明晰試驗(yàn)過(guò)程 理解等可能事件

文／姜 煒

等可能條件下的概率計(jì)算，能夠直接求出概率，避免了大量重復(fù)試驗(yàn)。但在實(shí)際運(yùn)用的過(guò)程中，“等可能”這個(gè)前提往往容易被忽視。理解“等可能”，我們才能更準(zhǔn)確地解決問(wèn)題。

一、明晰試驗(yàn)過(guò)程，找出等可能事件

例1 一只不透明的袋子中裝有2 個(gè)白球和2 個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1 個(gè)球，記錄顏色后放回、攪勻，再?gòu)闹腥我饷? 個(gè)球，求兩次都摸到紅球的概率和一次摸到白球一次摸到紅球的概率。

【解析】袋子內(nèi)共有4個(gè)球，摸出1個(gè)球便有4 種等可能的結(jié)果，為了區(qū)別，把球編號(hào)：白1、白2、紅1、紅2。本題試驗(yàn)分兩步，依次去看第一次摸球的等可能事件與在第一次的基礎(chǔ)上第二次摸球的等可能事件，列出表格并表示出所有結(jié)果如下：

結(jié)果第二次模球白1白2紅1紅2第一次模球_________________________________________________________________白1_____________白2__________紅1__________紅2（白1，白1）（白2，白1）（紅1，白1）（紅2，白1）（白1，白2）（白2，白2）（紅1，白2）（紅2，白2）（白1，紅1）（白2，紅1）（紅1，紅1）（紅2，紅1）（白1，紅2）（白2，紅2）（紅1，紅2）（紅2，紅2）

也可畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

樹(shù)狀圖的結(jié)果數(shù)與列表相同，共有16 種結(jié)果，由于每一步列出的都是等可能事件，故這16 種結(jié)果是等可能的。注意，在這樣的有序思考下，順序不同，結(jié)果也是不同的。比如第一次摸到紅球，第二次摸到白球，和第一次摸到白球，第二次摸到紅球，看顏色都呈現(xiàn)一紅一白，但是摸出的個(gè)體不同、過(guò)程不同，不能混為一談。

【點(diǎn)評(píng)】本題按試驗(yàn)步驟將表格分為兩個(gè)維度，或者將樹(shù)狀圖分成兩個(gè)層次，依次寫(xiě)出每一步等可能的結(jié)果。這樣一來(lái)，不同的個(gè)體和過(guò)程算作不同的等可能結(jié)果。

二、理解題意，認(rèn)清現(xiàn)象與本質(zhì)

例2 如圖1，一個(gè)小球從M處投入，通過(guò)管道自上而下落到A或B或C處。已知小球從每個(gè)岔口落入左右兩個(gè)管道的可能性是相等的，求投一個(gè)小球落到B的概率為_(kāi)_____。

圖1

【解析】從結(jié)果來(lái)看，小球落到A、B、C處有3 種可能，但它們的可能性大小并不相等。已知小球從每個(gè)岔口落入左右兩個(gè)管道的可能性相等，那我們便以這個(gè)等可能事件為基礎(chǔ)去分析。球下落時(shí)經(jīng)過(guò)兩次岔口，如圖2，有①②③三個(gè)岔口，給管道標(biāo)記字母，畫(huà)出樹(shù)狀圖。

圖2

【點(diǎn)評(píng)】考慮等可能事件不能只看最終的表象，要根據(jù)整個(gè)試驗(yàn)過(guò)程，選準(zhǔn)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)考慮等可能的情況。

三、拓展模型，化無(wú)限為有限

圖3