多跳頻信號的2D-DOA估計

楊銀松 郭 英 于欣永,2 李 雷 東潤澤

(1. 空軍工程大學信息與導航學院, 陜西西安 710077; 2. 空軍通信士官學校, 遼寧大連 116100)

1 引言

跳頻通信具有良好的抗干擾性、低截獲性及強組網能力,在軍事通信中得到廣泛應用,也給通信對抗偵察帶來了嚴峻挑戰(zhàn)[1]。網臺分選是跳頻信號偵察的一個關鍵步驟,它可以從復雜的電磁環(huán)境中分選出跳頻網臺,為電子對抗實施精確干擾或恢復信息提供支援,同時也可以達到對抗跳頻跟蹤干擾的目的。

信號波達方向(DOA)在跳頻信號網臺分選中發(fā)揮著重要作用,也一直是研究的熱門領域。文獻[2- 4]最早提出空時頻的概念,并將空時頻處理方法用于非平穩(wěn)信號的DOA估計和盲源分離中,性能優(yōu)于傳統(tǒng)方法;文獻[5- 6]將空時頻分析法引入跳頻信號DOA估計,先用多向濾波器組得到清晰穩(wěn)算法估計出DOA,為跳頻信號DOA估計提出了新的思路,即先將寬帶跳頻信號簡化為窄帶信號,但是MUSIC算法需在參數(shù)空間進行譜峰搜索,占用大量的計算資源,并且沒有考慮二維DOA情況,無法定位三維空間目標;文獻[7- 8]在文獻[5- 6]的基礎上,引入極化信息,提出基于空間極化時頻分布與ESPRIT算法結合的跳頻信號二維DOA估計算法,既避免了峰值搜索,又能實現(xiàn)三維空間目標的定位,但是該算法存在復數(shù)域特征值求根以及參數(shù)配對問題,計算復雜度仍然較高;文獻[9]在MUSIC算法的基礎上,利用噪聲子空間降維的思想構造空間譜,最后通過半譜搜索實現(xiàn)DOA估計,計算復雜度相比MUSIC算法降低了一半;文獻[10]考慮到實際應用中天線陣列存在分布不均勻的情況,提出了基于隨機布局天線的跳頻信號DOA估計算法,但是計算過程過于復雜;文獻[11]比較了LS-ESPRIT算法、TLS-ESPRIT算法和酉ESPRIT算法在W-CDMA中的DOA估計性能,得到酉ESPRIT算法在信噪比大于0 dB時,估計性能最優(yōu);文獻[12-17]提出將酉 ESPRIT算法用于MIMO雷達的DOA估計,該算法將接收數(shù)據從復數(shù)運算轉化為實數(shù)運算,克服了ESPRIT算法在低信噪比、低快拍數(shù)據的情況下,存在估計精度不高、需要參數(shù)配對的問題,并且文獻[12]、[16]仿真結果均表明,與ESPRIT算法相比,酉ESPRIT算法的DOA估計精度更高,運算處理時間更短;文獻[18]將酉ESPRIT算法用于跳頻信號的一維DOA估計,高信噪比下估計性能好于LS-ESPRIT算法,但是存在低信噪比下估計性能差且魯棒性也較差的問題。

綜合以上問題,本文提出一種基于酉ESPRIT算法的多跳頻信號2D-DOA估計算法。首先建立平面天線陣列接收模型并據此推導建立跳頻信號的陣列快拍數(shù)據模型; 然后在時頻分析過程中采用形態(tài)學濾波的方法對時頻圖修正,提高算法在低信噪比下的魯棒性能,并基于修正的時頻圖將跳頻信號分解為一個個有效hop;在此基礎上,任取某一有效hop進行分析,采用酉ESPRIT算法完成跳頻信號2D-DOA估計。

2 跳頻信號的陣列快拍數(shù)據模型

假設跳頻信號sn(t)的跳周期為Tn,在觀測時間Δt內總共有L個跳,并且第l跳(l=1,2,...,L)的載頻為wnl,初始相位為φnl,起始那個非完整跳在觀測時間內的持續(xù)時長為Δt0n,則跳頻信號sn(t)的數(shù)學表達式可描述為[8]

(1)

其中,νn(t)是跳頻信號sn(t)的基帶復包絡;t′=t-(k-1)Tn-Δt0n為瞬時刻;rect表示單位矩形窗函數(shù)。

陣列結構如圖1所示,陣元總數(shù)為N×M個,相鄰陣元間距分別為d1、d2,并且滿足max(d1,d2)

圖1 N×M平面陣列Fig.1 The planar array of N×M

圖2 信號波達方向示意圖Fig.2 The 2D-DOA of FH signals

定義坐標原點陣元為參考陣元,X軸上N個陣元對應的方向矩陣為[17]

