衰落信道下的信源數(shù)目估計方法

王艷溫,郭 楠

(1.中國電子科技集團公司第五十四研究所，河北 石家莊 050081；2.陸軍航空裝備發(fā)展辦公室，北京 100012)

0 引言

信源數(shù)目估計[1]對盲信號分離和超分辨測向的性能影響較大。盲信號分離方法[2-3]一般是以信源數(shù)目已知為前提，但實際應(yīng)用中信源數(shù)目未知，需要進行估計。當信源數(shù)目欠估計時，只能分離出部分信號，導(dǎo)致信號信息的丟失；當信源數(shù)目過估計時，導(dǎo)致盲分離算法失效，無法正確地分離信號。因此信源數(shù)目估計在盲信號分離中起到了十分重要的作用，它直接關(guān)系到盲分離算法的正確性和穩(wěn)定性。在超分辨測向中[4-5]，信源數(shù)目估計也是必須的。信源數(shù)目過估計時，源信號子空間的維數(shù)高于實際值，使得之后計算出的空間譜出現(xiàn)偽峰；源信號數(shù)目欠估計時，源信號子空間的維數(shù)低于實際值，使得之后計算出的空間譜的譜峰消失；這樣導(dǎo)致了源信號子空間與噪聲信號子空間同樣不再正交，最終估計的空間譜與實際的信號之間出現(xiàn)較大偏差。

信源數(shù)目估計不單單在盲信號分離和超分辨測向中有重要的作用，在戰(zhàn)場、刑偵、檢測及圖像等實際問題中，同樣具有很大的應(yīng)用價值。而現(xiàn)有較成熟的基于信息論、最大似然及線性預(yù)測等信源數(shù)目估計方法均是利用白噪聲信號模型推導(dǎo)出來的，僅適用于白噪聲條件。但在實際中，由于多徑干涉、外界環(huán)境等各種因素的影響，導(dǎo)致接收信號的幅度相位出現(xiàn)較大程度的抖動，接收信道[6-7]不再是理想的高斯白噪信道，而變成衰落信道。在衰落信道下現(xiàn)有信源數(shù)目估計方法的性能下降嚴重。因此，對衰落信道下的信源數(shù)目估計方法進行研究有著十分重要的理論和實際意義。

1 瑞利平坦衰落信道下信源數(shù)目估計方法

對于瑞利平坦衰落信道[8-11]下的信源數(shù)目盲估計，其問題的關(guān)鍵在于利用噪聲分布已知的特性來進行判斷。較為成熟的算法有AIC、MDL和PET算法[12-13]。AIC、MDL算法雖然不需要人為設(shè)定判決門限，但是其利用噪聲滿足高斯分布的特性，估計收斂性較差。PET算法在性能上較之前兩種有很大改進，但是它需要人為設(shè)定判決門限。根據(jù)這些經(jīng)典算法已有的固有缺陷，本文提出了基于Wishart矩陣[14-15]最大特征值分布特性的估計算法(WME)，該算法利用高斯隨機矩陣特征值以較快的收斂速度漸進服從精確的TW分布這一特點，進行信源數(shù)目盲估計，并可獲得較好的性能。

利用陣元個數(shù)為M的天線陣列接收數(shù)據(jù)計算協(xié)方差矩陣，對協(xié)方差矩陣進行特征值分解得到特征值并按降序排列，利用隨機矩陣理論構(gòu)造檢測統(tǒng)計量，求解判決門限，確定檢測統(tǒng)計量屬性，估計得到信源個數(shù)N。

天線陣列接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣R：

式中，E[·]表示數(shù)學期望，上標H表示復(fù)共軛轉(zhuǎn)置，X(i)表示第i次快拍的天線陣列接收信號，L表示快拍數(shù)。

對協(xié)方差矩陣R進行特征值分解，得到M個特征值，滿足：

λ1>λ2≥…≥λM-1>λM。

設(shè)置虛警概率Pfa，并令k=1；

計算檢驗統(tǒng)計量Uk：

計算判決門限γk：

式中，F(xiàn)TW2(x)表示第二類Tracy-Widom分布函數(shù)[16]的逆函數(shù)，μM-N,L和εM-N,L為歸一化參數(shù)，其表達式如下：

在計算判決門限時，需要計算分布函數(shù)FTW2(x)的逆函數(shù)。目前在數(shù)學領(lǐng)域，Tracy-Widom分布函數(shù)的閉合表達式是很難得到的。在實際工程應(yīng)用中，F(xiàn)TW2(x)的逆函數(shù)計算結(jié)果大多是通過查表的方式獲得。

