聚焦的子空間正交性測試寬帶DOA估計(jì)方法

蔡 進(jìn) 劉春生 陳明建 周青松

(國防科技大學(xué)電子對抗學(xué)院,安徽合肥 230037)

1 引言

對信號源來波方向進(jìn)行估計(jì)是雷達(dá)等探測系統(tǒng)的基本任務(wù)之一。目前,窄帶信號陣列DOA估計(jì)算法已經(jīng)發(fā)展的很成熟,常用的有這三類：基于子空間分解的多信號分類法(Multiple Signal Classification, MUSIC)[1]、旋轉(zhuǎn)子空間不變法(Estimation of Signal Parameters via Rotation Invariance Techniques, ESPRIT)[2-3]和子空間擬合法[4-5]。隨著寬帶信號的應(yīng)用范圍更加廣泛,對寬帶信號的DOA估計(jì)成為這個領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)內(nèi)容[6]。

目前對寬帶信號進(jìn)行DOA估計(jì)主要方法是：首先將時域模型通過DFT轉(zhuǎn)化為頻域模型,然后在頻域上采用窄帶信號處理的方法。針對寬帶信號的DOA估計(jì)信號子空間算法(Signal Subspace Method,SSM)主要分為兩類：一類是非相干子空間法(Incoherent Signal Subspace Method,ISSM)[7]。ISSM是在寬帶信號中的多個頻點(diǎn)上使用MUSIC等算法,然后對各個頻點(diǎn)的DOA結(jié)果做平均處理,獲得最終DOA估計(jì)結(jié)果。因?yàn)楦鱾€頻率點(diǎn)的能量分布不均勻,ISSM 算法在某些頻率點(diǎn)的估計(jì)誤差較大,因此該算法要求信噪比更高并且樣本數(shù)足夠；另一類是相干子空間處理法(Coherent Signal Subspace Method, CSSM)[8]。該算法利用了聚焦的思想,能提高低信噪比條件下的估計(jì)精度,并且能夠處理寬帶相干信源。該方法缺點(diǎn)是在構(gòu)造聚焦矩陣時,首先得對角度進(jìn)行合理預(yù)估計(jì)并且要選擇合適的聚焦頻點(diǎn),不合理的角度預(yù)估計(jì)會帶來較大的DOA估計(jì)誤差[9]。針對該問題,Yoon等人提出了一種投影子空間正交性測試(Test of Orthogonality of Projected Subspaces, TOPS)算法[10],該算法不用構(gòu)造聚焦矩陣和角度預(yù)估計(jì),估計(jì)精度介于ISSM法與CSSM法之間。但該算法的性能依賴參考頻點(diǎn)的選擇,并且十分容易產(chǎn)生偽峰；文獻(xiàn)[11]提出了一種改進(jìn)的ETOPS算法,該算法從信號帶寬內(nèi)的所有頻率中選擇幾個頻率點(diǎn)形成參考頻率集,在每個頻率上采用TOPS算法,雖然克服了對參考頻點(diǎn)的依賴,但同時帶來了計(jì)算的復(fù)雜度,并且不能消除偽峰。文獻(xiàn)[12]提出了TOFS算法,利用各個頻點(diǎn)的陣列方向矢量與噪聲子空間的正交性完成DOA估計(jì),算法不依賴參考頻點(diǎn),且能消除偽峰,其本質(zhì)上是一種基于ISSM算法擴(kuò)展的算法,因此,在中等信噪比時算法性能不太理想。

為改進(jìn)傳統(tǒng)TOPS算法存在的不足,本文提出一種聚焦的FTOPS算法。該算法是先利用RCM(Reduced Covariance Matrix)[13]法消除了噪聲,然后將各個頻點(diǎn)的Signal Subspace聚焦到任意參考頻點(diǎn)的Signal Subspace,最后利用該參考頻點(diǎn)的Signal Subspace與陣列方向矢量的正交投影矩陣之間的正交性完成DOA估計(jì)。仿真驗(yàn)證了該方法不依賴參考頻點(diǎn)的選擇,有效地消除了偽峰,角度分辨力和檢測精度更高。

2 寬帶信號模型

(1)

式中,xm(t)為第m個陣元上的接收信號,si(t)為第i個信號,nm(t)為第m個陣元上的復(fù)圓高斯空時白噪聲。

將接收數(shù)據(jù)分成L段,對每段數(shù)據(jù)做離散時間傅里葉變換,并將寬帶信號頻域分成J個子帶,得到頻率fj,j=1,2,…,J處的頻域數(shù)學(xué)模型：

(2)

將上式擴(kuò)展成M個陣元,得到矩陣形式的頻域陣列信號接收模型：

X(fj)=A(fj,θ)S(fj)+N(fj)j=1,2,…,J

(3)

