專題復(fù)習(xí)要舉一反三

于愛文 盛建武

鑒于中考數(shù)學(xué)壓軸題的綜合性、階梯性與難突破性，初中數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)至關(guān)重要，例題的選擇與講解的效果直接影響學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。因此，初中數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)的例題選擇與講解更應(yīng)該注意相應(yīng)的技巧和策略，讓學(xué)生能夠充分地吸收例題中蘊(yùn)含的解題思路和方法，實(shí)現(xiàn)從教知識(shí)向教方法、思想的轉(zhuǎn)變，讓學(xué)生通過專題復(fù)習(xí)優(yōu)化自己在該專題的知識(shí)結(jié)構(gòu)。那么，在數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)中，如何真正做到舉一反三，實(shí)現(xiàn)學(xué)生在知識(shí)、能力、情感態(tài)度、經(jīng)驗(yàn)積累的全面提升？我們以“二次函數(shù)的面積問題”為例，從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)角度出發(fā)，創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)，探究了有效的數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)教學(xué)策略。

一、原教學(xué)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)述

環(huán)節(jié)1.自主研學(xué)

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線P的頂點(diǎn)M（1，4），且與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）。

問題1：求出拋物線P及直線BC的解析式；

問題2：設(shè)拋物線P的對(duì)稱軸與BC相交于點(diǎn)D，求出線段BC與線段 MD的長度；

問題3：連接MC，MB，求出吟MCB的面積。

環(huán)節(jié)2.合作探學(xué)

問題4：設(shè)E點(diǎn)是拋物線P上第一象限的動(dòng)點(diǎn)，連接EB，EC，當(dāng)吟ECB的面積最大時(shí)，求出E點(diǎn)的坐標(biāo)及面積的最大值。

變式1：設(shè)E點(diǎn)是拋物線P上第一象限的動(dòng)點(diǎn)，連接EB，EC，當(dāng)四邊形OBEC的面積最大時(shí)，求出E點(diǎn)的坐標(biāo)。

環(huán)節(jié)3.拓展研學(xué)

環(huán)節(jié)4.總結(jié)思學(xué)

請(qǐng)從數(shù)學(xué)解題思想與應(yīng)用到的數(shù)學(xué)方法方面小結(jié)。

點(diǎn)評(píng)：1.在教學(xué)目標(biāo)的設(shè)計(jì)上，力求通過學(xué)生的探究，將二次函數(shù)與三角形、四邊形、相似等知識(shí)融合在一起，構(gòu)建它們之間的聯(lián)系，形成關(guān)于二次函數(shù)的面積問題的新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。但在實(shí)際教學(xué)過程中，一次拋出三個(gè)問題，對(duì)于學(xué)生來說難度較大，環(huán)節(jié)1花的時(shí)間比較多，且效果不佳，大多數(shù)學(xué)生無從下手，學(xué)習(xí)積極性不高，思維未被激活。這主要是教師過高地估計(jì)了學(xué)生的認(rèn)知和思維發(fā)展水平，教學(xué)脫離了學(xué)生的實(shí)際。

2.本節(jié)復(fù)習(xí)課的重點(diǎn)是學(xué)生在解決二次函數(shù)的面積問題的過程中，體會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想可以化難為易、化隱為顯、化繁為簡(jiǎn)、化曲為直，從而讓學(xué)生較容易地建立未知與已知之間的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，解決數(shù)學(xué)問題。本次復(fù)習(xí)的具體轉(zhuǎn)化的策略是水平分割與豎直分割，化隱為顯，建立二次函數(shù)與三角形、四邊形面積之間的聯(lián)系。但在教學(xué)過程中，呈現(xiàn)的方式與呈現(xiàn)的層次性不夠，導(dǎo)致學(xué)生盡管能掌握這一問題的解答，但對(duì)于轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想體驗(yàn)不夠，經(jīng)驗(yàn)積累不足，目標(biāo)達(dá)成大打折扣。

