例談圓錐曲線中求范圍問(wèn)題

河北易縣中學(xué) 邊紅霞

圓錐曲線中求范圍的問(wèn)題，綜合性強(qiáng)、靈活性高，往往沒有固定的解題模式，有利于考查學(xué)生的靈活應(yīng)變能力，考查學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力，是高考復(fù)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容。

一、創(chuàng)建函數(shù)

范圍問(wèn)題中包含求離心率、斜率、截距的范圍等。這類問(wèn)題一般變量多，條件少。其基本思路：根據(jù)條件列出變量間的等量關(guān)系式，將所求變量做為主變?cè)溆嘁鹬髯冊(cè)兓牧?，設(shè)為自變量，然后分離變量，即將主變?cè)獜闹蟹蛛x出來(lái)，創(chuàng)建函數(shù)，通過(guò)求函數(shù)的值域獲取范圍。

思考：若 2a2-c2=（a2-c2）a2是關(guān)于 a，c的齊次式，方程兩邊同除以a的最高次，得到關(guān)于e的方程，能求出e的具體值，但這道題求的是范圍，左邊是關(guān)于a，c的二次，右邊是四次，所以不是齊次式，這是在意料之中，因此就要另辟蹊徑。為出現(xiàn)離心率e，同時(shí)條件中給定了a的范圍，這樣考慮以e為主變?cè)?，以a為自變量，方程兩邊同除以a2，目標(biāo)保留e，a，創(chuàng)建e關(guān)于a的函數(shù)，通過(guò)求函數(shù)的值域得解。

二、構(gòu)造不等式

如何構(gòu)造不等式，要深刻挖掘題目條件，充分利用圓錐曲線的定義及幾何性質(zhì)，并關(guān)注解答過(guò)程中出現(xiàn)的各種信息，靈活選用方法，構(gòu)造出不等式，常見有以下幾種。

1.根據(jù)圓錐曲線的幾何性質(zhì)。

2.根據(jù)題目條件，由題干條件列出含參數(shù)的不等式。

3.利用基本不等式，根據(jù)各變量間的關(guān)系，利用圓錐曲線的定義等創(chuàng)造條件。

解：設(shè) |F1P|=m，|F2P|=n，∵m+n=2a，在△PF1F2中，由余弦定理得，cos120°=

∴3a2≤4c2

思考：此題是利用基本不等式求解。根據(jù)橢圓的定義，橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為定值，積有最大值，從而利用基本不等式，進(jìn)行放縮得解。在實(shí)際問(wèn)題中，基本不等式是構(gòu)造不等關(guān)系最常見的方法。

三、利用數(shù)形結(jié)合

解析幾何的實(shí)質(zhì)是用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題。因此，圖形是分析問(wèn)題的基礎(chǔ)，充分利用圖形中幾何量的關(guān)系，建立不等式或方程，然后用代數(shù)方法進(jìn)行研究，也是求解范圍問(wèn)題的一種方法，特別是在解選擇題、填空題中更為常見。

例 3 已知雙曲線 x2-my2=1（m＞0）的右焦點(diǎn)為A，而B，C是雙曲線右支上的兩點(diǎn)，如果△ABC是正三角形，求m的取值范圍。

解：數(shù)形結(jié)合，由雙曲線的對(duì)稱性，若右支上存在正三角形△ABC，則B，C必關(guān)于x軸對(duì)稱，且直線AB的斜率為tan30°此時(shí)直線AB必與漸近線l有交點(diǎn)，∴kAB＞kl，而漸近線所以有，即 m＞3。

思考：數(shù)形結(jié)合是解決圓錐曲線問(wèn)題的典型方法，利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)，其圖形的規(guī)律性、對(duì)稱性等，為解題提供了很多信息，并通過(guò)對(duì)圖形的分析找到解題的突破點(diǎn)。

根據(jù)以上例題可以看出，解析幾何中求范圍問(wèn)題，常轉(zhuǎn)化為函數(shù)或不等式解決。分析的關(guān)鍵，就是利用圓錐曲線的定義和幾何性質(zhì)，根據(jù)圖形能夠敏銳地發(fā)現(xiàn)變量間的關(guān)系，并依據(jù)關(guān)系合理選擇主變?cè)M(jìn)行轉(zhuǎn)化實(shí)施分離變量，最后構(gòu)建函數(shù)關(guān)系，或轉(zhuǎn)化為不等式。其中，熟練掌握?qǐng)A錐曲線的概念是基礎(chǔ)，全面列出變量關(guān)系是前提，靈活選用方法準(zhǔn)確運(yùn)算是關(guān)鍵！