Matlab在數(shù)學(xué)分析中的教學(xué)研究

摘要：Matlab在數(shù)學(xué)分析中的計(jì)算方面有突出的表現(xiàn)，本文主要介紹了如何使用MATLAB語(yǔ)言的符號(hào)運(yùn)算工具箱來(lái)求解曲線積分和曲面積分.這樣的話，它可以使得學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)積分的計(jì)算變得不那么頭疼，并且也可以運(yùn)用圖形繪制來(lái)理解較難的問(wèn)題，使得學(xué)生更愛(ài)學(xué)數(shù)學(xué)分析。

關(guān)鍵詞：matlab；曲線積分；曲面積分；圖形繪制

《數(shù)學(xué)分析》是對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是一門(mén)必修的專(zhuān)業(yè)課。對(duì)于該課程的定積分應(yīng)用這一部分的學(xué)習(xí)，特別是對(duì)于重積分的學(xué)習(xí)，是讓學(xué)生感到很頭疼的一件事。而matlab工具就具有強(qiáng)大的運(yùn)算功能，只要輸入命令就能很方便快速解答。下面我分別從曲線積分、二重和三重曲面積分的求解三個(gè)方面說(shuō)明這個(gè)方法：

一、 曲線積分及MATLAB求解

曲線積分

若設(shè)f（x，y，z）在空間曲線L上的函數(shù)，則它的總質(zhì)量為：I=∫Lf（x，y，z）ds，該式子即為第一類(lèi)曲線積分。其中，對(duì)于s則表示曲線上某點(diǎn)的弧長(zhǎng)，則題意為對(duì)s進(jìn)行積分。

【例1】計(jì)算由m=kcos5u，n=ksin5u（k>0）所圍成圖形的面積。

解：matlab編程如下（運(yùn)用A=12∮Lxdy-ydx公式計(jì)算面積）

syms h j k u dh djj=k*sin（u）.^5；h=k*cos（u）.^5；

dh=diff（h）；dj=diff（j）；int（1/2*（h*dj-j*dh），u，0，2*pi）；結(jié)果應(yīng)為A=15k2π128。

二、 曲面積分與MATLAB求解

（一） 曲面積分

曲面積分為I=Sφ（x，y，z）dS。其中，dS為小區(qū)域的面積，故這類(lèi)積分又稱(chēng)為對(duì)某區(qū)域的曲面積分。若S由z=f（x，y）給出，則該積分可變成對(duì)區(qū)域積分或?yàn)槊鎥y上的二重積分I=σxyφ[x，y，f（x，y）]1+f2x+f2ydxdy，這里σxy為積分區(qū)域。

【例2】求S（u2+v2）dS，其中S是由l=1和2u2+2v2+l=6所圍成。

解：l=6-2u2-2v2，則fu=-3u，fv=-3v，1+（-3u）2+（-3v）2=1+3u2+3v2。

Matlab運(yùn)行程序如下：Syms k h；l=6-2*k^2；

I=int（int（k^2*（1+3*diff（l，k）^2）.^（1/2），k，0，（3）^（1/2）），h，0，2*pi）

結(jié)果應(yīng)為：I=（pi*（867*6960^（1/2）-3^（1/2）*log（145^（1/2）+12）））/2304。

【例3】計(jì)算曲面積分I=S（5kl+6lm+7mk）dkdl，其中S在橢球面（k-3）2a2+（l-2）2b2+（m-2）2c2=1的上半部分且取它的外側(cè)。

解：利用參數(shù)方程k=3+asinucosυ，l=2+bsinusinυ，m=2+ccosu，且（0≤u≤π/2，0≤υ≤2π）。所以原來(lái)的曲面積分題目可以變成為一般雙重積分來(lái)進(jìn)行求解。

∫2π0∫π/20CRdudυ，其中R=5kl+6lm+7ml，C=kulυ-lυku。Matlab運(yùn)行程序如下：

syms u v a b c；k=3+a*sin（u）*cos（v）；l=2+b*sin（u）*sin（v）；m=2+c*cos（u）；

C=diff（k，u）*diff（l，v）-diff（l，u）*diff（k，v）；R=5*k*l+6*l*m+7*m*k；

I=int（int（R*C，u，0，pi/2），v，0，2*pi）所求的結(jié)果應(yīng)為：2abπ（11c+48）。

（二） 三重積分的計(jì)算

【例4】計(jì)算三重積分V（3k2+l2+5m）dkdldm，其中V是由曲面m=7（k2+l2）面和m=25圍成。

解：Matlab程序運(yùn)行如下：syms h s m；f=（3*h+5*m）*h；

I=int（int（int（f，m，h，（7*h^2）.^（1/2）），h，0，5），s，0，2*pi）

結(jié)果應(yīng)為I=1875π（7+4）2。

三、 總結(jié)

通過(guò)上述的分析、編程與上機(jī)實(shí)驗(yàn)，我們發(fā)現(xiàn)數(shù)分積分的計(jì)算，不管是對(duì)于曲線或曲面若直接計(jì)算起來(lái)是相對(duì)比較麻煩，且需要消耗很多精力和較長(zhǎng)的時(shí)間，所以我們把這類(lèi)問(wèn)題用matlab工具操作又快又準(zhǔn)確且它的優(yōu)越性就體現(xiàn)在：運(yùn)用matlab執(zhí)行的命令既簡(jiǎn)單又容易掌握，要用的人只要懂得輸進(jìn)為數(shù)不多的命令就可以達(dá)到他們想要的結(jié)果。并且用matlab強(qiáng)大的畫(huà)圖功能讓我們更為直觀地理解面積和體積的概念，也能讓學(xué)生在快樂(lè)中學(xué)習(xí)。

作者簡(jiǎn)介：

周春葉，福建省晉江市，福建省晉江市內(nèi)坑中學(xué)。