Alpha穩(wěn)定分布下基于RHMy濾波的MQAM信號(hào)碼元速率估計(jì)方法

廖錫暢 雷迎科 羅路為 黃健航

(國(guó)防科技大學(xué)電子對(duì)抗學(xué)院，安徽合肥 230037)

1 引言

多進(jìn)制正交振幅調(diào)制(Mary Quadrature Amplitude Modulation, MQAM)信號(hào)相較于傳統(tǒng)的多進(jìn)制相移鍵控調(diào)制(Mary Phase Shift Keying, MPSK)而言，同時(shí)對(duì)信號(hào)的振幅和相位進(jìn)行調(diào)制，極大的增加了系統(tǒng)的頻帶利用率，同時(shí)也具有較強(qiáng)的抗干擾能力與保密性，廣泛應(yīng)用于各種軍事或民用的高速帶寬通信系統(tǒng)中。在通信對(duì)抗領(lǐng)域，為達(dá)到通過(guò)盲解調(diào)技術(shù)獲得對(duì)抗方情報(bào)的目的，首先需要準(zhǔn)確估計(jì)信號(hào)的調(diào)制信息。但非協(xié)作端實(shí)際偵收時(shí)，信號(hào)受自然與人為因素(如低頻大氣噪聲、雷暴、多用戶干擾等)的影響[1]，常伴有很強(qiáng)的不規(guī)則沖激特性，使得噪聲概率密度函數(shù)偏離高斯分布，且拖尾嚴(yán)重。Alpha穩(wěn)定分布作為唯一滿足廣義中心極限定理的分布[2]，通過(guò)調(diào)節(jié)其特征指數(shù)可以得到不同厚度的拖尾與不同程度的脈沖特性，與自然界中很多實(shí)際噪聲環(huán)境吻合，因此針對(duì)Alpha穩(wěn)定分布環(huán)境下的信號(hào)碼元速率估計(jì)研究更具現(xiàn)實(shí)意義。作為數(shù)字信號(hào)調(diào)制信息的重要參數(shù)，碼元速率的準(zhǔn)確估計(jì)對(duì)信號(hào)的調(diào)制識(shí)別與解調(diào)意義重大。目前已有多種有效的碼元速率估計(jì)算法，主要包括循環(huán)譜估計(jì)法、包絡(luò)法、小波變換法等。文獻(xiàn)[3]提出的Haar小波變換法(Haar Wavelet Transform, HWT)，通過(guò)觀察信號(hào)瞬時(shí)相位變化規(guī)律估計(jì)碼元速率，算法復(fù)雜度低，精度較高，但抑制脈沖噪聲能力差。類似的，基于高斯噪聲模型的算法在脈沖噪聲環(huán)境下效果普遍較差，甚至完全失效。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者作出了不少研究，主要包括Myriad濾波[4]、分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量[5]、廣義高階循環(huán)累積量[6]、穩(wěn)健L-DFT濾波[7]等方法。文獻(xiàn)[8]提出一種基于分?jǐn)?shù)低階循環(huán)譜(Fractional Lower-Order Cyclic Spectrum, FLOCS)的MPSK信號(hào)參數(shù)估計(jì)算法，同時(shí)估計(jì)載頻和碼元速率，但算法計(jì)算復(fù)雜，分?jǐn)?shù)階數(shù)的選取對(duì)估計(jì)精度影響較大。文獻(xiàn)[9]提出了廣義平方包絡(luò)譜的概念，分析廣義平方包絡(luò)譜與符號(hào)率脈沖線的關(guān)系，間接估計(jì)信號(hào)的符號(hào)率。但是該算法在α較小時(shí)性能急劇下降，且對(duì)于QAM信號(hào)的效果要明顯差于PSK信號(hào)。文獻(xiàn)[10]提出一種基于柯西分布的碼速率最大似然估計(jì)法，可同時(shí)估計(jì)碼速率和定時(shí)偏差，需要準(zhǔn)確的劃分時(shí)偏窗與同步窗，且在廣義信噪比較低的條件下精度不佳。

針對(duì)Alpha穩(wěn)定分布噪聲下傳統(tǒng)的MQAM信號(hào)碼元速率估計(jì)算法失效的問(wèn)題，本文首先結(jié)合加權(quán)Myriad濾波能有效抑制脈沖噪聲的特性，引入二次小波變換對(duì)Alpha穩(wěn)定分布條件下的MQAM信號(hào)進(jìn)行碼元速率估計(jì)(Weighted Myriad filter-Wavelet Transform, WMy-WT)；然后提出一種基于遞歸混合Myriad濾波器的二次高階消失矩小波變換法(Recursive Hybrid Myriad filter-Wavelet Transform, RHWy-WT)估計(jì)碼元速率。與HWT、FLOCS等算法進(jìn)行比較，仿真實(shí)驗(yàn)表明，本文算法能夠有效抑制脈沖噪聲對(duì)信號(hào)的影響，并準(zhǔn)確的估計(jì)出MQAM信號(hào)碼元速率。

