基于混合DE-PSO多目標(biāo)算法的動態(tài)環(huán)境經(jīng)濟調(diào)度

劉 剛，朱永利，蔣 偉

(1. 華北電力大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，河北 保定 071003；2. 貴州理工學(xué)院 電氣與信息工程學(xué)院，貴州 貴陽 550003)

0 引言

動態(tài)經(jīng)濟調(diào)度DED(Dynamic Economic Dispatch)是在確定的機組組合方式下，根據(jù)預(yù)測負(fù)荷對不同目標(biāo)的系統(tǒng)運行方式進(jìn)行優(yōu)化，從而確定各臺機組在多個時段的出力計劃[1-2]。與傳統(tǒng)的經(jīng)濟調(diào)度ED(Economic Dispatch)相比，DED考慮了不同時間斷面的爬坡約束，使得其調(diào)度策略更符合電網(wǎng)的實際運行情況，但求解難度也相應(yīng)增大。另外，隨著近年來環(huán)境污染、全球氣候變暖等問題日趨嚴(yán)重，世界各國都面臨著節(jié)能減排的巨大挑戰(zhàn)，因此傳統(tǒng)以發(fā)電成本最小為目標(biāo)的經(jīng)濟調(diào)度逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)橥瑫r以污染排放和發(fā)電成本為目標(biāo)的多目標(biāo)環(huán)境經(jīng)濟調(diào)度EED(Economic Emission Dispatch)[3-4]。動態(tài)環(huán)境經(jīng)濟調(diào)度DEED(Dynamic Economic Emission Dispatch)即是對DED和EED的耦合。

對于DEED的求解方法，通?？蓪⑵浞譃閭鹘y(tǒng)方法和智能方法。傳統(tǒng)方法求解多目標(biāo)的思路是根據(jù)某種規(guī)則和方法將多目標(biāo)轉(zhuǎn)化成單目標(biāo)，通過調(diào)節(jié)各目標(biāo)的權(quán)值來獲得一組Pareto解，如文獻(xiàn)[5]利用加權(quán)技術(shù)和半正定規(guī)劃法進(jìn)行求解。傳統(tǒng)方法的優(yōu)點是求解效率高、速度快，目前也已經(jīng)有了很多商業(yè)型求解器可以供給研究者使用，但是其要求目標(biāo)函數(shù)可微、初值對解的影響較為靈敏，很容易陷入局部最優(yōu)，如果目標(biāo)函數(shù)非凸(如閥點效應(yīng)、禁止區(qū)間等所引起的目標(biāo)函數(shù)不可微)，可能導(dǎo)致問題無法求解。相反，智能方法則無此要求，它根據(jù)某種啟發(fā)式規(guī)則不斷更新種群，從而在整個解空間中搜索最優(yōu)解。有種通過加權(quán)法運行多次求解程序來獲得一組Pareto解的智能算法[6-7]，但該方法存在的問題是通過調(diào)節(jié)權(quán)值并不一定能夠得到真正的Pareto前沿，且程序需要運行多次，效率較低。求解DEED更多的智能方法是如NSGA-Ⅱ(Nondominated Sorting Genetic Algorithm-Ⅱ)[8]、多目標(biāo)粒子群優(yōu)化MOPSO(Multi-Objective Particle Swarm Optimization)算法[9]、多目標(biāo)微分進(jìn)化MODE(Multi-Objective Differential Evolution)算法[10-11]等多目標(biāo)優(yōu)化算法，這些方法基于Pareto占優(yōu)和非劣排序等規(guī)則，通過一次求解就能獲得一組Pareto最優(yōu)解，求解效率較高。但上述多目標(biāo)算法目前還存在不少問題，如算法性能對參數(shù)選擇較為敏感、尋優(yōu)能力不穩(wěn)定(魯棒性較差)、運行耗時、收斂緩慢、解集中含有不可行解、Pareto分布不均勻、容易陷入局部最優(yōu)、全局尋優(yōu)能力較弱等問題。例如，NSGA-Ⅱ存在運行比較耗時、收斂緩慢等問題。

