天基預(yù)警雷達(dá)自適應(yīng)轉(zhuǎn)換測(cè)量卡爾曼濾波

劉國(guó)情 袁俊泉 馬曉巖 陳阿磊 王力寶

(空軍預(yù)警學(xué)院，湖北武漢 430019)

1 引言

天基預(yù)警雷達(dá)是以衛(wèi)星為載荷平臺(tái)的雷達(dá),雷達(dá)觀測(cè)不受空域和地理?xiàng)l件的限制,能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)全球范圍內(nèi)全天時(shí)、全天候監(jiān)視,對(duì)現(xiàn)代軍事具有重要意義[1]。一方面,相對(duì)于傳統(tǒng)的地面和機(jī)載雷達(dá),天基預(yù)警雷達(dá)處于大氣層外,具有極大地探測(cè)范圍,可以比地面和機(jī)載雷達(dá)更早地發(fā)現(xiàn)目標(biāo),預(yù)警時(shí)間更早；另一方面,由于天基預(yù)警雷達(dá)的載體處于地球空間軌道,與地球不在同一個(gè)慣性系,而空中目標(biāo)和地球處于一個(gè)慣性系,這就造成了雷達(dá)和目標(biāo)處于不同的慣性系,并且兩者距離大,導(dǎo)致跟蹤的誤差大,對(duì)目標(biāo)跟蹤算法提出了更高的要求。

對(duì)于天基預(yù)警雷達(dá)系統(tǒng)而言,雷達(dá)和目標(biāo)處于不同的慣性系,狀態(tài)方程和觀測(cè)方程不在同一個(gè)坐標(biāo)系中,轉(zhuǎn)換的過(guò)程為非線(xiàn)性[2]。轉(zhuǎn)換測(cè)量卡爾曼濾波算法[3- 4]利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換實(shí)現(xiàn)了線(xiàn)性化,文獻(xiàn)[5]在三維空間中推導(dǎo)了轉(zhuǎn)換坐標(biāo)卡爾曼濾波算法,得到了測(cè)量值已知條件下的測(cè)量誤差協(xié)方差表達(dá)式, 但是,這種去偏轉(zhuǎn)換的方法引入了額外的誤差,結(jié)果不夠精確。文獻(xiàn)[6]針對(duì)傳統(tǒng)的量測(cè)轉(zhuǎn)換方法在互距離測(cè)量誤差增大時(shí)性能下降的問(wèn)題,提出一種基于卡爾曼濾波預(yù)測(cè)的無(wú)偏量測(cè)轉(zhuǎn)換方法,并結(jié)合無(wú)跡變換估計(jì)轉(zhuǎn)換量測(cè)方差,取得了較好的跟蹤效果。文獻(xiàn)[7]提出了一種目標(biāo)勻速運(yùn)動(dòng)時(shí),均方意義下的最優(yōu)估計(jì)卡爾曼濾波算法,并且給出了無(wú)偏轉(zhuǎn)換測(cè)量誤差協(xié)方差的簡(jiǎn)化方法。

本文從天基預(yù)警雷達(dá)特殊體制出發(fā),建立了天基預(yù)警雷達(dá)模型,一方面,采用了UCM無(wú)偏變換[8]將雷達(dá)的東北天極坐標(biāo)[9]的測(cè)量值轉(zhuǎn)換到ECEF直角坐標(biāo)系[10]中,并應(yīng)用文獻(xiàn)[11]中的求容積法的思想,代替?zhèn)鹘y(tǒng)的UT變換[12],將ENZ極坐標(biāo)系下測(cè)量誤差的協(xié)方差轉(zhuǎn)換到ECEF極坐標(biāo)系中,另一方面,引入了一個(gè)噪聲協(xié)方差調(diào)整系數(shù),自適應(yīng)調(diào)整協(xié)方差Q和R的大小,最后通過(guò)蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文提出的算法跟蹤效果優(yōu)于傳統(tǒng)算法。