二、改進(jìn)后的教學(xué)設(shè)計(jì)

基于以上思考，為了突破難點(diǎn)，有效地實(shí)現(xiàn)本專題的復(fù)習(xí)目標(biāo)，我們對(duì)本節(jié)數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)課重新進(jìn)行了設(shè)計(jì)，修改如下：

如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線P的頂點(diǎn)M（1，4），且與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中B（3，0）。

問題1：求出拋物線P的解析式。

點(diǎn)評(píng)：在初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試中，求解拋物線解析式是經(jīng)常考查的問題，大部分學(xué)生僅局限于用拋物線的一般式進(jìn)行計(jì)算求解，而一般式涉及解三元一次方程組，不僅式子復(fù)雜，運(yùn)算量也大；不但容易出錯(cuò)，而且浪費(fèi)時(shí)間，因而選擇一種簡(jiǎn)便的解析式和計(jì)算途徑至關(guān)重要。本題的設(shè)計(jì)，出于優(yōu)化學(xué)生解題策略的考慮，讓學(xué)生根據(jù)解析式的問題特征，選擇用頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-h）2+k進(jìn)行求解。因?yàn)槭褂庙旤c(diǎn)式求解，代入頂點(diǎn)坐標(biāo)后，僅需解一個(gè)一元一次方程，大大簡(jiǎn)化了計(jì)算。這樣，學(xué)生解決問題的思維方式更合理。

將題目的原設(shè)計(jì)C（0，3）改為B（3，0），原設(shè)計(jì)僅讓學(xué)生體會(huì)頂點(diǎn)式的應(yīng)用，二次函數(shù)的交點(diǎn)式則沒有覆蓋到位，而修改后不僅可以使用頂點(diǎn)式，也可使用交點(diǎn)式求解。

追問：除了使用頂點(diǎn)式求解，還能使用其他方法嗎？

點(diǎn)評(píng)：學(xué)生除了可以用頂點(diǎn)式和交點(diǎn)式求解外，在得到A（-1，0），B（3，0），M（1，4）之后，也可以使用一般式，使得解題策略多樣化，不僅激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，也激活了學(xué)生思維。

問題2：連接MC，MB，求出吟BOC與吟MCB的面積。

點(diǎn)評(píng)：有關(guān)求解三角形面積類型的題，極少出現(xiàn)特別直觀的面積求解問題，很多時(shí)候需要進(jìn)行轉(zhuǎn)化。轉(zhuǎn)化采用得最多的方法是分割（即水平分割與豎直分割），而△MCB的面積求解很好地展示了這一數(shù)學(xué)思想方法。

問題3：在原問題4的基礎(chǔ)上，增加一步變式。

追問：在拋物線P上第一象限內(nèi)求點(diǎn)E，使點(diǎn)E到線段BC的距離最大，求出最大值。

點(diǎn)評(píng)：本問題設(shè)計(jì)的核心思想是轉(zhuǎn)化思想，將△EBC的面積最值問題轉(zhuǎn)化為求線段EG的最值問題，以及在問題2的基礎(chǔ)上對(duì)三角形的面積求法做具體的應(yīng)用。

問題4：在原問題5的基礎(chǔ)上增加2問變式。

點(diǎn)評(píng)：本問題設(shè)計(jì)涉及取值問題，進(jìn)而引發(fā)更深層次問題，求k的取值范圍。學(xué)生不僅思維能更上一個(gè)臺(tái)階，解決問題的能力也會(huì)得到提高。