在求解多目標(biāo)經(jīng)濟調(diào)度問題方面，已有研究表明MOPSO和MODE算法的性能優(yōu)于NSGA-Ⅱ[10]。MOPSO算法基于粒子群優(yōu)化(PSO)的基本操作來實現(xiàn)，其每個粒子根據(jù)個體最優(yōu)和全局最優(yōu)來實現(xiàn)粒子位置更新，粒子呈現(xiàn)多樣性，但也因此很容易陷入局部最優(yōu)；MODE算法是基于微分進(jìn)化(DE)算法實現(xiàn)的，個體通過隨機選擇的不同個體之差來實現(xiàn)變異，再經(jīng)過交叉、選擇等操作來實現(xiàn)種群更新，全局解的尋優(yōu)能力強，收斂速度較快，但是個體更新沒有記憶機制，也沒有全局最優(yōu)來引導(dǎo)尋優(yōu)過程。文獻(xiàn)[12]結(jié)合DE和PSO的優(yōu)缺點，提出了基于DE-PSO的混合算法來求解單目標(biāo)經(jīng)濟調(diào)度問題，得到了良好的效果?；谝陨系姆治龊褪艿轿墨I(xiàn)[12]的啟發(fā)，本文設(shè)計了一種融合DE和PSO的混合多目標(biāo)優(yōu)化算法來求解DEED問題，該方法使用自適應(yīng)參數(shù)的改進(jìn)DE和PSO雙種群更新策略，基于Pareto占優(yōu)原則和一種改進(jìn)的Pareto解集裁剪技術(shù)，能夠找到較寬和更均勻的Pareto前沿，通過測試案例驗證了該方法的可行性和優(yōu)越性。最后，基于模糊決策技術(shù)，在Pareto解集中提取了最佳折中解以供決策者進(jìn)行參考和決策。

1 DEED數(shù)學(xué)模型

1.1 目標(biāo)函數(shù)

a. 火電機組發(fā)電費用。

常規(guī)火電機組的能耗特性通常可用二次函數(shù)進(jìn)行擬合，此外，由汽輪機突然開啟所產(chǎn)生的閥點效應(yīng)會在機組能耗曲線上疊加一個脈動效應(yīng)[1,8]。在T個時段內(nèi)N臺常規(guī)機組的總能耗費用fc表示為：

(1)

b. 火電機組污染氣體排放量。

燃煤機組在發(fā)電過程中的污染排放物主要為硫氧化物(SO2)、氮氧化物(NO、NO2)等污染物，各污染氣體排放量與機組有功出力的關(guān)系可以單獨建模，也可綜合建模。本文中，污染氣體排放量fe采用如下的綜合排放模型[1,8]：

(2)

其中，fe單位為lb/h；αi、βi、γi、ζi和λi為燃煤機組i的污染氣體排放量系數(shù)，可根據(jù)電廠的有害氣體排放檢測數(shù)據(jù)采用擬合方法得到。

1.2 約束條件

a. 功率平衡約束。

對每個調(diào)度時段，系統(tǒng)總有功功率應(yīng)與網(wǎng)損和負(fù)荷之和保持供需平衡，即：

(3)

其中，pD,t、pL,t分別為第t時段的負(fù)荷需求預(yù)測和網(wǎng)損。網(wǎng)損可以通過潮流計算得到，但研究中通常利用B系數(shù)法進(jìn)行求取[13]：

(4)

其中，Bi j、B0i、B00為網(wǎng)損系數(shù)。

b. 出力約束。

火電機組出力應(yīng)受到其上下限約束：

(5)

c. 火電機組爬坡約束。

(6)

2 混合DE-PSO多目標(biāo)算法

在提出本文多目標(biāo)優(yōu)化算法之前，先對DE算法和PSO算法進(jìn)行簡要介紹。

2.1 DE算法

DE算法是一種高效的智能優(yōu)化算法，其種群更新主要由變異、交叉、選擇這3個操作來完成，具體描述可參見文獻(xiàn)[14]。為了兼顧個體的多樣性和算法的收斂性，本文中DE算法的變異操作融合了DE/rand/1和DE/best/1這2種變異策略：

(7)

(8)