2 天基預(yù)警雷達(dá)跟蹤模型

2.1 幾何運(yùn)動(dòng)模型

假設(shè)地球是一個(gè)規(guī)則的均勻球體,半徑Re=6378.14 km,雷達(dá)載體衛(wèi)星平臺(tái)處于圓形近地軌道,軌道高度800 km,軌道傾角37° 如圖1所示,目標(biāo)狀態(tài)方程建立在地心固連(Earth-Centered and Earth-Fixed,ECEF)直角坐標(biāo)系下,坐標(biāo)原點(diǎn)O位于地心,XOY平面位于赤道面,X軸指向格林尼治子午圈,Z軸指向北極點(diǎn)。雷達(dá)觀測(cè)方程建立在東北天(East-North-Zenith,ENZ)極坐標(biāo)系下,坐標(biāo)原點(diǎn)為天基雷達(dá)平臺(tái)O′,EO′N(xiāo)平面為基準(zhǔn)面,東向軸(E軸)為極軸。雷達(dá)的載體平臺(tái)繞地球做圓周運(yùn)動(dòng),衛(wèi)星星下點(diǎn)為P,軌道高度H,雷達(dá)與目標(biāo)的距離為r。

圖1 天基預(yù)警雷達(dá)幾何模型

2.2 跟蹤系統(tǒng)模型

目標(biāo)的狀態(tài)方程和轉(zhuǎn)換后的觀測(cè)方程建立在地球的地心固連直角坐標(biāo)系中,可以表示為：

(1)

式中,X(k)代表系統(tǒng)的狀態(tài)量,Z(k+1)代表系統(tǒng)轉(zhuǎn)換的觀測(cè)量,F(k)為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,H(k)為量測(cè)矩陣,W(k)、V(k)為零均值高斯白噪聲,協(xié)方差矩陣分別為Q(k)和Rm(k)。

第一步：通過(guò)UCM無(wú)偏轉(zhuǎn)換將量測(cè)值Z(k)從雷達(dá)的東北天極坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化到東北天直角坐標(biāo)系下為Zen(k)

(2)

(3)

第二步：將天基雷達(dá)量測(cè)值Zen(k)從東北天直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化到Zec(k)地心固連直角坐標(biāo)系下。

(4)

式中：

Tcn=

(5)

式中,C=Ea/(1-e2sin2B(k))1/ 2,Ea=6378137.0表示赤道半徑,e代表地球偏心率,e2=0.0066943799013。

第三步：求轉(zhuǎn)換后的測(cè)量誤差協(xié)方差矩陣。

采用觀測(cè)量求解轉(zhuǎn)換后的測(cè)量誤差協(xié)方差會(huì)帶來(lái)較大的誤差[14],文獻(xiàn)[15]提出了一種利用UT變換求解轉(zhuǎn)換后的測(cè)量誤差協(xié)方差矩陣的方法,該方法的思想是通過(guò)對(duì)非線(xiàn)性函數(shù)的概率密度分布進(jìn)行近似,將狀態(tài)量近似為高斯隨機(jī)變量,通過(guò)一系列的確定的樣本來(lái)逼近狀態(tài)的后驗(yàn)概率密度,與傳統(tǒng)的線(xiàn)性化轉(zhuǎn)換方法相比,UT變換的隨機(jī)線(xiàn)性化包含了狀態(tài)空間中的多點(diǎn)信息,具有比傳統(tǒng)的線(xiàn)性化方法更高的精度。但是,一方面,UT變換容易出現(xiàn)“維數(shù)災(zāi)難”,導(dǎo)致計(jì)算量隨著維度的增加呈現(xiàn)幾何指數(shù)增長(zhǎng),引起計(jì)算量問(wèn)題；另一方面,UT變換存在著權(quán)值參數(shù)初始化的問(wèn)題,并且權(quán)值的初始化也會(huì)直接影響最終的結(jié)果。對(duì)此問(wèn)題,本文引入了求容積法的思想,與傳統(tǒng)的UT變換相比,不僅采樣點(diǎn)數(shù)更少,而且也沒(méi)有權(quán)值參數(shù)的初始化問(wèn)題,計(jì)算的過(guò)程更簡(jiǎn)單快速,具體方法步驟如下：

