塊稀疏貝葉斯模型下的跳頻信號時頻分析

李 雷 郭 英，2 張坤峰 高維廷 于欣永 李紅光 陳 娟

(1. 空軍工程大學(xué)信息與導(dǎo)航學(xué)院，陜西西安 710077； 2. 通信網(wǎng)信息傳輸與分發(fā)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北石家莊 050081；3. 海軍通信總站，北京 102401)

1 引言

跳頻通信是一種抗干擾性強(qiáng)且具有低截獲概率的通信技術(shù)，其在軍事和民用通信中有著廣泛的應(yīng)用。對跳頻信號進(jìn)行參數(shù)估計(jì)是一個十分重要的課題，比如在民用通信中，對跳頻信號進(jìn)行參數(shù)估計(jì)可以估計(jì)出特定頻段用戶數(shù)，以避免頻率碰撞影響通信的質(zhì)量；在軍事通信中，對跳頻信號進(jìn)行參數(shù)估計(jì)可以對敵方的跳頻電臺實(shí)施干擾從而破壞敵方的通信[1- 4]。在眾多的跳頻信號參數(shù)估計(jì)的方法中，時頻分析是一種直觀有效的工具，近年來受到了廣泛的關(guān)注。目前已有的時頻分析方法包括線性和非線性變換。線性時頻分析方法主要是短時傅里葉變換(STFT, short time Fourier transform)、Gabor變換、小波以及s變換[5]。線性時頻分析方法由于不確定原則，其時間分辨率和頻率分辨率相互制約。非線性時頻分析主要是Wigner-Ville分布、平滑偽Wigner-Ville分布[6]。Wigner-Ville分布具有很好的時頻分辨率，但是存在交叉項(xiàng)，平滑偽Wigner-Ville分布不存在交叉項(xiàng)，但是由于在時域和頻域加窗使得時頻分辨率降低。所以，現(xiàn)有的時頻分析方法在分析跳頻信號時存在諸多的局限。

文獻(xiàn)[7]利用近似l0算法對跳頻信號時頻圖進(jìn)行重構(gòu)，但是算法的收斂性不高。文獻(xiàn)[8]利用稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)算法對信號進(jìn)行稀疏重構(gòu)，但是只針對于單測量向量模型(SMV, single measurement vector)。本文利用文獻(xiàn)[7,9]中對接收信號的處理得到的觀測矩陣類似于多測量向量模型(MMV, multiple measurement vector)，利用塊貝葉斯學(xué)習(xí)(bSBL, block sparse Bayesian learning)框架，將MMV轉(zhuǎn)換為SMV，并利用觀測矩陣的每一列在時間上的相關(guān)性提出TBSBL算法，利用該算法可以得到精度較高的跳頻信號時頻圖，但是由于算法計(jì)算過程在一個高維的參數(shù)空間，計(jì)算量巨大[10]，因此根據(jù)文獻(xiàn)[11]的思想對TBSBL算法進(jìn)行改進(jìn)利用近似算法將高維空間變換到原始空間進(jìn)行處理，改進(jìn)后的TBSBL算法性能基本保持不變但是算法的收斂速度卻大大的增加。

2 跳頻信號時頻稀疏模型

2.1 跳頻信號模型

根據(jù)跳頻信號的產(chǎn)生原理，在單天線接收的情況下，觀測時間T內(nèi)M個跳頻信號同時進(jìn)入接收機(jī)的接收信號表達(dá)式為：

(1)

其中，sm(t)表示的是接收機(jī)接收到的第m個跳頻信號，ν(t)表示的是均值為0，方差為σ2的加性高斯白噪聲，y(t)表示的是接收機(jī)接收到的M個跳頻信號與噪聲的疊加。其中

(2)

其中t′=t-(k-1)Tm-αTm，am是單個跳頻信號sm(t)的幅度，K表示的是在觀測時間T內(nèi)的跳數(shù)，第k跳所對應(yīng)的頻率為fmk，第一跳的持續(xù)時長為αTm，φmk是第k跳的初相，rect表示的是單位矩形脈沖。對式(1)進(jìn)行離散采樣得到：