2 MQAM系統(tǒng)模型

假設(shè)非協(xié)作通信段截獲的MQAM觀測(cè)信號(hào)為：

(1)

由于Alpha穩(wěn)定分布沒(méi)有閉合的概率密度函數(shù)，目前有四種定義方式，最常用的是采用特征函數(shù)來(lái)描述[2]：

φ(t)=exp{jat-γ|t|α[1+jβsgn(t)ω(t,α)]}

(2)

其中α∈(0,2]為特征指數(shù)，用來(lái)度量Alpha穩(wěn)定分布的沖擊程度與拖尾厚度，其值越小，沖擊程度越強(qiáng)，拖尾越厚；β∈(-1,1]為對(duì)稱參數(shù)，描述扭曲程度，一般而言采用β=0的對(duì)稱Alpha穩(wěn)定分布(Symmetricα-Stable,SαS)；分散系數(shù)γ∈(0，+)為分散系數(shù)，類似于高斯分布的方差，用于分布描述偏離均值的程度；a∈(-,+)為位置參數(shù)，對(duì)于SαS分布，α∈(0,1)時(shí)，a為中值，α∈(1,2]時(shí)，a為均值。

當(dāng)α=2時(shí)，SαS即為高斯分布；當(dāng)α=1，β=0時(shí)即為柯西分布；當(dāng)α=1/ 2，β=-1時(shí)即為皮爾遜分布。圖1表示不同α值時(shí)的SαS時(shí)域波形圖。顯而易見(jiàn)，α越小，脈沖突刺現(xiàn)象越明顯，幅度也越大。圖2為對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)曲線，隨著α的減小，曲線拖尾明顯變厚且峰值變得越來(lái)越尖銳[10]。

圖1 不同α值時(shí)的時(shí)域波形Fig.1 Time domain waveform at different α values

圖2 不同α值的SαS概率密度曲線Fig.2 Probability density curve of SαS at different α values

3 M-filter類算法原理

類似于FIR濾波器在高斯噪聲模型中的應(yīng)用，M-filter類(如Myriad、Meridian等)算法以其良好的頻率選擇性與脈沖噪聲抑制性能，同樣廣泛應(yīng)用于脈沖噪聲環(huán)境下的信號(hào)和圖像處理領(lǐng)域。本節(jié)通過(guò)研究M-filter類算法，創(chuàng)新性的將遞歸混合Myriad濾波算法引入脈沖噪聲的碼元速率估計(jì)。

3.1 加權(quán)Myriad濾波器

柯西分布作為Alpha穩(wěn)定分布中具有封閉概率密度函數(shù)的典型代表之一，現(xiàn)有的M-filter類算法均基于廣義柯西分布提出，通過(guò)建立可調(diào)的次優(yōu)對(duì)數(shù)似然函數(shù)進(jìn)行最大似然估計(jì)，并推廣到一般情況。學(xué)者們驗(yàn)證表明，M-filter類算法具有較好的魯棒性，能夠很好的適應(yīng)不同程度的Alpha穩(wěn)定分布噪聲[11]?？挛鞣植嫉母怕拭芏群瘮?shù)為：

(3)

式中k對(duì)應(yīng)于Alpha穩(wěn)定分布的分散系數(shù)γ，根據(jù)式(3)構(gòu)建Myriad代價(jià)函數(shù)來(lái)估計(jì)穩(wěn)定分布最大值位置，舍棄常數(shù)項(xiàng)后，其對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：

ρ(x)=lg{k2+|x|2}

(4)

(5)

其中◇為定義的加權(quán)算子，線性可調(diào)參數(shù)K∈(0,+)決定了WMy濾波算法的性能好壞，即代價(jià)函數(shù)ρ(K,β,w)的最小值就是算法輸出值。K→時(shí)，MWy濾波算法表現(xiàn)為線性特性，退化成標(biāo)準(zhǔn)線性FIR濾波；K→0時(shí)，MWy濾波算法表現(xiàn)為眾數(shù)特性，其輸出為其中M為重復(fù)次數(shù)最多的符號(hào)化樣本集合。結(jié)合自適應(yīng)迭代算法可對(duì)WMy濾波算法進(jìn)行優(yōu)化，實(shí)時(shí)迭代更新最優(yōu)權(quán)值，其迭代關(guān)系為：