步驟1在東北天極坐標(biāo)系下求解Z(k)的容積點(diǎn)ξi以及其對(duì)應(yīng)的權(quán)值ωi

(6)

(7)

式中,m=2n,n為Z(k)的維數(shù),R代表雷達(dá)東北天極坐標(biāo)系下的測(cè)量協(xié)方差矩陣,其中[1]=[In×n,-In×n],I表示n維單位矩陣,[1]i是其中的第i列向量。

步驟3求解地心固連直角坐標(biāo)系下的測(cè)量值容積點(diǎn)的均值Zm(k)和協(xié)方差Rm(k)。

(8)

2.3 噪聲協(xié)方差矩陣Q和R的自適應(yīng)調(diào)整

在卡爾曼濾波器中,卡爾曼增益K對(duì)濾波結(jié)果的好壞起到了十分重要的作用,當(dāng)目標(biāo)處于非機(jī)動(dòng)狀態(tài)時(shí),較小的卡爾曼增益能夠起到良好的降噪效果,而較大的卡爾曼濾波增益能夠?qū)δ繕?biāo)的機(jī)動(dòng)作出快速反應(yīng)[16]。計(jì)算K的過(guò)程也是卡爾曼濾波算法中至關(guān)重要的一步,其取值受到協(xié)方差矩陣Q和R的影響,特別是Q的取值：較大的Q值會(huì)減小觀測(cè)值對(duì)濾波結(jié)果的影響,較小的Q值會(huì)使濾波結(jié)果過(guò)分依賴(lài)觀測(cè)值,引入模型噪聲,導(dǎo)致濾波發(fā)散。通常來(lái)說(shuō),K的取值與Q正比,與R成反比。

天基預(yù)警雷達(dá)跟蹤的空中目標(biāo)往往存在著機(jī)動(dòng),例如戰(zhàn)斗機(jī)為了規(guī)避雷達(dá)的跟蹤,往往會(huì)進(jìn)行一系列機(jī)動(dòng),這些目標(biāo)機(jī)動(dòng)影響著濾波器的性能,甚至引起濾波發(fā)散,導(dǎo)致濾波的新息急劇發(fā)生變化,因此,可以利用新息序列來(lái)對(duì)目標(biāo)的機(jī)動(dòng)進(jìn)行檢測(cè)。

在卡爾曼濾波器中,狀態(tài)量X和過(guò)程噪聲協(xié)方差P的一步預(yù)測(cè)量可以表示為：

(9)

P(k+1|k)=F(k)P(k|k)FT(k)+Q

(10)

新息序列可以表示為υ(k),新息協(xié)方差矩陣表示為S(k)：

(11)

S(k)=E[υ(k)υT(k)]=HP(k+1|k)HT+R

(12)

那么新息的平方和定義為ε(k)：

ε(k)=υT(k)υ(k)

(13)

其中,新息的平方和ε(k)的數(shù)學(xué)期望等于新息的協(xié)方差矩陣S(k)的對(duì)角線(xiàn)元素和。由于目標(biāo)機(jī)動(dòng)會(huì)導(dǎo)致新息的實(shí)際值大于理論值,定義噪聲協(xié)方差調(diào)整系數(shù)為α

α(k)=ε(k)(trace(S(k))-1

(14)

式中,trace(?)代表求矩陣的對(duì)角線(xiàn)元素之和。

調(diào)整之后的噪聲協(xié)方差矩陣可以表示為

(15)

