基于龍格—庫(kù)塔的非線性電容電路數(shù)值解法

摘 要：對(duì)于含有非線性電容元件的動(dòng)態(tài)電路運(yùn)用基爾霍夫定律列出是一組非線微分方程。該微分方程的解析一般不容易獲得。但可以借助計(jì)算機(jī)運(yùn)用迭代的思想將求解析解問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求數(shù)值解的問(wèn)題。本文以非線性電容的動(dòng)態(tài)電路為研究對(duì)象，重點(diǎn)研究了將二階龍格-庫(kù)塔法應(yīng)用于非線動(dòng)態(tài)電路的求解過(guò)程。通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)應(yīng)用二階顯式龍格-庫(kù)塔法來(lái)求非線性電容動(dòng)態(tài)電路的數(shù)值解是完全可行的。

關(guān)鍵詞：非線性動(dòng)態(tài)電路； 二階龍格-庫(kù)塔；數(shù)值解法

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2018.12.161

0 引言

對(duì)于非線性動(dòng)態(tài)電路，運(yùn)用基爾霍夫定律會(huì)得到一個(gè)非線性微分方程，其解析解y（x）一般不易獲得。當(dāng)解析解y（x）不易求出時(shí)，就應(yīng)該將連續(xù)問(wèn)題離散化處理。

針對(duì)歐拉法的這種不足，本文應(yīng)用二階龍格-庫(kù)塔方法求解非線性電容動(dòng)態(tài)電路。二階顯式龍格-庫(kù)塔法較之歐拉法有較強(qiáng)的精確性及收斂性。

1 二階顯式龍格-庫(kù)塔法

對(duì)于形如的微分方程，如果不易求其解析解，可以將微分方程的連續(xù)問(wèn)題離散化，即在求解區(qū)間上取一系列離散點(diǎn)，其中，h為步長(zhǎng)。離散化有三種方法：（1）差商逼近法即用差商值逼近導(dǎo)數(shù)值；（2）數(shù)值積分法即將微分方程轉(zhuǎn)化為積分方程進(jìn)行數(shù)值積分離散化；（3）泰勒展開(kāi)法進(jìn)本思想是首先構(gòu)造一個(gè)關(guān)于真解及其有關(guān)信息的含參算子，將算子中諸項(xiàng)在某點(diǎn)處按泰勒展開(kāi)式展開(kāi)。從而獲得一個(gè)關(guān)于數(shù)值解的差分方程。龍格-庫(kù)塔法是基于第三種方法。常用的二階龍格-庫(kù)塔格式。

2 應(yīng)用龍格-庫(kù)塔法求解非線性電容電路的步驟

應(yīng)用龍格-庫(kù)塔法可以將求其解析解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求微分方程數(shù)值解問(wèn)題。求解的思路分為兩步。第一步：根據(jù)非線性電容電路的特點(diǎn)，運(yùn)用基爾霍夫定律列寫(xiě)非線性微分方程。第二步：應(yīng)用龍格-庫(kù)塔法求解該非線性微分方程的數(shù)值解。

3 示例

下面運(yùn)用一個(gè)實(shí)例具體闡述運(yùn)用龍格-庫(kù)塔法求非線性電容電路的數(shù)值解的過(guò)程。電路如下圖1所示：已知電流源IS=1A，電阻R0=1Ω，其中非線性電容的庫(kù)伏特性為，u為電容兩端電壓，當(dāng)t=0時(shí)刻有，流過(guò)R0的電流為i0，流過(guò)非線性電容的電流為ic。以q為電路變量寫(xiě)出微分方程。

4 結(jié)論

本文重點(diǎn)研究了將龍格-庫(kù)塔法應(yīng)用于求解非線性電容電路，示例證明應(yīng)用該方法求非線性電路微分方程的數(shù)值解不但是完全可行的，而且還具有較高的代數(shù)精度。

參考文獻(xiàn)：

[1]李慶揚(yáng)，王能超等.數(shù)值分析[M].北京：清華大學(xué)出版社，2008（12）.

作者簡(jiǎn)介：付裕（1987-），陜西西安人，助教，研究方向：數(shù)據(jù)挖掘、電氣自動(dòng)化。