(6)

wi(n+1)=wi(n)+sgn[sgn(wi)xi-y]

(7)

3.2 遞歸混合Myriad濾波

由于加權(quán)Myriad濾波算法在強(qiáng)脈沖噪聲條件下性能下降，脈沖噪聲經(jīng)過(guò)一層Myriad濾波后，趨向于滿足正態(tài)分布。基于這一特性，文獻(xiàn)[13]提出了一種全新的遞歸混合Myriad濾波算法(RHMy)，結(jié)合線性濾波與非線性濾波的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)實(shí)現(xiàn)了WMy濾波對(duì)脈沖噪聲的抑制能力與線性濾波在高斯環(huán)境下的優(yōu)良特性。

(8)

可通過(guò)調(diào)節(jié)參數(shù)K來(lái)控制濾波器抑制脈沖噪聲的性能，RHMy濾波的輸出為似然函數(shù)Ψ(x,y,β)的最大值，其中β為輸入樣本的位置參數(shù)。為方便處理，對(duì)似然函數(shù)取對(duì)數(shù)并去掉常數(shù)項(xiàng)，將局部最大值問(wèn)題變?yōu)榍笕【植孔钚≈?，則估計(jì)輸出可表示為：

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

如圖3所示，Alpha穩(wěn)定分布噪聲環(huán)境下正弦波波形嚴(yán)重失真，WMy濾波后有效的恢復(fù)出了原始波形，但效果較差，波形畸變?nèi)暂^為嚴(yán)重。本文采用的RHMy濾波算法性能明顯提高，能夠更好的抑制脈沖噪聲對(duì)信號(hào)的影響，可以直觀的看出此時(shí)較好的恢復(fù)出了正弦波信號(hào)，為脈沖噪聲環(huán)境下的信號(hào)通過(guò)小波變換檢測(cè)瞬時(shí)相位，并精確的估計(jì)碼元速率提供了必要前提。

圖3 濾波器效果對(duì)比圖Fig.3 Contrast diagram of filter effect

4 碼元速率估計(jì)

小波變換作為一種重要的時(shí)頻分析手段，具有良好的瞬時(shí)相位檢測(cè)能力，根據(jù)信號(hào)的周期變換規(guī)律，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的系數(shù)處理即可較為準(zhǔn)確的估計(jì)碼元速率，且運(yùn)算量小，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度低，廣泛的應(yīng)用于實(shí)際工程中。本節(jié)通過(guò)分析Haar小波基消失矩較小等問(wèn)題，結(jié)合小波變換后的信號(hào)特征，采用具有高階消失矩的dbN小波基，結(jié)合二次小波變換來(lái)分析信號(hào)邊界暫態(tài)特性，并給出了本文提出的基于RHMy濾波的碼元速率估計(jì)算法實(shí)現(xiàn)步驟。

根據(jù)式(1)中給出的系統(tǒng)模型，信號(hào)x(t)的連續(xù)小波變換[3]可表示為：

(15)

其中ψ(t)為小波基函數(shù)，s為小波尺度參數(shù)，τ為小波轉(zhuǎn)換參數(shù)。經(jīng)典的算法中主要采用最為簡(jiǎn)單的Haar小波作為基小波，MQAM信號(hào)的Haar連續(xù)小波變換為

(16)

小波變換的實(shí)質(zhì)是通過(guò)提取數(shù)字信號(hào)邊界上的暫態(tài)特性，即根據(jù)幅度、頻率或相位的瞬時(shí)變化提取碼元速率特性[15]，根據(jù)上述分析，MQAM信號(hào)經(jīng)過(guò)一次小波變換后，其幅度值表現(xiàn)為僅在碼元交界處表現(xiàn)為沖激特性，而在碼元周期內(nèi)表現(xiàn)為恒定幅度值，因此可近似表示為：

(17)

其中Am表示第m個(gè)符號(hào)小波變換后的幅值，Bn表示碼元交界處的幅值，u(·)和δ(·)分別表示階躍函數(shù)和沖激函數(shù)。根據(jù)式(17)，信號(hào)經(jīng)過(guò)一次小波變換后，其邊界仍然具有暫態(tài)特性，此時(shí)可以通過(guò)二次小波變換來(lái)提取信號(hào)碼元速率信息，根據(jù)文獻(xiàn)[15]中的分析，二次小波變換后的信號(hào)僅表現(xiàn)為沖激特性，其包絡(luò)可近似的表示為：

(18)