3 自適應(yīng)轉(zhuǎn)換測(cè)量卡爾曼濾波

天基預(yù)警雷達(dá)的目標(biāo)狀態(tài)方程建立在地球的地心直角坐標(biāo)系下,觀測(cè)方程建立在衛(wèi)星的東北天極坐標(biāo)系下,使天基預(yù)警雷達(dá)的跟蹤問(wèn)題變成了一個(gè)非線(xiàn)性的跟蹤問(wèn)題,轉(zhuǎn)換測(cè)量卡爾曼濾波算法通過(guò)將雷達(dá)的極坐標(biāo)觀測(cè)值轉(zhuǎn)換到直角坐標(biāo)系下,使該問(wèn)題變成了一個(gè)線(xiàn)性估計(jì)的問(wèn)題。但是,一方面,天基預(yù)警雷達(dá)的目標(biāo)與雷達(dá)的距離較大,遠(yuǎn)距離跟蹤的情況下誤差也隨之變大；另一方面,目標(biāo)的機(jī)動(dòng)以及不良的觀測(cè)信息都會(huì)導(dǎo)致濾波結(jié)果變壞,甚至發(fā)散。

本文針對(duì)上述問(wèn)題,首先,采用了無(wú)偏轉(zhuǎn)換的方法,降低了坐標(biāo)轉(zhuǎn)換帶來(lái)的轉(zhuǎn)換誤差；其次,針對(duì)濾波發(fā)散的問(wèn)題,引入一個(gè)噪聲協(xié)方差調(diào)整系數(shù),實(shí)時(shí)調(diào)整噪聲協(xié)方差Q和R的大小,提高了濾波的精度,算法的流程如下：

1)初始化。

首先建立狀態(tài)方程和觀測(cè)方程

(16)

在k時(shí)刻,在利用第一步、第二步,將雷達(dá)東北天極坐標(biāo)系下的觀測(cè)量Z(k)轉(zhuǎn)換到地球大地直角坐標(biāo)系下,得到轉(zhuǎn)換觀測(cè)量Zm(k)和其轉(zhuǎn)換測(cè)量協(xié)方差矩陣Rm(k)。

2)狀態(tài)量和觀測(cè)量的一步預(yù)測(cè)。

(17)

3)生成一步預(yù)測(cè)協(xié)方差矩陣P和新息的協(xié)方差矩陣S。

P(k+1|k)=F(k)P(k|k)FT(k)+Q′(k)

(18)

S(k+1)=E[υ(k+1)υT(k+1)]=

(19)

4)更新卡爾曼濾波增益。

K(k+1)=P(k+1|k)HT(S(k+1))-1

(20)

5)更新?tīng)顟B(tài)量X和協(xié)方差矩陣P。

X(k+1)=X(k+1|k)+K(k+1)υ(k+1)

(21)

P(k+1)=[I-K(k+1)H]P(k+1|k)

(22)

6)更新噪聲協(xié)方差調(diào)整系數(shù)為α。

α(k+1)=ε(k+1)(trace(S(k+1))-1

(23)

算法的主要流程如圖2所示。

圖2 自適應(yīng)轉(zhuǎn)換測(cè)量卡爾曼濾波算法流程

4 仿真分析

為了檢驗(yàn)本文所提算法的有效性,運(yùn)用蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn)來(lái)對(duì)算法的性能進(jìn)行檢驗(yàn),設(shè)置了幾種典型的機(jī)動(dòng)運(yùn)動(dòng)場(chǎng)景。

目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)形式采用戰(zhàn)斗機(jī)的兩種典型機(jī)動(dòng)形式：蛇形機(jī)動(dòng)和俯沖機(jī)動(dòng)[17]。蛇形機(jī)動(dòng)是戰(zhàn)斗機(jī)的一種比較常用的機(jī)動(dòng)方式,它一般發(fā)生在戰(zhàn)斗機(jī)被敵方雷達(dá)跟蹤的情況下,用來(lái)脫離雷達(dá)跟蹤；俯沖機(jī)動(dòng)包含一系列的復(fù)雜的高強(qiáng)度機(jī)動(dòng)方式,通常在戰(zhàn)斗機(jī)進(jìn)行末端攻擊時(shí)采用這種機(jī)動(dòng)方式。文獻(xiàn)[18]指出第三代戰(zhàn)斗機(jī)最大升限一般為15000～20000 m,本文中飛機(jī)最高飛行高度為12000 m。