其中，F(xiàn)0為迭代終止算子(在[0.1,0.6]間取值)，初始時F=2F0，到后期逐漸接近F0；Gmax為最大迭代次數(shù)。

2.2 PSO算法

PSO算法是一種基于群體協(xié)作的智能優(yōu)化算法[15]，其每個粒子(也即決策向量)的分量根據(jù)自身所獲得的一個速度來進(jìn)行位置更新，粒子分量的速度vi, j和位置xi,j更新公式分別為：

vi,j(G+1)=ωvi,j(G)+c1rand1[Pi,j(G)-xi,j(G)]+

c2rand2[Pg,j(G)-xi,j(G)]

(9)

xi,j(G+1)=xx,j(G)+vi,j(G+1)

(10)

其中，ω為慣性權(quán)重；c1、c2為學(xué)習(xí)因子；rand1、rand2為[0,1]區(qū)間內(nèi)相互獨立的隨機數(shù)；Pi, j為單個粒子的個體最優(yōu)位置，也記作PBest；Pg,j為所有粒子的全局最優(yōu)位置，也記作GBest。為了在PSO算法的全局和局部搜索能力間進(jìn)行折中，本文采用一種自適應(yīng)的ω：

(11)

其中，ωmax、ωmin分別為最大、最小慣性權(quán)重。

2.3 混合多目標(biāo)DE-PSO算法流程

多目標(biāo)問題中，目標(biāo)的度量往往不一致，且這些目標(biāo)可能是相互沖突的，即一個目標(biāo)的優(yōu)化會導(dǎo)致另一個目標(biāo)的劣化，因此希望能求出的是一組非劣解(Pareto最優(yōu)解)，即對一個或幾個目標(biāo)函數(shù)不可能進(jìn)一步優(yōu)化而對其他目標(biāo)函數(shù)不至于劣化的解，多目標(biāo)相關(guān)知識可參見文獻(xiàn)[16]。為了求解DEED問題，本文設(shè)計了一種基于外部存檔集合和雙種群優(yōu)化機制的混合多目標(biāo)算法，稱之為混合多目標(biāo)DE-PSO HMO-DE-PSO(Hybrid Multi-Objective DE-PSO)算法，該算法根據(jù)某種規(guī)則將初始種群一分為二，一個采用DE優(yōu)化策略，另一個采用PSO策略。首先對外部存檔集、Pareto解集裁剪規(guī)則、將DE和PSO算法應(yīng)用到多目標(biāo)優(yōu)化中需要進(jìn)行的改造、種群劃分規(guī)則等內(nèi)容進(jìn)行介紹。

a. 外部存檔集合。

自從Zitzler等提出基于外部精英存檔機制的SPEA(Strength Pareto Evolutionary Algorithm)多目標(biāo)算法[17]后，許多學(xué)者都提出了基于該機制的多目標(biāo)優(yōu)化算法。精英存檔機制通過一個外部存檔集合來存放在算法迭代過程中所找出的Pareto最優(yōu)解。初始時，該集合為空集，算法第1次迭代所找到的Pareto解被存放到集合中，但從第2次迭代開始，新找出的Pareto解都要一一與原外部存檔中的每個解進(jìn)行對比來決定外部存檔集的更新，比較原則如下：如果新的Pareto解被外部存檔集中的任意一個解支配(或占優(yōu))，則該解不能進(jìn)入集合；如果外部存檔集中某些解被新的Pareto解支配，那么這些被支配的解需從原集合中刪除，該新的Pareto解進(jìn)入集合；如果外部存檔中沒有任何解能支配該新的Pareto解，且該解也不支配存檔集中的任何一個解，則該解也作為Pareto解進(jìn)入集合。當(dāng)該集合中解的個數(shù)達(dá)到一定的數(shù)量NS時，計算每個Pareto解的擁擠距離，保留擁擠距離大的前NS個解，其余的根據(jù)規(guī)則進(jìn)行裁剪。

b. Pareto解集裁剪規(guī)則。

Pareto解集裁剪是根據(jù)每個解的擁擠距離來實現(xiàn)的，擁擠距離的計算和裁剪方式?jīng)Q定了Pareto前沿分布的均勻性，本文通過圖1說明本文的擁擠距離計算方法和裁剪方法。