式中,X(fj)=[x1(fj),x2(fj),…,xM(fj)]T為M×1的陣元接收信號矢量,A(fj,θ)=[a(fj,θ1),a(fj,θ2),…,a(fj,θP)]為M×P的陣列流型矩陣,入射信號矢量為s(fj)=[s1(fj),s2(fj),…,sP(fj)]T,N(fj)表示陣列噪聲矢量。a(fj,θi)表示信號的方向矢量,可表示為：

a(fj,θi)=[1,exp(jφji),exp(j2φji),…,

exp(j(M-1)φji)]T

(4)

假設(shè)信號和噪聲之間的相關(guān)系數(shù)為零,則可以列出頻域陣列接收信號協(xié)方差矩陣為：

Rx(fj)=E{X(fj)XH(fj)}=

A(fj,θ)Rs(fj)AH(fj,θ)+Q(fj)

(5)

(6)

(7)

(8)

3 基于聚焦TOPS算法寬帶信號DOA估計(jì)

3.1 傳統(tǒng)的TOPS算法

TOPS算法的核心思想是將各個頻點(diǎn)的噪聲子空間(Noise Subspace)投影到由參考頻點(diǎn)Signal Subspace生成的對應(yīng)的各個頻點(diǎn)的Signal Subspace上。這些投影形成一個構(gòu)造矩陣,對構(gòu)造矩陣進(jìn)行角度搜索,當(dāng)搜索角度等于DOA時構(gòu)造矩陣將缺秩,利用該特性來估計(jì)DOA。

引理1給定ULA的方向矢量a(fp,θp)和對角變換矩陣φ(fq,θq),兩者的乘積是一個新的方向矢量a(fk,θk),即：

a(fk,θk)=φ(fq,θq)a(fp,θp)

(9)

其中,fk=fp+fq,sinθk=(fp/fk)sinθp+(fq/fk)sinθq,φ(fq,θq)是M×M維對角陣,第m個對角元素為[φ(fq,θq)]m×m=exp[-j2πfq(m-1)dsinθq/c]。當(dāng)θq=θp時,有θk=θp。因此,方向矢量在不改變方向的條件下,頻率可由fp變成fk。

引理2假定Δfj=fj-fr,文獻(xiàn)[10]證明了下列兩個矩陣的列空間是相同的,即：

(10)

p=1,…,P

(11)

利用引理1和引理2可得出如下結(jié)論：

U(fj,φ)=φ(Δfj,φ)Us(fr)j=1,…,J且j≠r

(12)

其中,Δfj=fj-fr,φ是可能到達(dá)角。定義P×(J-1)(M-P)矩陣D(φ)為

(13)

文獻(xiàn)[10]已經(jīng)證明：當(dāng)假定角度φ=θp,p=1,…,P時,矩陣D(φ)將缺秩；反之,當(dāng)假定角度φ≠θp,p=1,…,P時,矩陣D(φ)將行滿秩。對D(φ)做奇異值分解,找到最小奇異值σmin(φ),通過對(14)進(jìn)行譜峰搜索可得到DOA估計(jì)值：

(14)

(15)

(16)

用U′(fj,φ)代替U(fj,φ)構(gòu)造新的D(φ)矩陣,利用(14)進(jìn)行譜峰搜索估計(jì)得到DOA。

3.2 基于聚焦的FTOPS算法

分析TOPS算法可知,因?yàn)槟承﹨⒖碱l點(diǎn)的Signal Subspace可能存在較大的誤差,則經(jīng)過對角變換后,其誤差會擴(kuò)散到各個頻點(diǎn)的信號子空間中去,因此算法十分依賴參考頻點(diǎn)的選擇。Signal Subspace和Noise Subspace必然都存在誤差,后面會證明兩者誤差的相互作用才是產(chǎn)生偽峰的根本原因,尤其在信噪比較低或者快拍數(shù)不夠的情況下,兩者的誤差會更大,因此偽峰會更加明顯。

針對TOPS算法存在的問題,本文提出聚焦的FTOPS算法,該方法首先利用RCM法消除了噪聲,然后通過變換矩陣將各個頻點(diǎn)的Signal Subspace聚焦到參考頻點(diǎn)的Signal Subspace,最后利用參考頻點(diǎn)的Signal Subspace與陣列方向矢量的正交投影矩陣之間的正交性完成DOA估計(jì)。

1. RCM法去噪

(17)

其中,D{}表示返回一個對角矩陣,它包含了被作用矩陣對象的對角線上的元素,由(17)可知：

APAH-D{APAH}

(18)

可見通過矩陣對消作用,噪聲協(xié)方差矩陣Q被消除了,對其進(jìn)行特征分解：

(19)

2. 剔除偽峰

Uj(fr,φ)=φ(Δfj,φ)Us(fj)j=1,…,J

(20)