(3)

n∈{0,1,...,N-1},N為時間T內(nèi)的采樣點(diǎn)數(shù)，wmk=2πfmkTs，式(3)的矢量形式為：

(4)

2.2 跳頻信號時頻分析的稀疏模型

根據(jù)時頻處理機(jī)制，將接收到的信號y分割成有重疊的M段，按照時間精度的要求，每段包含P個數(shù)據(jù)，那么每段信號的表達(dá)式為[7]：

(5)

(6)

假設(shè)頻率集ω=[f1:Δf:fN]中包含跳頻信號的所有頻率，Δf為頻率集中頻率間隔，Δf越小那么稀疏后的時頻圖頻率分辨率就越高，N為頻率集中頻率的個數(shù)，那么可以構(gòu)造傅里葉正交基矩陣Φ。

(7)

其中：φ(fi)=[ej2πfi/fs,...,ej2πfiP/fs]T，P

Y=ΦX+V

(8)

由式(8)可以看出，時頻圖的稀疏模型屬于MMV模型,文獻(xiàn)[12-14]證明對于該模型在求解的過程中其收斂速度明顯的快于SMV模型。

3 塊稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)(bSBL)框架下TBSBL算法

首先，假設(shè)所有的Xi·,(?i)是相互獨(dú)立的，而且X的每一行密度均服從高斯分布，則：

p(Xi·;γi,Bi)～N(0,γiBi),i=1,...,M

(9)

y=Dx+v

(10)

假設(shè)v中的元素獨(dú)立且服從高斯分布，那么p(vi)～N(0,λ)，vi表示v中的第i個元素，λ是方差，那么對于該模型滿足：

p(y|x;λ)～N(Dx,λI)

(11)

x的先驗(yàn)概率為：

(12)

其中：

(13)

由貝葉斯定理可以得到x的后驗(yàn)概率：

(14)

均值和方差分別為：

(15)

(16)

因此，一旦給定所有的超參數(shù)λ,γi,Bi,?i，x的最大后驗(yàn)估計(jì)即為：

x*ux=0DT(λI+D0DT)-1y

(17)

3.1 超參數(shù)的估計(jì)

超參數(shù)的估計(jì)方法一般采用Evidence最大化或者Type-II最大似然的方法。通過求接收數(shù)據(jù)y的邊緣概率密度，進(jìn)行最大似然估計(jì)，從而估計(jì)出超參數(shù)。注意，文獻(xiàn)[15]證明了如果X的每一行都對應(yīng)一個矩陣Bi，那么將導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果的過擬合，同時證明了用一個正定矩陣B來替代Bi，其全局最下值并不受到影響，所以本文要估計(jì)的超參數(shù)為Θ=[γ1,...,γM,B,λ]。

為了計(jì)算出超參數(shù)，利用Evidence最大化算法(EM)最大化邊緣似然函數(shù)p(y;Θ)其等同于最小化lgp(y;Θ)，可得到有效的代價函數(shù)：

(18)

Q(Θ)=Ex|y[lgp(x,y;Θ)]=Ex|y[lgp(y|x;λ)]+

Ex|y[lgp(x;γ1,...,γM,B)]

(19)

可以看出在式(19)中第一項(xiàng)與γ和B均不相關(guān)，所以為了估計(jì)γ和B，式(19)可以簡化為Q(γ,B)=Ex|y[lgp(x;γ1,...,γM,B)]，其中：

(20)

其中Γdiag(γ1,...,γM)，那么：

(21)

(22)

可以推導(dǎo)出：

(23)

同理對B求偏導(dǎo)推出：

(24)

為了得出超參數(shù)λ，對式(19)中的第一項(xiàng)進(jìn)行分析即：

(25)

(26)

那么式(16)、(17)、(23)、(24)、(26)本文稱之為TBSBL算法。

4 對TBSBL算法改進(jìn)