圖1 擁擠距離計算示意圖Fig.1 Schematic diagram of crowding distance calculation

圖1中，f1、f2分別為目標(biāo)函數(shù)1和目標(biāo)函數(shù)2。因為每個目標(biāo)的度量不同，在計算擁擠距離時各目標(biāo)值需要歸一化到[0,1]區(qū)間，且2個極端點被賦予最大的擁擠距離。圖1中，如果要計算A點的擁擠距離，傳統(tǒng)的計算公式為：

(12)

其中，dA為A點的擁擠距離。通過這種計算方式，B點的擁擠距離與A點的擁擠距離可能很接近，但很明顯B點比A點要擁擠得多，為了合理地體現(xiàn)各個解的擁擠程度，本文采用如下的計算方式：

(13)

當(dāng)外部存檔集合中解的數(shù)量超過NS后，需要根據(jù)擁擠距離來裁剪集合。傳統(tǒng)一刀切的方式會出現(xiàn)這樣的一種情況：如圖1所示，如果當(dāng)前要裁剪掉3個解，一刀切的方式將會將區(qū)域I中的E、C、D這3個點都裁剪掉，Pareto前沿中就會出現(xiàn)較大的一塊空白區(qū)。為此，本文采用一種每次只裁剪1個解的循環(huán)裁剪方式，即在裁剪過程中，每次只裁剪1個擁擠距離最小的解，然后重新計算解集中每個解的擁擠距離，直到解集中解的數(shù)量被裁剪至NS。這種方式下圖1中被裁剪的3個解將會是C點、E點和B點。

c. DE和PSO的改造。

(14)

PSO的改造只需確定單個粒子的個體最優(yōu)位置PBest和所有粒子的全局最優(yōu)位置GBest。與DE中的做法相同，從外部存檔集中隨機選擇一個Pareto解作為GBest。而PBest根據(jù)支配原則來更新，即如果新的粒子支配PBest，則PBest被新粒子替換，如果互不支配，則統(tǒng)計新粒子與原PBest各支配的粒子數(shù)量，支配粒子數(shù)量較多的為新的PBest。

d. 種群劃分規(guī)則。

前已分析，DE算法全局解尋優(yōu)能力較強，收斂速度較快，但沒有個體的記憶機制和全局最優(yōu)引導(dǎo)，算法容易早熟；PSO算法的粒子呈現(xiàn)多樣性，算法在解空間中搜尋范圍很大，但也很容易陷入局部最優(yōu)，且算法收斂不穩(wěn)定。因此，基于這2種算法各自的優(yōu)缺點，在每一次迭代過程中，根據(jù)某個目標(biāo)的適應(yīng)度將種群劃分為優(yōu)等種群和劣等種群，即將目標(biāo)適應(yīng)度按升序排序(針對最小化問題)，前一半為優(yōu)等群，后一半為劣等群，DE策略應(yīng)用于優(yōu)等種群，充分發(fā)揮全局解的搜索能力，PSO策略應(yīng)用于劣等群，使算法能在更大的范圍內(nèi)尋優(yōu)。但本文的問題是一個兩目標(biāo)(發(fā)電成本和排放量)的優(yōu)化問題，為了能同時優(yōu)化這2個目標(biāo)，本文采取的種群劃分規(guī)則是：在奇數(shù)次迭代中按發(fā)電成本fc來劃分，在偶數(shù)次迭代中按排放量fe來劃分，這樣就能同時兼顧這2個目標(biāo)。綜上所述，本文所提的HMO-DE-PSO算法流程如圖2所示。

圖2 HMO-DE-PSO算法流程Fig.2 Flowchart of HMO-DE-PSO algorithm

3 實例分析

3.1 測試系統(tǒng)及算法參數(shù)設(shè)置

為了驗證本文所提出的HMO-DE-PSO算法，在Core i5 2.5 GHz CPU+4 GB RAM+Win7 64 bit+Java環(huán)境下，用1個10機火電系統(tǒng)來進(jìn)行仿真分析?；痣姍C組煤耗參數(shù)、污染排放參數(shù)、出力限制、爬坡速率、網(wǎng)損系數(shù)、負(fù)荷預(yù)測數(shù)據(jù)等參見文獻(xiàn)[18]。算法參數(shù)設(shè)置如下：Gmax=1 200，初始種群NP=100(種群劃分后DE和PSO各占50)，NS=40；DE算法中的F0=0.45，PSO中的c1=c2=1.1，ωmax=0.8，ωmin=0.4。

