利用功率譜最大最小平均比的頻譜感知算法

毛翊君 趙知?jiǎng)?呂 曦

(杭州電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院，浙江杭州 310018)

1 引言

認(rèn)知無(wú)線電(Cognitive Radio, CR)[1]是一種高效頻譜管理技術(shù)，頻譜感知[2]是其關(guān)鍵技術(shù)之一。匹配濾波法、能量法[3]、循環(huán)平穩(wěn)特征法和基于隨機(jī)矩陣?yán)碚?Random Matrix Theory, RMT)的頻譜感知算法[4 -5]等是常用窄帶頻譜感知算法。但這些算法各有千秋，前兩種算法需已知主用戶先驗(yàn)信息或噪聲信息，后兩種算法復(fù)雜度高，門(mén)限難以準(zhǔn)確確定。近年來(lái)，基于功率譜的頻譜感知算法[6-11]得到了廣泛關(guān)注，它不需要特征值分解，計(jì)算復(fù)雜度低，且能準(zhǔn)確得到算法判決門(mén)限。文獻(xiàn)[7]利用功率譜最大最小值的比作為檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量，最小值直接取零頻處的功率譜值，由于噪聲影響，最小值的隨機(jī)性降低了算法性能；對(duì)此，文獻(xiàn)[8-10]采用功率譜分段對(duì)消的思想構(gòu)造檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量，文獻(xiàn)[11]分析了文獻(xiàn)[10]算法檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量的隨機(jī)變量之間存在相關(guān)性時(shí)的檢測(cè)性能，指出文獻(xiàn)[10]算法存在的不足之處，文獻(xiàn)[11]利用功率譜中間一段的平均值代替最小值，提出了基于功率譜的平均比值算法(Power Spectral Ratio Averaging，PSRA)，PSRA算法性能優(yōu)于文獻(xiàn)[7-10] 算法。但實(shí)際接收系統(tǒng)中得到的基帶信號(hào)往往存在載波頻偏[12-13]，頻偏將影響上述算法性能，針對(duì)此問(wèn)題，本文提出一種利用功率譜最大最小平均比的算法(Power Spectral Maximum Minimum Averaging Ratio，PSMMAR)，將功率譜的最大值的平均值與最小值的平均值之比作為檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量，減小頻偏和噪聲不確定性對(duì)算法性能的影響。

2 PSMMAR算法

2.1 檢測(cè)原理

CR中，次用戶(Secondary User, SU)感知主用戶(Primary User, PU)存在與否問(wèn)題可表示成如下二元假設(shè)檢驗(yàn)：

(1)

由于x(n)和ν(n)相互獨(dú)立，則式(1)的二元假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ涂捎霉β首V表示如下：

(2)

其中，Py(w)、Px(w)和Pν(w)分別表示y(n)、x(n)和ν(n)的功率譜。分別對(duì)接收信號(hào)y(n)、有用信號(hào)x(n)和噪聲ν(n)進(jìn)行傅里葉變換，可得：

(3a)

(3b)

(3c)

y=[y(0),y(1),...,y(N-1)]T,x=[x(0),x(1),...,x(N-1)]T和ν=[ν(0),ν(1),…,ν(N-1)]T分別表示y(n)、x(n)和ν(n)的N個(gè)采樣樣本的向量形式，w=[1,e-jw,…,e-j(N-1)w]H,(·)T,(·)H表示向量的轉(zhuǎn)置和共軛轉(zhuǎn)置。通過(guò)周期圖法可得功率譜估計(jì)為：

(4a)

(4b)

(4c)

(5)

則有Q(w)|max=λ1，Q(w)|min=λN。又因?yàn)閣Hw=N，則可得：

λN≤Py(w)≤λ1

(6)

在H0假設(shè)下，λ1=λ2=…=λN，所以Py(w)|max=Py(w)|min；在H1假設(shè)下，λ1≥λ2≥…≥λN，則Py(w)|max=λ1>Py(w)|min=λN。根據(jù)功率譜在H0和H1假設(shè)下的差異，可得頻譜感知的判決統(tǒng)計(jì)量T為：

(7)

則二元假設(shè)檢驗(yàn)可表示為：

(8)