天基預(yù)警雷達(dá)運(yùn)動(dòng)的圓形軌道高度800 km,軌道傾角37°,衛(wèi)星在軌運(yùn)行速度7446 m/s,飛行方向自西向東,衛(wèi)星初始位置(68.59°,16.78°,800 km),雷達(dá)的東北天極坐標(biāo)系測(cè)量協(xié)方差為R(k)=diag(502,10-8,10-8),采樣周期0.5 s。仿真中目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)模型采用Singer模型,機(jī)動(dòng)頻率的初始值設(shè)定為αs=1/ 20,初始設(shè)定的最大機(jī)動(dòng)加速度為amax=35 m/s2,最大概率為Pmax=0.75,最小概率為P0=0.25。目標(biāo)的初始協(xié)方差矩陣為P=diag(50,1,0.01,50,1,0.01,50,1,0.01)。在給定的初始條件下,分別采用傳統(tǒng)的UT-UCMKF算法、混合坐標(biāo)系下的非線(xiàn)性濾波UKF算法、以及本文給出的算法進(jìn)行蒙特卡羅仿真,次數(shù)為500次,定義仿真中的位置均方根誤差(Root Mean Square Error,RMSE)為：

RMSE=

場(chǎng)景1弱機(jī)動(dòng)條件下算法性能

本文設(shè)定的蛇形機(jī)動(dòng)發(fā)生在水平面內(nèi),目標(biāo)運(yùn)動(dòng)方式主要表現(xiàn)為一系列的加速運(yùn)動(dòng),目標(biāo)在地心固連直角坐標(biāo)系下的初始狀態(tài)：

(1397.89 km,358.97 m/s,0 m/s2,5349.92 km,0 m/s,0 m/s2,3173.86 km,0 m/s,0 m/s2)

仿真的總時(shí)長(zhǎng)為105 s,目標(biāo)在0～25 s內(nèi)做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)；在25～40 s做勻加速機(jī)動(dòng),加速度矢量為(0 m/s2,10 m/s2,0 m/s2)；在41～55 s做勻加速機(jī)動(dòng),加速度矢量為(0 m/s2,-30 m/s2,0 m/s2)；在55～75 s做勻加速機(jī)動(dòng),加速度矢量為(0 m/s2,30 m/s2,0 m/s2)；在75～85 s做勻加速機(jī)動(dòng),加速度矢量為(-20 m/s2,26.2 m/s2,0 m/s2)；在85～105 s做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。仿真結(jié)果如圖3、圖5所示。

從仿真結(jié)果可知,在目標(biāo)的機(jī)動(dòng)性不強(qiáng)的情況下,本文所提出的算法性能明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的算法UT-UCMKF以及非線(xiàn)性濾波算法UKF。圖4中,未調(diào)整噪聲協(xié)方差,濾波開(kāi)始階段,由于初始化誤差,三種算法都出現(xiàn)了比較嚴(yán)重的發(fā)散情況,本文所提算法的誤差與UKF算法的誤差接近,但明顯優(yōu)于UT-UCMKF；圖5中,加入噪聲協(xié)方差調(diào)整系數(shù)之后,本文算法和UT-UCMKF算法的濾波發(fā)散的情況得到了明顯的改善,收斂速度更快,算法的性能明顯更優(yōu)。

圖3 場(chǎng)景1跟蹤濾波軌跡

圖4 未加入噪聲調(diào)整系數(shù)(場(chǎng)景1)

圖5 加入噪聲調(diào)整系數(shù)(場(chǎng)景1)

場(chǎng)景2強(qiáng)機(jī)動(dòng)條件下算法性能

本文設(shè)定的俯沖機(jī)動(dòng)的主要運(yùn)動(dòng)方式為急轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng)和俯沖加速機(jī)動(dòng)。目標(biāo)在地心固連直角坐標(biāo)系下的初始狀態(tài)：

(1433.51 km,-150 m/s,0 m/s2,5349.92 km,0 m/s,0 m/s2,3176.37 km,0 m/s,0 m/s2)