Ax=[a1(θ1,φ1),a2(θ2,φ2),...,aK(θK,φK)]

(2)

其中,ak(θk,φk)=[1,ej2πd1cos φksin θk/λ,...,ej2πd1(N-1)cos φksin θk/λ]T。Y軸上M個陣元對應的方向矩陣為

Ay=[b1(θ1,φ1),b2(θ2,φ2),...,bK(θK,φK)]

(3)

其中,bk(θk,φk)=[1,ej2πd2sin φksin θk/λ,...,ej2πd2(M-1)sin φksin θk/λ]T。把N×M面陣分成M個子陣,子陣列2～M相當于子陣列1沿Y軸的偏移,相鄰子陣列的方向矩陣之間相差一個固定值Ψ=diag(ej2πd2sin φ1sin θ1/λ,ej2πd2sin φ2sin θ2/λ,...,ej2πd2sin φKsin θK/λ),所以可得面陣的流型矩陣為

(4)

其中,Dm(·)表示由矩陣的m行構造的一個對角矩陣。因此,陣列的快拍矢量模型為[17]

X(t)=AS(t)+N(t)

(5)

其中,S(t)為信源的K×1維數(shù)據矢量,X(t)為NM×1維接收信號的數(shù)據矢量,N(t)為陣列的NM×1維高斯白噪聲數(shù)據矢量。

3 跳頻信號有效跳的提取

跳頻信號是寬帶信號,每一跳的載頻隨機跳變,面陣的流型矩陣也隨著載頻跳變而跳變,但是在某一跳持續(xù)時間內,不管陣列接收到多少個跳頻信號,每個跳頻信號的載頻都是恒定的,因此流型矩陣也是固定的,可以將其簡化為窄帶信號處理。針對跳頻信號簡化為窄帶信號處理問題,已經有一些學者對其做了研究,得到跳頻信號的清晰時頻圖是最為關鍵的步驟,因為時頻圖會直接影響有效hop的提取,進而影響DOA估計和網臺分選的性能。文獻[5]采用多相濾波器組的方法得到跳頻信號的全景時頻圖,然后提取出跳頻信號的有效hop,再根據有效hop進行DOA估計;文獻[6]采用短時傅里葉變換(STFT)和平滑魏格納分布(SPWVD)的組合時頻方法提取出跳頻信號有效hop;文獻[7- 8]在文獻[6]的基礎上,對組合時頻方法做出了不同的改進,抑制了交叉項,并結合時頻單源點設置噪聲門限,有效的去掉了噪聲,得到了清晰穩(wěn)健的時頻圖,提高了提取有效hop的性能。為了進一步提高DOA估計性能,本文采用形態(tài)學濾波的方法對跳頻信號的時頻圖進行修正,完成有效hop的提取。

(6)

f⊙P=min{W(x-x′,y-y′)-

P(x′,y′)|(x′,y′)∈DP}

(7)

f⊕P=max{W(x-x′,y-y′)+

P(x′,y′)|(x′,y′)∈DP}

(8)

其中,DP為P的定義域。

考慮到采用結構元素對圖像進行處理時,只能提取與結構元素形狀大小相同的結構,因此取結構元素P取為矩陣[1 1 1]。經過腐蝕和膨脹可以得到一個比較清晰的時頻矩陣,再通過坐標變換將時頻矩陣從二值圖像轉化為清晰穩(wěn)健的時頻圖。圖3和圖4分別為經過SPWVD處理得到的時頻圖及形態(tài)學濾波修正后的時頻圖。對比圖3和圖4,用形態(tài)學濾波處理之后的時頻圖更加清晰。

圖3 SPWVD變換后的信號時頻圖Fig.3 TF image after SPWVD

圖4 形態(tài)學濾波處理后的時頻圖Fig.4 TF image after morphological processing

4 基于酉ESPRIT算法的跳頻信號2D-DOA估計算法步驟

針對跳頻信號任意一跳,采用酉ESPRIT算法進行2D-DOA估計,該算法將接收數(shù)據從復數(shù)域轉化為實數(shù)域,然后特征值分解和矩陣運算都在實數(shù)域處理,大大降低了算法的計算復雜度,并根據相同的T矩陣,得到配對好的俯仰角和方位角信息。假設跳頻信源個數(shù)為K,并且在任意時頻點上信源個數(shù)小于陣元數(shù)。

采用酉ESPRIT算法第一步就要把復數(shù)域數(shù)據X矩陣轉化為實數(shù)域矩陣。定義矩陣

(9)

(10)