其中,fr為任意參考頻點(diǎn),Δfj=fr-fj。通過(20),可將各個頻率點(diǎn)的Signal SubspaceUs(fj)變換到頻點(diǎn)fr的矩陣Uj(fr,φ)上,并且不改變其信號的DOA信息。

(21)

(22)

可以證明,當(dāng)假定角度φ=θp,p=1,…,P時,矩陣Dj(φ)將行缺秩；反之,當(dāng)假定角度φ≠θp,p=1,…,P時,矩陣Dj(φ)將行滿秩。證明如下：

(23)

若φ=θp,p=1,…,P,則：

故而,證明了Dj(φ)行缺秩。

將各個頻點(diǎn)構(gòu)造矩陣Dj(φ)求和得到聚焦矩陣D(φ)：

(24)

對D(φ)做奇異值分解,找到最小奇異值σmin(φ),通過對(24)進(jìn)行譜峰搜索可得到DOA估計(jì)值：

(25)

3. 剔除偽峰的證明

(1)TOPS算法存在偽峰的原因

(26)

(27)

由于ΔUs(fj)必然落在Noise Subspace內(nèi),而ΔUn(fj)必然落在Signal Subspace內(nèi),故而存在(M-P)×P矩陣B和P×(M-P)矩陣C使得：

ΔUs(fj)=Un(fj)B

(28)

ΔUn(fj)=Us(fj)C

(29)

現(xiàn)在試著在Noise Subspace中找到一組向量滿足式(4)的形式,假設(shè)存在該向量為：

a(fj,θk)=[1,exp(jφjk),exp(j2φjk),…,

exp(j(M-1)φjk)]T

(30)

aT(fj,θk)a(fj,θi)=0

(31)

(32)

將這樣的向量a(fj,θk)組成矩陣A⊥(fj,θ′),則近似有A⊥(fj,θ)∈span{Un(fr)}。由引理2可知：

j=1,…,J

(33)

k=1,2,…

(34)

故而,利用引理1和引理2可知,存在M×P矩陣U⊥(fj,φ)

U⊥(fj,φ)=φ(Δfj,φ)ΔUs(fr)j=1,…,J且j≠r

(35)

其中,Δfj=fj-fr,φ是可能到達(dá)角。同樣定義P×(J-1)(M-P)矩陣D′(φ)為

D′(φ)=[U⊥(f1,φ)HΔUn(f1)|U⊥(f2,φ)HΔUn(f2)|…

|U⊥(fJ,φ)HΔUn(fJ)]

(36)

當(dāng)φ=θk,p=1,2,…時,D′(φ)將缺秩。這也就證明了當(dāng)搜索角度φ不等于波達(dá)角時,也會存在譜峰。

(2)FTOPS算法剔除偽峰的原因

4. 算法復(fù)雜度分析

文獻(xiàn)[14]證明了對一個M×M維的矩陣做SVD分解,算法復(fù)雜度大約在O(M3)。因此傳統(tǒng)的TOPS算法在每個搜索角度對維度P×(J-1)(M-P)構(gòu)造矩陣D(φ)進(jìn)行奇異值分解,每個搜索角度下的SVD分解的算法復(fù)雜度略大于O(P3)(因?yàn)?J-1)(M-P)>P,包含更多的矩陣乘法運(yùn)算)。本文提出的FTOPS算法是對P×M維的聚焦矩陣D(φ)做SVD分解,故而算法復(fù)雜度的量級依然是O(P3),但由于M<(J-1)(M-P),故而算法復(fù)雜度要小于傳統(tǒng)的TOPS算法。而文獻(xiàn)[11]提出的ETOPS算法,需要在多個頻點(diǎn)上采用TOPS算法,故而算法復(fù)雜度為KO(P3)。綜上所述,三種算法復(fù)雜度滿足以下關(guān)系：ETOPS>TOPS>FTOPS。

綜上所述,本文算法步驟簡述如下：

(1)對陣元接收到的寬帶信號總的快拍數(shù)目進(jìn)行分段,對每段快拍數(shù)進(jìn)行離散傅里葉變換；

(2)求出各個頻點(diǎn)處的協(xié)方差矩陣Rx(fj)；

(5)對聚焦矩陣D(φ)進(jìn)行奇異值分解,利用(25)進(jìn)行譜峰搜索,得到P個極大值點(diǎn),對應(yīng)的即為信號來波方向。

4 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

為檢驗(yàn)本文提出的FTOPS算法的有效性,對本文算法和傳統(tǒng)TOPS算法以及文獻(xiàn)[11]提出的ETOPS算法、文獻(xiàn)[12]提出的TOFS算法進(jìn)行仿真對比?；痉抡鏃l件：陣元數(shù)為10的均勻線陣列,陣元間距為中心頻率對應(yīng)的半波長,假設(shè)空間有兩個遠(yuǎn)場獨(dú)立寬帶信號源,信號方向分別為(30°,33°),信號中心頻率為300 MHz,信號帶寬為B=100 MHz,采樣頻率為fs=700 MHz,陣列輸出信號的DFT的點(diǎn)數(shù)為256,每個頻點(diǎn)快拍數(shù)為132,每個條件下進(jìn)行1000次蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn)。