判決：

如果Uk<γk，則lk∈Ls，k=k+1，重新計算檢驗統(tǒng)計量Uk+1；

如果Uk>γk，則信源個數(shù)N=k-1。

2 頻率選擇性衰落信道下信源數(shù)目估計方法

以上所提到的一系列經(jīng)典算法包括WME算法都只適用于瑞利平坦衰落信道環(huán)境，而頻率選擇性衰落信道[17-19]更貼近于實際的通信環(huán)境，因此有必要對在頻率選擇性衰落信道條件下的信源數(shù)目估計算法進行研究?；诖颂岢隽艘环N基于對噪聲功率精確估計的假設(shè)檢驗[20]估計算法(FKN)。具體實現(xiàn)步驟如下：

步驟1：計算天線陣列接收數(shù)據(jù)X(t)的協(xié)方差矩陣R：

步驟2：構(gòu)造檢測統(tǒng)計量

Ⅰ 對協(xié)方差矩陣R進行特征值分解，并將分解得到的特征值按降序排列：λ1>λ2≥…≥λM-1>λM，其中,λk表示按照降序排列的第k個特征值，1≤k≤M。

步驟3：求解判決門限值γk

γk=F-1(1-Pfa)εL,Nr-k+μL,Nr-k，

式中，F(xiàn)-1(1-Pfa)表示第二類Tracy-Widom分布的逆累積分布函數(shù)，Pfa表示預(yù)先設(shè)定的虛警概率，歸一化系數(shù)為：

步驟4：確定檢測統(tǒng)計量屬性

如果檢測統(tǒng)計量Uk大于判決門限γk，則將檢測統(tǒng)計量Uk判定為信號統(tǒng)計量；

如果檢測統(tǒng)計量Uk小于判決門限γk，則將對應(yīng)檢測統(tǒng)計量Uk判定為噪聲統(tǒng)計量。

步驟5：確定信源數(shù)目N。

3 仿真驗證分析

3.1 瑞利平坦衰落信道

在瑞利平坦衰落信道條件下，對信源數(shù)目估計經(jīng)典算法AIC、MDL、PET與所提WME算法的正確估計概率進行了對比。仿真條件如下：

·信源數(shù)目：4；

·陣元數(shù)：16；

·噪聲特性：瑞利分布色噪聲；

·信噪比范圍：-10～5 dB；

·采樣點數(shù)：50～600；

·蒙特卡洛次數(shù)：1 000次。

WME算法的估計概率隨信噪比變化曲線如圖1所示，WME算法的估計概率隨采樣點數(shù)變化曲線如圖2所示。

圖1 WME算法估計概率隨信噪比變化曲線

由圖1可以看出，WME算法在低信噪比條件下的正確識別率要高于PET和MDL算法，稍遜于AIC算法，但是由于AIC算法是非一致算法，在較高信噪比條件下無法收斂于1。

圖2 WME算法估計概率隨采樣點數(shù)變化曲線

由圖2可以看出，WME算法在樣本數(shù)40以上的性能優(yōu)于MDL算法，在更少的樣本數(shù)下優(yōu)于AIC和PET算法。

3.2 頻率選擇性衰落信道

在頻率選擇性衰落信道條件下，對提出的FKN信源數(shù)目估計算法的性能進行了仿真分析。仿真條件如下：

·工作頻段：1.5～30 MHz；

·信源數(shù)：2～4；

·陣元數(shù)：8；

·信道條件：多徑數(shù)為3、最大延時≤0.05 ms、最大反射系數(shù)為1的頻率選擇性衰落信道；

·信噪比：-8 ～8 dB；

·采樣點數(shù)：10～300；

·蒙特卡洛次數(shù)：1 000次。

FKN算法的估計概率隨信噪比變化曲線如圖3所示，F(xiàn)KN算法的估計概率隨采樣點數(shù)變化曲線如圖4所示。

圖3 FKN算法估計概率隨信噪比變化曲線

圖4 FKN算法估計概率隨采樣點數(shù)變化曲線

由圖3可以看出，在頻率選擇性衰落信道中FKN算法在低信噪比條件下能夠達到較高的估計概率，且隨著信源數(shù)目的增加，達到估計概率100%所需的信噪比越高。

由圖4可以看出，在頻率選擇性衰落信道條件下，F(xiàn)KN算法的估計概率高于AIC和MDL，且樣本數(shù)在50以上就能達到100%的估計概率。

4 結(jié)束語

在瑞利平坦衰落信道和頻率選擇性衰落信道中，針對現(xiàn)有信源數(shù)目估計方法在低信噪比條件下估計效果差、高信噪比條件下容易出現(xiàn)過估/欠估、算法收斂較慢的特點，提出了具有快速收斂特性的基于小樣本的信源數(shù)目估計算法，通過仿真分析所提算法具有較好的估計性能。本文的研究成果可用于短波、超短波等偵測系統(tǒng)的盲信號分離和測向處理中，能夠有效提高偵測性能。