分別為偶次階和奇次階的酉變換矩陣,其中,Πn為反對稱單位矩陣。構造酉變換矩陣QN和QM,將復數(shù)矩陣X轉化為實數(shù)矩陣Y,即

(11)

定義選擇矩陣

J1=[I(N-1)(N-1),0(N-1)×1]

(12)

J2=[0(N-1)×1,I(N-1)(N-1)]

(13)

(14)

(15)

(16)

同理,對于Y軸方向輸出推導可得

(17)

考慮接收到K個跳頻信號的情況,即

(18)

(19)

由于是相同的T矩陣,可將其合并成一個新矩陣

(20)

對得到的P矩陣進行特征值分解(設特征值為λk)

(21)

最后由μk和νk得到俯仰角和方位角估計值,即

(22)

基于以上分析,利用酉ESPRIT算法可以對多跳頻信號的俯仰角和方位角進行聯(lián)合估計。算法具體步驟如表1所示。

表1 本文算法步驟

續(xù)表1

5 算法復雜度分析

(23)

在Step4中構造矩陣E以及求解信號子空間時,算法復雜度為

(24)

O3≈4T(MN)2

(25)

表2 Step5的算法復雜度

在Step6中,主要計算公式(21)、(22)處理的矩陣維數(shù)都比較低,計算復雜度可以忽略不計。綜上所述,可得酉ESPRIT算法的計算復雜度為

OU-ESPRIT=O1+O2+O3=

(26)

根據文獻[14]、[15]可知,對于面陣結構陣列,傳統(tǒng)的最小二乘ESPRIT算法的計算復雜度為

OLS-ESPRIT=O(20(MN)3+10T(MN)2)

(27)

對比公式(26)和公式(27)可知,一般情況下,由于采樣點數(shù)T遠大于MN, 因此,本文算法的復雜度可以減小到傳統(tǒng)ESPRIT算法的0.65倍左右。

6 仿真與分析

本節(jié)通過仿真實驗對算法性能進行驗證。假設空間中存在5個遠場跳頻信號FH1、FH2、FH3、FH4、FH5的俯仰角分別為θ1=15°、θ2=30°、θ3=45°θ4=60°、θ5=75°,方位角分別為φ1=80°、φ2=60°、φ3=40°、φ4=20°、φ5=10°,跳頻周期為10 μs,載頻歸一化頻率在0～0.7之間跳變。進行200次蒙特卡洛實驗作為實驗結果,將DOA估計的總體均方根誤差和總體估計成功率作為衡量算法性能的標準。其中,總體均方根誤差定義為[10]

(28)

ζ=P1/P

(29)

其中,P1代表所有估計值偏差均小于1°成功的實驗次數(shù)和。

實驗1為了驗證本文算法能夠同時對多個跳頻信號進行DOA估計,假設陣列結構為4×4均勻面陣,d1=d2=0.5 m,空間中存在5個跳頻信號,采樣點數(shù)為600,信噪比為5 dB,進行200次蒙特卡洛仿真。圖5和圖6分別為本文算法及ESPRIT算法估計得到的俯仰角和方位角散列圖。

圖5 本文算法散列圖Fig.5 The hash map of algorithm of this paper

圖6 ESPRIT算法散列圖Fig.6 The hash map of ESPRIT algorithm

由圖5和圖6的仿真結果表明,本文算法和ESPRIT算法都可以實現(xiàn)5個跳頻信號的DOA同時估計,但是本文算法得到的散列圖比ESPRIT算法得到的散列圖分布更集中,表明200次實驗中得到的大多數(shù)估計值與真實值的差距更小,估計精度更高。此外,在用ESPRIT算法進行DOA估計時,需要考慮角度配對問題,跳頻信號源越多,配對難度就越大,而本文算法則可以自動配對。

實驗2為了驗證信噪比對算法性能的影響,假設信噪比從-5 dB以1 dB為步進逐漸增加到20 dB,各信噪比下進行200次蒙特卡洛仿真,其他實驗條件同實驗1。圖7和圖8分別為總體均方誤差曲線和總體估計成功率。

圖7的實驗結果表明,隨著信噪比的增大,本文算法和ESPRIT算法DOA估計的總體均方根誤差都逐漸減小;當信噪比小于10 dB時,本文算法的均方根誤差明顯小于ESPRIT算法;當信噪比大于10 dB時,本文算法的均方根誤差與ESPRIT算法接近,并且逐漸趨于穩(wěn)定。圖8的實驗結果表明,隨著信噪比的增大,本文算法與ESPRIT算法DOA估計成功率都逐漸增大,本文算法估計成功率略大于ESPRIT算法;本文算法在信噪比為9 dB時,估計成功率達到100%,而ESPRIT算法需要達到12 dB左右。