在0～50 s,目標(biāo)做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)；在50～60 s,目標(biāo)做急轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng),轉(zhuǎn)彎角速度ω1=0.12 rad/s；在60～90 s,目標(biāo)做加速運(yùn)動(dòng),加速度矢量為(-10 m/s2,0 m/s2,-10 m/s2)；在90～94 s,目標(biāo)做強(qiáng)轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng),轉(zhuǎn)彎角速度ω2=-0.4 rad/s,在94～120 s,目標(biāo)做減速運(yùn)動(dòng),加速度矢量為(-3.33 m/s2,0 m/s2,-10 m/s2),仿真結(jié)果如圖6、圖8所示。

從仿真結(jié)果可知,在目標(biāo)的機(jī)動(dòng)性較強(qiáng)的情況下,本文所提算法的性能提升雖然沒(méi)有弱機(jī)動(dòng)情況下明顯,但是總體依舊優(yōu)于UT-UCMKF和UKF濾波算法。在勻速運(yùn)動(dòng)和加速運(yùn)動(dòng)階段,本文算法的性能與非線(xiàn)性UKF算法的性能接近,優(yōu)于傳統(tǒng)的UT-UCMKF算法；在目標(biāo)的機(jī)動(dòng)性變強(qiáng)的階段,例如采樣時(shí)刻100～120的急轉(zhuǎn)彎階段、以及采樣時(shí)刻180～188的強(qiáng)轉(zhuǎn)彎階段,本文所提算法的性能不及非線(xiàn)性UKF算法,但是依舊優(yōu)于UT-UCMKF算法。

圖6 場(chǎng)景2跟蹤濾波軌跡

圖7 未加入噪聲調(diào)整系數(shù)(場(chǎng)景2)

圖8 加入噪聲調(diào)整系數(shù)(場(chǎng)景2)

場(chǎng)景3算法的性能對(duì)比

為了定量比較三種算法的綜合性能,在場(chǎng)景1和場(chǎng)景2的基礎(chǔ)上,引入均方根誤差的均值和平均耗時(shí)指標(biāo),在相同的初始化條件下,比較三種算法的性能。仿真所用電腦的CPU為3.6 GHz,內(nèi)存大小為4 GB,軟件為Matlab R2008b,仿真結(jié)果如表1、表2所示,分析可知：

1)算法的誤差更小。由表1、表2可知,本文算法的位置RMSE均值比傳統(tǒng)的轉(zhuǎn)換測(cè)量算法UT-UCMKF減少了31.7%,相比于非線(xiàn)性UKF算法減少了40.3%；本文算法的速度RMSE均值比傳統(tǒng)的轉(zhuǎn)換測(cè)量算法UT-UCMKF減少了17.3%,相比于非線(xiàn)性UKF算法減少了13.9%。

2)算法的運(yùn)行耗時(shí)更少。由于求容積法的采樣點(diǎn)相比于傳統(tǒng)的UT變換更少,計(jì)算方式簡(jiǎn)單,算法運(yùn)行耗時(shí)也更短,由表1、表2可知,本文算法運(yùn)行的平均耗時(shí)比傳統(tǒng)的轉(zhuǎn)換測(cè)量UT-UCMKF算法減少了7.4%,相比于非線(xiàn)性UKF算法減少了42.1%。

表1 仿真結(jié)果性能對(duì)比(場(chǎng)景1)

表2 仿真結(jié)果性能對(duì)比(場(chǎng)景2)

5 結(jié)論

本文從天基預(yù)警雷達(dá)的特殊背景出發(fā),建立了天基預(yù)警雷達(dá)的跟蹤模型,提出了一種改進(jìn)的去偏轉(zhuǎn)換濾波算法,一方面,引入了求容積法的思想,提高了算法的濾波精度和運(yùn)算速度,另一方面,引入噪聲協(xié)方差調(diào)整系數(shù),改善了濾波發(fā)散的情況,并通過(guò)蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn),檢驗(yàn)了算法在弱機(jī)動(dòng)和強(qiáng)機(jī)動(dòng)兩種條件下的性能,驗(yàn)證了所提算法的有效性。

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