其中Ci為第i個(gè)符號(hào)經(jīng)過(guò)二次小波變換后的幅值。根據(jù)式(18)，在無(wú)噪條件下對(duì)MQAM信號(hào)進(jìn)行二次小波變換后，此時(shí)的信號(hào)小波系數(shù)呈現(xiàn)沖激特性，僅在信號(hào)碼元速率的整數(shù)倍處取值，因此對(duì)其模值進(jìn)行傅里葉變換后，可根據(jù)沖激譜線間隔精確的估計(jì)出信號(hào)的碼元速率。

根據(jù)上述分析，Alpha穩(wěn)定分布下基于RHMy濾波的MQAM信號(hào)碼元速率盲估計(jì)算法實(shí)現(xiàn)步驟為：

(1)對(duì)截獲信號(hào)進(jìn)行遞歸混合Myriad濾波，抑制Alpha穩(wěn)定分布引入的脈沖噪聲；

(2)選擇具有高階消失矩的dbN小波系(本文采用db5小波)，對(duì)采樣后的信號(hào)進(jìn)行一階離散小波變換，并對(duì)小波系數(shù)取模；

(3)對(duì)模值進(jìn)行第二次db5一階離散小波變換，并對(duì)二次變換后的小波系數(shù)取幅度平方；

(4)對(duì)幅值平方進(jìn)行傅里葉變換(FFT)，分析頻譜并搜索最大值點(diǎn)N1和次大值點(diǎn)N2；

5 仿真分析

本文仿真中采用64QAM調(diào)制信號(hào)，碼元速率fb=2e6 Hz，載波頻率fc=1e7 Hz，采樣頻率fs=4e7 Hz，升余弦脈沖成型濾波器滾降系數(shù)為0.5，仿真采用SαS分布噪聲分布模型。

首先將本文方法(RHWy-WT)與傳統(tǒng)多尺度Haar小波變換法(HWT)、基于分?jǐn)?shù)低階循環(huán)譜的碼元速率估計(jì)法(FLOCS)和基于自適應(yīng)加權(quán)Myriad濾波算法的小波變換方法(WMy-WT)進(jìn)行比較。其中FLOCS首先定義了b=0.1階分?jǐn)?shù)低階算子，對(duì)觀測(cè)信號(hào)進(jìn)行分?jǐn)?shù)低階循環(huán)自相關(guān)運(yùn)算后進(jìn)一步求得分?jǐn)?shù)低階循環(huán)譜，然后通過(guò)搜索譜切面估計(jì)碼元速率。WMy-WT算法首先對(duì)觀測(cè)信號(hào)進(jìn)行自適應(yīng)加權(quán)Myriad濾波，需要注意的是，不同的初始權(quán)向量會(huì)影響算法的收斂速度，所以在未知條件下，初始權(quán)向量一般設(shè)置為中間位置權(quán)值非零，其余均為零[12]，經(jīng)過(guò)迭代后，所有權(quán)值逐漸收斂至固定值，且窗口長(zhǎng)度過(guò)長(zhǎng)時(shí)會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量大幅增加，過(guò)短又會(huì)影響濾波的效果。為達(dá)到快速收斂的目的，本文仿真設(shè)置濾波窗口長(zhǎng)度為7。根據(jù)文獻(xiàn)[12]，WMy濾波初始權(quán)向量設(shè)為w=[0,0,0,10,0,0,0]，迭代過(guò)程中，中間權(quán)值w4向下減小，其余值向上增大，最終各自收斂到最優(yōu)權(quán)值，然后采用本文提出的二次高階消失矩小波變換進(jìn)行估計(jì)。RHWy-WT算法的Myriad部分窗口設(shè)置WMy濾波算法一致，即g=w；根據(jù)以上分析，線性濾波部分權(quán)向量窗口長(zhǎng)度設(shè)置為4，初始值設(shè)為h=[0,0.5,0.5,0]。在特征指數(shù)α=1，廣義信噪比GSNR=-1 dB的SαS分布噪聲環(huán)境下對(duì)各算法進(jìn)行仿真。