圖7 實驗2的總體均方根誤差Fig.7 The total RMSE of Experiment 2

圖8 實驗2的總體估計成功率Fig.8 The total success rate of Experiment 2

實驗3為了驗證快拍數(shù)據量對算法性能的影響,假設各跳快拍數(shù)從400逐漸增加到2000,信噪比分別取0 dB和6 dB時,其他實驗條件同實驗1。本文算法及ESPRIT算法DOA估計的總體均方根誤差及總體估計成功率如圖9和圖10所示。

圖9的實驗結果表明,在不同信噪比下,隨著快拍數(shù)據的增加,本文算法與ESPRIT算法總體均方根誤差都逐漸減小,即跳頻信號持續(xù)時間越長,采樣獲得的觀測數(shù)據越多,估計性能越好。圖10的實驗結果表明,在不同信噪比下,兩種算法的總體估計成功率都隨著快拍數(shù)據增加而逐漸增加,各快拍數(shù)據下,本文算法估計成功率均優(yōu)于ESPRIT算法。

圖9 實驗3的總體均方根誤差Fig.9 The total RMSE of Experiment 3

圖10 實驗3的總體估計成功率Fig.10 The total success rate of Experiment 3

綜合圖9和圖10的實驗結果表明,快拍數(shù)據較大時,ESPRIT算法的估計性能與本文算法比較接近;快拍數(shù)據較小時,本文算法估計性能明顯大于ESPRIT算法。

實驗4為了驗證陣元數(shù)量對算法性能的影響,假設信噪比從0 dB逐漸增加到20 dB,陣列結構均為均勻面陣,陣元數(shù)量為3×3、4×4、5×5,其他實驗條件同實驗1。圖11和圖12為算法性能與陣元數(shù)目的關系曲線。

從圖11可見,在相同陣型下,隨著信噪比遞增,本文算法比傳統(tǒng)ESPRIT算法始終表現(xiàn)出更好的估計性能,并且更適用于低信噪比的情況;在估計算法一致的情況下,陣元數(shù)越多,估計精度越高。圖12的仿真結果表明,在相同陣型下,隨著信噪比的增大,本文算法的總體估計成功率始終更高,低信噪比下兩種算法差距更加明顯。

圖11 實驗4的總體均方根誤差Fig.11 The total RMSE of Experiment 4

圖12 實驗4的總體估計成功率Fig.12 The total success rate of Experiment 4

實驗5為了驗證本文算法相比較ESPRIT算法在算法復雜度上的優(yōu)勢。假設空間存在5個跳頻信號,信噪比為5 dB,各跳快拍數(shù)據為3000,接收陣列結構分別為3×3、4×4、5×5、6×6、7×7、8×8時兩種算法DOA估計所需時間(單位:s)如表3所示。

表3 兩種算法2D-DOA估計所需時間比較

由表3可見,隨著陣列數(shù)量的增加,本文算法與ESPRIT算法計算耗時都逐漸增加,但是ESPRIT算法的耗時增加更顯著;在陣列數(shù)量相同時,本文算法計算耗時均小于ESPRIT算法,并且本文算法的耗時大于為ESPRIT算法耗時的0.6～0.75倍。

綜上仿真實驗表明,本文算法的估計精度會隨著快拍數(shù)、信噪比、陣列元數(shù)的增加而逐漸提升;在低信噪比、低快拍數(shù)據、陣列元數(shù)較少的情況下,本文算法的性能會變差,但是與傳統(tǒng)的ESPRIT算法相比,本文算法的估計性能仍然更優(yōu),體現(xiàn)了本文算法具有更強的適用性和更好的估計性能。

7 結論

跳頻信號的空域信息可以有效輔助跳頻信號網臺分選,為了獲得精確的2D-DOA信息,本文首先建立跳頻信號的平面陣列快拍數(shù)據模型;然后用形態(tài)學濾波的方法對時頻圖進行修正,提取出跳頻信號的有效hop,針對某一跳,把它當作一個窄帶信號處理;最后采用酉ESPRIT算法實現(xiàn)跳頻信號2D-DOA聯(lián)合估計。與傳統(tǒng)ESPRIT算法相比,酉ESPRIT算法將復數(shù)域的特征值分解和矩陣運算轉化到實數(shù)域處理,使得計算復雜度大大降低;構造實數(shù)矩陣時,重復利用了接收數(shù)據,提高了估計精度,且可實現(xiàn)參數(shù)自動配對。仿真結果驗證了本文算法能夠更為精確地估計2D-DOA,具有更高的適用性,有一定的工程實用價值。

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