3.2 實驗結(jié)果與分析

實際應(yīng)用中最終實施的方案一般只有1個，本文采用模糊集理論以及最大最小原則從Pareto非劣解集中確定一個最佳折中解以供決策者選取，各Pareto解的滿意度計算公式可參見文獻(xiàn)[14]。測試結(jié)果包含以下幾種情況：基于本文自適應(yīng)DE算法的單目標(biāo)(分別以發(fā)電成本和排放量為目標(biāo))優(yōu)化調(diào)度結(jié)果和基于HMO-DE-PSO的多目標(biāo)優(yōu)化調(diào)度結(jié)果對比；基于HMO-DE-PSO的多目標(biāo)優(yōu)化調(diào)度結(jié)果和MOPSO、MODE、NSGA-Ⅱ的優(yōu)化結(jié)果對比。

首先應(yīng)用本文改進(jìn)的DE算法分別對發(fā)電成本和排放量進(jìn)行單獨優(yōu)化(迭代次數(shù)為1 200，分別運行10次，取最優(yōu)結(jié)果)，優(yōu)化結(jié)果如表1所示，各目標(biāo)的尋優(yōu)過程如圖3所示。由于文獻(xiàn)[8]中也根據(jù)相同的測試數(shù)據(jù)采用了MRGA(Modified Real-coded Genetic Algorithm)算法進(jìn)行求解，因此將文獻(xiàn)[8]和文獻(xiàn)[18]中的單目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果列于表2中以進(jìn)行比較。表1中minfc和minfe分別表示以成本和排放最小為目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，可以看出目標(biāo)為minfc時，得到的24個時段調(diào)度最優(yōu)成本為$2 494 563.88，而相應(yīng)的排放量則達(dá)325 745.77 lb；目標(biāo)為minfe時得到的最小排放量為294 656.06 lb，而相應(yīng)的成本則升高至$2 617 725.73，說明了發(fā)電成本和排放量是一對相互沖突的目標(biāo)。表2中的min[wfc+(1-w)fe]表示w=0.5時的加權(quán)組合優(yōu)化，可以看出本文單目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果要優(yōu)于文獻(xiàn)[18]中的結(jié)果，minfc的優(yōu)化結(jié)果也小于文獻(xiàn)[8]中的結(jié)果，但minfe的優(yōu)化排放量要略高于文獻(xiàn)[8]的結(jié)果，但文獻(xiàn)[8]中迭代次數(shù)為20 000次，為本文的18倍。以上分析說明了本文單目標(biāo)算法是有效的。

表1 本文改進(jìn)DE單目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果Table 1 Results of improved DE single objective optimization

圖3 單目標(biāo)優(yōu)化迭代過程Fig.3 Iterative process of single objective optimization

文獻(xiàn)min fc發(fā)電成本/$min fe污染排放量/lbmin[wfc+(1-w)fe] 發(fā)電成本/$,污染排放量/lb[8]2.497×1062.924×1052.521×106,3.092×105[18]2.517×1063.041×1052.525×106,3.124×105

應(yīng)用HMO-DE-PSO算法求解(同樣取10次運行中最好的結(jié)果)DEED模型得到的最優(yōu)Pareto前沿(含40個非劣解)如圖4所示。

圖4 HMO-DE-PSO得到的Pareto前沿Fig.4 Pareto front achieved by HMO-DE-PSO

進(jìn)一步將圖4的Pareto前沿中的2個極端解(排放最優(yōu)解MEES(Minimum Emission Extreme Solution)和成本最優(yōu)解MCES(Minimum Cost Extreme Solution))和1個最佳折中解BCS(Best Compromise Solution)列于表3。從中可以看出，HMO-DE-PSO算法可以得到和單目標(biāo)優(yōu)化時相近的極端解，其中，雖然MEES中的排放量要略高于DE單獨優(yōu)化的結(jié)果，但MCES中的成本要遠(yuǎn)低于DE單獨優(yōu)化的結(jié)果，說明HMO-DE-PSO算法可以同時優(yōu)化發(fā)電成本和排放量2個目標(biāo)。同時，BCS與表2中的加權(quán)法結(jié)果相比，其成本和排放量都要小一些。若將所提取的BCS作為調(diào)度方案，可以在成本僅增加3.82%的情況下，將排放量降低7.65%。圖5給出了BCS調(diào)度方案下各機組的出力示意圖，圖中負(fù)荷點上方的部分是網(wǎng)損量。