2.2 檢測(cè)方法與檢測(cè)門(mén)限

實(shí)際應(yīng)用中，為了降低噪聲對(duì)功率譜估計(jì)的影響，應(yīng)對(duì)功率譜進(jìn)行平滑處理。將接收信號(hào)y(n)的N個(gè)樣本分成連續(xù)的L幀，每幀長(zhǎng)度為M點(diǎn)，即N=L×M，記第i幀信號(hào)為：

yi(n)(i=0,1,…,L-1,n=0,1,…,M-1)

(9)

則平滑處理后的信號(hào)y(n)的離散功率譜估計(jì)為：

(10)

由此可知，當(dāng)存在載波頻偏時(shí)，r(n)的功率譜的最大值偏離了零頻率。因此由Py(0)作為Py(w)最大值構(gòu)成的檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行判決，將降低檢測(cè)性能。又由于載波頻偏未知和噪聲影響，信號(hào)功率譜的最大值和最小值很難根據(jù)單個(gè)頻點(diǎn)來(lái)準(zhǔn)確估計(jì)。因此，利用接收信號(hào)零頻率附近一段功率譜的平均值來(lái)估計(jì)功率譜的最大值，可以有效降低載波頻偏對(duì)頻譜感知性能的影響。同時(shí)，利用功率譜中段附近一段的平均值來(lái)估計(jì)功率譜的最小值，降低噪聲對(duì)頻譜感知性能的影響。因此本文利用式(11)和(12)分別估計(jì)功率譜最大值和最小值：

(11)

(12)

其中，K0表示估計(jì)功率譜最大值時(shí)所選取的功率譜長(zhǎng)度；K1表示估計(jì)功率譜最小值時(shí)所選取的長(zhǎng)度，K2表示功率譜的中點(diǎn)。頻譜感知的判決統(tǒng)計(jì)量T修改為：

(13)

(14)

下面推導(dǎo)門(mén)限γ的計(jì)算。將Yi(k)表示成如式(15)所示形式：

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

由于不同幀數(shù)據(jù)在相同頻點(diǎn)上的Pi(k)相互獨(dú)立，根據(jù)中心極限定理可得，當(dāng)L足夠大時(shí)，由式(10)可得，Py(k)近似服從如下所示高斯分布：

(23)

(24)

其中，erf(·)為誤差函數(shù)。給定虛警概率Pf，則可得檢測(cè)門(mén)限為:

(25)

其中，c表示常數(shù)[erf-1(2Pf-1)]2。從式(25)中可以看出，檢測(cè)門(mén)限γ與噪聲ν(n)的方差無(wú)關(guān)，因此理論上本文算法對(duì)噪聲不確定性是魯棒的。

2.3 算法流程

綜上可得本文提出的利用功率譜最大最小平均比的頻譜感知算法(PSMMAR)如下：

(1)根據(jù)式(25)計(jì)算門(mén)限值γ。

(2)利用式(9)和式(10)估計(jì)接收信號(hào)y(n)的功率譜密度Py(k)。

(4)根據(jù)式(13)計(jì)算檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量T。

(5)將T與γ比較，若T大于γ，則判定為H1成立；否則，判定為H0。

2.4 算法復(fù)雜度分析

本節(jié)分析PSMMAR算法、PSC算法和PSRA算法的復(fù)雜度并進(jìn)行比較。

三種算法計(jì)算功率譜密度方法相同，區(qū)別在于檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量計(jì)算，而后者計(jì)算復(fù)雜度遠(yuǎn)小于前者，所以算法復(fù)雜度由前者決定。對(duì)接收信號(hào)y(n)的連續(xù)L幀、每幀長(zhǎng)度為M點(diǎn)信號(hào)yi(n)進(jìn)行M點(diǎn)離散傅里葉變換的復(fù)雜度為O(Mlog2M)，因此，三種算法的復(fù)雜度都為O(Nlog2M)。

3 算法仿真與性能分析

表1 判決門(mén)限值和虛警概率仿真值

由表1可知，由判決門(mén)限γ1得到的虛警概率與理論虛警概率一致，由判決門(mén)限γ2得到的虛警概率遠(yuǎn)高于理論虛警概率，所以γ1是正確的門(mén)限。下文中，每條曲線均是2000次的Monte Carlo模擬仿真結(jié)果的平均。