上述算法具有很好的性能，但是算法的收斂速度不快，因?yàn)樵撍惴ㄔ谇蠼獬瑓?shù)時其過程屬于高維參數(shù)求解，而不是原始空間中。比如，在bSBL框架下字典矩陣的維數(shù)為NL×ML,但是在原始的MMV模型中，字典矩陣的大小為N×L,其算法的復(fù)雜度可見一般。因此，本文利用一個近似的算法將TBSBL算法轉(zhuǎn)換到原始空間進(jìn)行計(jì)算。

文獻(xiàn)[11]介紹了MSBL算法，該算法在估計(jì)超參數(shù)時并不會出現(xiàn)TBSBL算法的缺點(diǎn)，于是根據(jù)TBSBL算法的特點(diǎn)并結(jié)合MSBL算法中的思想引入近似替換的方法將高維矩陣變換到原始的矩陣中進(jìn)行計(jì)算，其具體過程如下：

首先采用以下近似[10]：

(λIN+ΦΓΦT)-1?B-1

(27)

利用式(27)來簡化γi的迭代(式(23))：

(28)

那么利用式(27)進(jìn)行簡化可得：

ux≈(Γ?B)(ΦT?I)[(λI+ΦΓΦT)-1?B-1]

vec(YT)=[ΓΦT(λIN+ΦΓΦT)-1]?I·vec(YT)=

vec(XT)

(29)

所以式(23)經(jīng)過簡化可以得到：

(30)

同樣利用式(27)對超參數(shù)B進(jìn)行估計(jì)，具體的過程如下：

(Φ?I)(Γ?B)≈Γ?B-[(ΓΦT)?B]·

[(λIN+ΦΓΦT)-1?B-1]·[(ΦΓ)?B]=

(Γ-ΓΦT(λIN+ΦΓΦT)-1ΦΓ)?B

(31)

(32)

從上面的分析，本文直接構(gòu)建一個參數(shù)矩陣B的計(jì)算方法：

(33)

(34)

(35)

類似的對λ進(jìn)行近似處理得到：

(36)

下面對算法的步驟進(jìn)行總結(jié)：

(1)對觀測信號y進(jìn)行變換，構(gòu)造跳頻時頻圖的稀疏模型；

(2)設(shè)置貝葉斯學(xué)習(xí)過程中的超參數(shù)的初始值B，γi，λ，以及迭代次數(shù)的最大值；

(4)利用式(30)、(34)、(35)、(36)對超參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

5 仿真結(jié)果以及性能分析

圖1 信噪比為-5 dB時單跳信號的時頻圖

對于多跳系統(tǒng)而言，在上述仿真的基礎(chǔ)上再加一個跳頻信號，其頻變頻率分別為[8 MHz,5 MHz,8 MHz,5 MHz]，那么同步多跳頻信號在SNR=0 dB時的時頻圖為圖2。若第二個跳頻信號起跳時刻相比于第一個跳頻晚0.5個跳變周期，那么該多跳系統(tǒng)屬于異步多跳頻信號，其在SNR=0 dB時的時頻圖為圖3。

圖2 信噪比為0 dB時同步多跳信號時頻圖

圖3 信噪比為0 dB時異步多跳信號時頻圖

從上面的仿真中可以看出，本文方法得到的跳頻信號的時頻圖，無論是時間分辨率還是頻率分辨率都十分清晰，也不會產(chǎn)生交叉項(xiàng)，從時頻圖上就可以準(zhǔn)確的估計(jì)跳頻信號的頻率和跳時刻。同時本文算法還適用于多跳頻系統(tǒng)。

圖4 不同信噪比條件下算法性能比較

6 結(jié)論

本文主要利用塊稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)算法進(jìn)行跳頻信號的時頻分析，由于塊稀疏使得字典矩陣維數(shù)擴(kuò)大，在進(jìn)行超參數(shù)估計(jì)時運(yùn)算量增大，因此利用近似替換的方法將高維參數(shù)空間轉(zhuǎn)換到原始參數(shù)空間計(jì)算，降低運(yùn)算量。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文的方法不僅能夠克服交叉項(xiàng)的干擾同時在低信噪比下能夠得到高精度的時頻圖，而且算法也適用于多跳頻信號的時頻分析。

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