表3 BCS和2個極端解的目標(biāo)值Table 3 Objective values of BCS and two extreme solutions

圖5 BCS下各機組的出力計劃Fig.5 Power output of each unit under BCS

為了充分說明HMO-DE-PSO算法的效果，分別應(yīng)用NSGA-Ⅱ、MOPSO、MODE對測試系統(tǒng)進(jìn)行求解，各種算法所得Pareto前沿如圖6所示。圖6中箭頭指示的解為各Pareto前沿的BCS，可以看出，HMO-DE-PSO算法所得到的Pareto前沿幾乎沒有重疊的解，其分布比MODE、MOPSO、NSGA-Ⅱ算法得到的Pareto前沿更靠前，解集更具多樣性且分布更均勻。

圖6 Pareto前沿對比Fig.6 Comparison of Pareto fronts

為進(jìn)一步對各多目標(biāo)算法性能進(jìn)行合理的評價，本文引入3種多目標(biāo)性能評價指標(biāo)PIs(Perfor-mance Indicators)來評價各算法性能，分別是分布性或多樣性指標(biāo)DM(Diversity Metric)[19]、分散性指標(biāo)MS(Maximum Spread)[20]和一種稱為基于容量空間的準(zhǔn)確度評價指標(biāo)(Accuracy PI,文獻(xiàn)中稱為Hypervolum)[17]。其中，DM是用來評價多目標(biāo)算法Pareto解集分布的均勻性，該值越小說明算法所獲得的Pareto解越均勻；MS是測量2個極端Pareto解間的距離，用來表征解集的最大分散性，即是否能夠搜索到更小的各個目標(biāo)值，該值越大，Pareto前沿分散性越好；Hypervolum是用來評價解空間的準(zhǔn)確度，Hypervolum的評價思想是，如果Pareto解集能夠支配的適應(yīng)度空間越大，Hypervolum就越大，則相應(yīng)的算法就越好[17]。表4中計算了各種算法的歸一化評價指標(biāo)，可以看出，HMO-DE-PSO算法獲得了最大的Hypervolum和MS以及最小的DM，其所獲得的解集從各個方面要優(yōu)于其他算法的結(jié)果。

表4 各算法歸一化后的多目標(biāo)評價指標(biāo)值Table 4 Multi-objective evaluation indexes after normalization of each algorithm

DEED同時兼顧了經(jīng)濟性和環(huán)境兩方面的因素，在目前節(jié)能減排的背景下具有重要的現(xiàn)實意義。多目標(biāo)優(yōu)化能夠給決策者提供多種調(diào)度方案進(jìn)行選擇，若以經(jīng)濟性為先，則MCES是最好的選擇，若以環(huán)境優(yōu)先，則MEES是最好的選擇，而BCS是兩者進(jìn)行折中的結(jié)果，在DEED中是一個很好的選擇。

4 結(jié)論

由于發(fā)電機閥點效應(yīng)的影響，本文的DEED是一個非光滑的兩目標(biāo)優(yōu)化問題，傳統(tǒng)方法很難進(jìn)行求解?；贒E算法和PSO算法各自的優(yōu)點，提出了融合2種算法優(yōu)點的HMO-DE-PSO求解算法。仿真算例表明，所提算法可以同時優(yōu)化發(fā)電成本和排放量2個目標(biāo)，從解的多樣性、分散性和準(zhǔn)確性方面都得到了比NSGA-Ⅱ、MOPSO、MODE要好的Pareto前沿，該方法具有一定的優(yōu)越性。另外，實現(xiàn)節(jié)能減排的另外一種措施是大力發(fā)展清潔能源，因此考慮含水電、風(fēng)電和太陽能發(fā)電等可再生能源并網(wǎng)的DEED將是筆者下一步重點研究的方向。