總評(píng)：本教學(xué)設(shè)計(jì)對(duì)專題復(fù)習(xí)課的教學(xué)作了整體設(shè)計(jì)，已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了由教知識(shí)向教方法、思想過渡。一是從學(xué)生整體發(fā)展出發(fā)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)，而不是只考慮中考的近期目標(biāo)，特別注意學(xué)生在解題過程中對(duì)數(shù)學(xué)思想與方法的掌握。數(shù)學(xué)思想與方法是數(shù)學(xué)大廈的基石，是數(shù)學(xué)解題的靈魂。它來源于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，又反過來指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決問題。所以在平時(shí)的訓(xùn)練與例題講解中，要結(jié)合具體問題理解和掌握數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)方程、數(shù)學(xué)建模等常見的數(shù)學(xué)思想與方法。二是根據(jù)學(xué)生的特點(diǎn)進(jìn)行內(nèi)容的整體安排，內(nèi)容選擇要精，教師通過多個(gè)問題，將二次函數(shù)的面積問題逐層分解，步步緊逼，直達(dá)問題的核心，讓不同的學(xué)生在學(xué)習(xí)中都有所收獲，有所體驗(yàn)，每位學(xué)生都有發(fā)展。三是教學(xué)方法上既充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，又發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，讓學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的過程，重視解題方法和解題規(guī)律的總結(jié)和提高。

本專題復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)，提高了學(xué)生的各種數(shù)學(xué)能力?？v觀《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)能力的考查，大致可分成兩個(gè)階段、兩個(gè)層次。一個(gè)階段是以考查運(yùn)算能力、空間想象能力和邏輯思維能力以及分析和解決純數(shù)學(xué)問題的能力為特點(diǎn)的階段。在此基礎(chǔ)上，近年來又強(qiáng)化了閱讀理解能力、探索創(chuàng)新能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，以及建立在此基礎(chǔ)上的作為數(shù)學(xué)核心能力的思維能力。特別是把數(shù)學(xué)作為文化和培養(yǎng)人的一個(gè)不可分割的整體中的一個(gè)部分時(shí)，對(duì)學(xué)生的情感、意志、毅力、價(jià)值觀等非智力因素的考查，就必然會(huì)進(jìn)入一個(gè)新的階段。初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試，突出對(duì)學(xué)生思維能力與數(shù)學(xué)意識(shí)的考查，進(jìn)而落實(shí)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中關(guān)注學(xué)生思維能力和數(shù)學(xué)意識(shí)的培養(yǎng)目標(biāo)，激發(fā)學(xué)生的發(fā)展?jié)撃?。本專題的設(shè)計(jì)將二次函數(shù)融入面積計(jì)算之中，將二次函數(shù)、三角形、四邊形和相似等知識(shí)有機(jī)結(jié)合，提升學(xué)生的認(rèn)知能力，并將轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)思想、方程思想滲透其中，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)感悟、數(shù)學(xué)情感、數(shù)學(xué)積累上有較大的發(fā)展。

本專題復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)還為我們提供了以下經(jīng)驗(yàn)和方法：變更數(shù)學(xué)題目的表達(dá)形式和背景，培養(yǎng)思維的深刻性。尋求不同解題途徑與思維方式，培養(yǎng)思維的廣闊性。對(duì)問題解答的思維方式不同，產(chǎn)生解題方法各異。這樣的訓(xùn)練將有益于打破思維定式，優(yōu)化解題方法，從而培養(yǎng)發(fā)散思維能力。變換幾何圖形的位置、形狀和大小，培養(yǎng)思維的靈活性、敏捷性。注意把課本中的例習(xí)題多層次變換，這樣既加強(qiáng)了知識(shí)間的聯(lián)系，又激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，達(dá)到了鞏固知識(shí)又培養(yǎng)能力的目的。改變題目的條件和結(jié)論，培養(yǎng)思維的批判性。這樣的訓(xùn)練可以克服我們靜止地、孤立地看問題的習(xí)慣，促進(jìn)我們對(duì)數(shù)學(xué)思想與方法的再認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)研究和探索問題的能力。

（作者單位：長沙市北雅中學(xué)長沙市開福區(qū)教育科研培訓(xùn)中心）