k（k≥1）時等式成立，

即有■+■+…+■=■，

則當(dāng)n=k+1時，

■+■+…+■+■

=■+■

■

下面證明：■+■=■

∵■+■-■

=■+■-■

=■

=■

=0

∴可得■+■=■

所以當(dāng)n=k+1時，等式也成立。

由①，②可知，對一切n∈N*等式都成立。

方法總結(jié)：對于等式的證明可先利用假設(shè)，再利用作差或作商的辦法證明到左邊與右邊相等。

2. 對不等式的證明

例2 用數(shù)學(xué)歸納法證明：對一切大于1的自然數(shù)n，不等式1+■1+■…1+■>■成立。

解析：①當(dāng)n=2時，

左邊=1+■=■，

右邊=■，

∵■>■，

∴不等式成立。

②假設(shè)n=k（k≥2且k∈N*）時，不等式成立，即

1+■1+■…1+■>■

那么當(dāng)n=k+1時，

1+■1+■…1+■+1+■>■·■=■

下面證明：■>■

∵k≥1

欲證■>■

即證■>■

即證4k2+8k+4>（2k+3）（2k+1）

即4k2+8k+4>4k2+8k+3

即證4>3，顯然成立。

∴n=k+1時，不等式也成立。

由①，②知，對一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立。

總之對數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行改進(jìn)以后，回避了拼湊過程，不需要有技巧的變形，拼湊，從而變化成更大眾的一些，更常規(guī)一些的不等式的證明。

【參考文獻(xiàn)】

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[2] 張莉，賀孝賢. 數(shù)學(xué)歸納法的歷史[J]. 遼寧師范大學(xué)學(xué)報(bào)，1999（2）.