由仿真1可知：(1)傳統(tǒng)TOPS算法以及ETOPS算法無論在低信噪比還是中等信噪比都會出現(xiàn)多個偽峰,在低信噪比時,估計(jì)分辨力較差；(2)ETOPS算法性能要優(yōu)于在該參考頻點(diǎn)下的傳統(tǒng)TOPS算法；(3)本文提出的FTOPS算法和TOFS算法都能夠有效剔除偽峰,但是本文算法譜峰更尖銳,在低信噪比條件下分辨力更高。

圖1 不同信噪比時的空間譜

圖2 不同信噪比算法的均方根誤差

圖3 不同角度間隔算法的成功估計(jì)概率

由仿真2可知：(1)四種方法的均方誤差隨著信噪比的提高而減少；(2)ETOPS算法的均方誤差要小于傳統(tǒng)TOPS算法；(3)TOFS算法均方誤差曲線最高,尤其在中等信噪比和低信噪比下表現(xiàn)更差；(4)在整個信噪比區(qū)間上,FTOPS算法的均方誤差都小于另外三種算法。

由仿真3可知,在5 dB的仿真條件下,四種方法的成功估計(jì)概率,隨著角度間隔的增大而提高；當(dāng)角度間隔小于等于1°時,四種算法都無法分辨開信號；在角度間隔1.5°時,傳統(tǒng)TOPS算法、ETOPS算法以及TOFS算法幾乎無法正確估計(jì),而FTOPS算法成功估計(jì)的概率超過了0.5；當(dāng)角度間隔為2°時,FTOPS算法成功估計(jì)概率為1,而傳統(tǒng)ETOPS算法僅有0.4。說明本文算法在低信噪比下具有更高的分辨力。

仿真分析,因?yàn)閭鹘y(tǒng)TOPS算法采用由參考頻點(diǎn)生成的Signal Subspace與各個頻點(diǎn)的Noise Subspace的正交性完成DOA估計(jì),而參考頻點(diǎn)的Signal Subspace的誤差會擴(kuò)散到各個頻點(diǎn)的Signal Subspace中,故而參考頻點(diǎn)的選擇非常重要,其次,Signal Subspace的誤差和Noise Subspace的誤差的相互作用會產(chǎn)生偽峰；ETOPS算法通過選取一個頻率集,在這個頻率集上采用TOPS算法,因此能減少算法對參考頻點(diǎn)的依賴,性能上要優(yōu)于TOPS算法；而TOFS算法雖然能夠克服對參考頻點(diǎn)的依賴,且消除了偽峰,但本質(zhì)上還是ISSM算法的擴(kuò)展,因此在中等信噪比和低信噪比下表現(xiàn)不佳。

本文提出的FTOPS算法是利用轉(zhuǎn)換矩陣把各個頻點(diǎn)的Signal Subspace聚焦到任意參考頻點(diǎn)的Signal Subspace,最后利用該參考頻點(diǎn)的Signal Subspace與陣列方向矢量的正交投影矩陣之間的正交性完成DOA估計(jì)。由于利用到了各個頻點(diǎn)的Signal Subspace信息,故而算法不依賴參考頻點(diǎn)的選擇；其次用陣列方向矢量的正交投影矩陣代替Noise Subspace,沒有了Noise Subspace的誤差,故而能剔除偽峰。同時,利用RCM法進(jìn)行去噪預(yù)處理,提高了在低信噪比條件下算法的估計(jì)精度。

5 結(jié)論

本文采用聚焦的思想,提出了基于聚焦的FTOPS算法,將各個頻點(diǎn)的Signal Subspace聚焦到任意參考頻點(diǎn)的Signal Subspace,最后利用該參考頻點(diǎn)的Signal Subspace與陣列方向矢量的正交投影矩陣之間的正交性完成DOA估計(jì),并利用RCM法去噪,提高了在低信噪比條件下的估計(jì)精度,解決了TOPS算法性能依賴參考頻點(diǎn)選擇、存在偽峰等問題。同時理論上推導(dǎo)證明了TOPS算法存在偽峰和FTOPS算法能剔除偽峰的原因。仿真證明了,在低信噪比條件下,相對TOPS算法,本文算法參數(shù)估計(jì)精度和角度分辨率更高。

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