圖4 各算法譜線圖Fig.4 Spectral line graph of each algorithm

圖4(a)表示在不使用WMy濾波前提下的多尺度Haar小波估計(jì)法的譜線圖?？梢钥闯?，由于脈沖噪聲的影響，原本適用于高斯環(huán)境的算法此時(shí)已經(jīng)完全失效，正確的無(wú)法估計(jì)碼元速率。圖4(b)采用b=0.1階分?jǐn)?shù)低階循環(huán)譜估計(jì)，類似于高斯環(huán)境下的循環(huán)譜估計(jì)算法，在頻率切面上搜索循環(huán)頻率對(duì)應(yīng)的次大值。相比于圖4(a)在實(shí)際碼元速率Fb=2e6 Hz附近可以清楚的看到譜線，但是由于對(duì)脈沖噪聲的抑制效果有限，實(shí)際碼元速率對(duì)應(yīng)的譜線并不是循環(huán)譜切面上的次大值，因此該算法在廣義信噪比較低的情況下性能不佳。圖4(c)表示基于自適應(yīng)加權(quán)Myriad濾波算法的高階消失矩小波估計(jì)(WMy-WT)法，與圖4(a)相比，WMy濾波算法能夠抑制脈沖噪聲對(duì)信號(hào)的影響，但最大值譜線附近存在較大的譜線，說(shuō)明在GSNR=-1 dB時(shí)無(wú)法有效抑制脈沖噪聲。圖4(d)采用基于遞歸混合Myriad濾波算法的高階消失矩小波估計(jì)(RHMy-WT)法。此時(shí)的譜線圖中在實(shí)際碼元速率附近的峰值明顯，且由于噪聲帶來(lái)的小波譜線干擾不足以淹沒(méi)碼元速率對(duì)應(yīng)的譜線，證明RHMy濾波算法抑制脈沖噪聲的效果相較于WMy濾波算法顯著提高，能更加精確的估計(jì)碼元速率信息。

RHWy-WT算法主要包括RHMy濾波與離散小波變換兩部分，相比于WMy，RHMy在每個(gè)信號(hào)點(diǎn)上的計(jì)算量增加了M*(NJ+NM)，其中NJ與NM為RHMy中線性濾波部分一次運(yùn)算與權(quán)值hj迭代一次的計(jì)算量，而離散小波變換相當(dāng)于分離信號(hào)高低頻系數(shù)，其時(shí)間復(fù)雜度可表示為O(L)，L表示信號(hào)觀測(cè)長(zhǎng)度。

下面通過(guò)歸一化均方根誤差來(lái)考察SαS分布噪聲下廣義信噪比對(duì)不同參數(shù)估計(jì)算法的影響。在不同的廣義信噪比下，對(duì)64QAM信號(hào)進(jìn)行100次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)。如圖5可知，當(dāng)脈沖噪聲特征參數(shù)α<2時(shí)，HWT法完全失效，無(wú)法正確檢測(cè)信號(hào)的相位突變點(diǎn)，而當(dāng)α=2時(shí)，此時(shí)為高斯噪聲，HWT法能夠較為精確的估計(jì)出碼元速率。如圖5(b)、(c)、(d)所示，b=0.1階FLOCS法在α>1時(shí)表現(xiàn)良好，在GSNR≥0 dB時(shí)能夠精確的檢測(cè)譜線，但從圖5(a)中可以看出，隨著α的減小，由于低階循環(huán)譜中峰值譜線被噪聲淹沒(méi)，估計(jì)精度下降，且總體來(lái)說(shuō)，F(xiàn)LOCS法的精度低于WMy-WT與RHWy-WT方法。

圖5 不同α值環(huán)境下的算法比較Fig.5 Comparison of algorithms under different αvalue environments

WMy-WT方法結(jié)合了Myriad濾波算法和高階消失矩小波變換的優(yōu)點(diǎn)，在GSNR≥-1 dB時(shí)均可以達(dá)到精確的估計(jì)，但是對(duì)比與RHWy-WT方法，在α<1時(shí)，估計(jì)誤差明顯增大，這也證明了RHWy濾波算法雖然引入了一些計(jì)算量，但性能更優(yōu)于WMy濾波算法，當(dāng)α增大時(shí)，噪聲接近高斯白噪聲，兩種方法性能接近，均能有效的估計(jì)出信號(hào)碼元速率。

6 結(jié)論

本文主要研究了在Alpha穩(wěn)定分布環(huán)境下的高階QAM信號(hào)碼元估計(jì)問(wèn)題，針對(duì)傳統(tǒng)的參數(shù)估計(jì)算法在脈沖噪聲環(huán)境下失效的問(wèn)題，提出了一種基于RHMy濾波的高階消失矩二次小波變換法來(lái)估計(jì)信號(hào)碼元速率。方法結(jié)合了Myriad濾波算法對(duì)脈沖噪聲的抑制作用，將遞歸混合Myriad濾波算法引入，首先對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波處理，采用運(yùn)算簡(jiǎn)便，精度高的高階消失矩二次小波變換法對(duì)信號(hào)進(jìn)行碼元速率估計(jì)。仿真實(shí)驗(yàn)表明該方法在較低的廣義信噪比條件下仍能有效的抑制Alpha穩(wěn)定分布噪聲，較為精確的估計(jì)出MQAM信號(hào)的碼元速率。

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