(2)K1對(duì)三種算法性能的影響。Pf=0.01，碼元數(shù)為500，幀長(zhǎng)M=48，Δf分別為0.04、0.05和0.06，K0=2，K1為4、6和8時(shí)，本文算法、PSRA算法和PSC算法在AWGN信道中的算法性能曲線分別如圖1(a)、(b)和(c)所示。由圖可見(jiàn)：1)隨著Δf的增大，K1在一定范圍內(nèi)取值越大，算法性能越好；當(dāng)K1值增大到一定值時(shí)，算法性能曲線趨于平穩(wěn)。這是因?yàn)樵贙0確定后，K1越大，參與功率譜最小值平滑的樣本就增加，從而功率譜最小值估計(jì)更加準(zhǔn)確；當(dāng)樣本足夠多時(shí)，功率譜最小值平滑結(jié)果基本不變，因此算法性能曲線就不再受K1值影響。2)在不同載波頻偏系數(shù)下，本文算法性能受頻偏的影響較小，其他兩種算法性能受頻偏的影響較大，即本文算法對(duì)頻偏魯棒性強(qiáng)。

圖1 Δf取不同值時(shí)，不同K1下的三種算法性能曲線

(3)K0對(duì)本文算法性能的影響。Pf=0.01，碼元數(shù)為500，幀長(zhǎng)M=16，載波頻偏系數(shù)Δf分別為0.04、0.06和0.08，K1=3，K0為1、2、3、4和5時(shí)，本文算法在AWGN信道中的檢測(cè)概率隨信噪比變化曲線如圖2(a)、(b)和(c)所示。

圖2 Δf取不同值時(shí)，不同K0下的算法性能曲線

由圖可見(jiàn)，隨著Δf的增大，檢測(cè)性能最優(yōu)對(duì)應(yīng)的K0值相對(duì)增大。由于Δf是隨機(jī)且較小，因此K0取2至3。下面以Δf為0.06、K0取最佳值2，仿真分析其他參數(shù)影響及算法性能比較。

(4)不同幀長(zhǎng)時(shí)算法性能比較。當(dāng)頻偏系數(shù)為Δf=0.06，Pf=0.01，碼元數(shù)為500，幀長(zhǎng)分別為M=16(K0=2，K1=3)和M=48(K0=2，K1=6)時(shí)，本文算法、PSRA算法和PSC算法在AWGN信道中的檢測(cè)概率曲線如圖3所示。其中實(shí)線和虛線分別表示M=16和M=48情況。由圖可見(jiàn)，不同幀長(zhǎng)情況下，本文算法檢測(cè)概率大于PSC算法和PSRA算法。幀長(zhǎng)太長(zhǎng)用于功率譜估計(jì)幀數(shù)偏少，功率譜估計(jì)準(zhǔn)確性下降，頻譜感知性能就下降。下文取M=16。

(5)不同碼元數(shù)時(shí)算法性能比較。頻偏系數(shù)為Δf=0.06，Pf=0.01，碼元數(shù)為250和500, 幀長(zhǎng)M=16(K0=2，K1=3)時(shí)，本文算法、PSRA算法和PSC算法在AWGN信道的檢測(cè)概率曲線如圖4所示。

圖3 AWGN信道中三種算法在不同幀長(zhǎng)下的性能曲線

圖4 AWGN信道中三種算法在不同碼元數(shù)下的性能曲線

其中實(shí)線和虛線分別表示碼元數(shù)為500和250的情況。由圖可見(jiàn)，在不同碼元情況下，本文算法檢測(cè)概率大于PSC算法和PSRA算法，碼元數(shù)越多算法性能越好。下文取碼元數(shù)為500。

圖5 噪聲不確定度對(duì)算法影響

(7)算法的ROC(Receiver Operating Characteristics)曲線。頻偏系數(shù)為Δf=0.06，碼元數(shù)為500，幀長(zhǎng)M=16(K0=2，K1=3)，信噪比為-13 dB時(shí)，三種算法在AWGN信道和Rayleigh衰落信道中的ROC曲線如圖6(a)和(b)所示。實(shí)線和虛線分別表示ρ=1.0和1.1的情況。

由圖可見(jiàn)，兩種信道中，本文算法對(duì)噪聲不確定度的魯棒性優(yōu)于PSC算法和PSRA算法，具有更優(yōu)的抗噪聲不確定性能力。

圖6 三種算法的ROC曲線

4 結(jié)論

提出了一種基于功率譜的最大最小平均比值算法，推導(dǎo)了算法的檢測(cè)門(mén)限表達(dá)式，該算法不受噪聲不確定度的影響，當(dāng)存在載波頻偏時(shí)，本文算法的頻譜感知性能要優(yōu)于PSC算法和PSRA算法。

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