日字形薄壁桿件解析解與數(shù)值解對比分析

陳彪來

（甘肅交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院，甘肅 蘭州 730070）

0 引言

在工程實際中薄壁桿件受扭狀態(tài)普遍存在，薄壁桿件雖然有部分特性類似于實體桿件，但對其進(jìn)行力學(xué)性能分析時，橫截面的翹曲變形不再是次要因素而忽略不計。因此由薄壁桿件組成的薄壁結(jié)構(gòu)，無論從薄壁桿件自身還是薄壁結(jié)構(gòu)整體來講，其受力反應(yīng)和變形都十分突出，必須對其分析。薄壁桿件力學(xué)的解析理論主要有不考慮截面外形輪廓線變形的烏曼斯基的閉口薄壁桿件的約束扭轉(zhuǎn)理論和符拉索夫的廣義坐標(biāo)法，可以通過這些理論對薄壁桿件進(jìn)行分析計算得到解析解，但其公式煩瑣，推導(dǎo)復(fù)雜。而有限元方法由于其強大的實用性，可以較精確地考慮各種復(fù)雜形狀和各種復(fù)雜的邊界條件，因而成為研究最多、應(yīng)用最廣的數(shù)值方法。因而可以通過解析解與數(shù)值解的比較分析誤差產(chǎn)生的原因，驗證薄壁桿件在荷載作用下受翹曲效應(yīng)的影響，并且得到有限元單元類型選擇的相關(guān)原則。

1 多室閉合薄壁桿件解析解計算

1.1 豎向荷載作用下的彎曲正應(yīng)力

如圖1所示為薄壁桿件自由端截面圖，坐標(biāo)原點在對稱中心處。因為其關(guān)于x軸和y軸對稱，所以它的形心、主極點、彎曲中心、剪切中心都與對稱中心重合。將豎向力往形心簡化可以得到剪力Qy和扭矩T，如圖2所示。

圖1 截面中線圖（單位：cm）

圖2 豎向力向形心簡化

根據(jù)材料力學(xué)：

則

1.2 軸力作用下的彎曲正應(yīng)力

偏心力向形心簡化可以得到一個軸向拉力和兩個彎矩Mx和My，如圖3和圖4所示。

圖3 模型軸向拉力作用位置圖

圖4 軸向拉力向形心簡化后等效荷載作用位置圖

由上述彎矩作用的方向可以得到截面右上角點處最大的正應(yīng)力：

如圖5所示，根據(jù)薄壁桿件理論首先在各室分別設(shè)置一個切口，將兩個切口分別取在1點的左側(cè)和右側(cè)，在截面的各節(jié)點處給以標(biāo)號，剪力流q0i表示節(jié)點i處的靜定剪力流。應(yīng)用公式計算時，由各切口處開始，依次計算各節(jié)點處的剪力流，顯然在切口處q0i為零。

1室各點處的靜定剪力流：

圖5 多室閉合薄壁桿件彎曲剪應(yīng)

根據(jù)對稱性，2室各節(jié)點處截面靜定剪力流與1室對稱節(jié)點處剪力流相等。

為了求解超靜定剪力流qi（i=1，2，3，4，…，n），需依公式建立二元一次方程組。利用以下公式計算各室各板上的積分值：

可通過下面的方程組求出兩個附加剪力流q1、q2：

解得：

剪應(yīng)力分布如圖6～圖8所示。

1.3 多室閉合薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn)分析

解得：

扭轉(zhuǎn)慣性矩：It=2×（1.2×10-3×0.03×2）=1.44×10-4（m4）

圖6 q0分布圖（單位：kN/m）

圖7 qi分布圖（單位：kN/m）

圖8 q分布圖（單位：kN/m）

利用公式（6），可求得各室自由扭轉(zhuǎn)剪力流：

薄壁桿件懸臂梁在自由端豎向力作用下產(chǎn)生扭矩 Mt=-40×0.05=-2（kN·m），可得：

故截面剪應(yīng)力順時針轉(zhuǎn),其分布如圖9所示。

圖9 τ分布圖（單位：MPa）

1.4 多室閉合薄壁桿件約束扭轉(zhuǎn)

根據(jù)截面中線圖可得極慣性矩：

由此得修正系數(shù):

特征常數(shù)：

根據(jù)閉口薄壁桿件加載情況，得到約束扭轉(zhuǎn)微分方程：

根據(jù)加載情況，將豎向力與軸力分開求解微分方程。

1.4.1 豎向力作用下邊界條件

固定端：

自由端：

由以上邊界條件可得桿件雙力矩函數(shù)和彎扭力矩函數(shù)：

由雙力矩和彎扭力矩函數(shù)可計算固定端處的正應(yīng)力：

翹曲正應(yīng)力：

自由端：

1.4.2 軸向力作用下邊界條件

固定端：

自由端：

由以上邊界條件可得桿件雙力矩函數(shù)和彎扭力矩函數(shù)：

翹曲剪應(yīng)力：

由雙力矩和彎扭力矩函數(shù)可計算固定端處的正應(yīng)力：

固定端：

2 多室閉合薄壁桿件數(shù)值解計算

2.1 豎向力彎曲正應(yīng)力數(shù)值解

利用ANSYS建模進(jìn)行數(shù)值解計算，在豎向力作用下彎曲正應(yīng)力數(shù)值解與解析解分布相同，其正應(yīng)力分布關(guān)于水平軸呈反對稱分布，上邊緣為正，下邊緣為負(fù)。在角點處由于集中效應(yīng)的影響，其正應(yīng)力遠(yuǎn)比解析解數(shù)值要大。角點處的正應(yīng)力值為284.09 MPa，模型中線角點處的數(shù)值解為204 MPa。因為剪切滯后效應(yīng)的影響，ANSYS數(shù)值解分布圖上下板的正應(yīng)力不是均勻分布，在三塊腹板上也不再是線性分布。剪切滯后是由于剪切變形造成應(yīng)力分布不均勻的現(xiàn)象，此時靠近節(jié)點處的腹板不再符合平截面假定，應(yīng)力增大。

2.2 豎向彎曲剪應(yīng)力數(shù)值解

模型橫截面上在各板的中間遠(yuǎn)離角點的地方，剪應(yīng)力分布比較均勻，且應(yīng)力值不是很大。而在角點處存在局部應(yīng)力集中的現(xiàn)象，這些點處的剪應(yīng)力值會急劇增大，比其他各點處的值要大9～10倍。

2.3 豎向力作用整體分析

在偏心的豎向力作用下，結(jié)構(gòu)會受到橫力彎曲、豎向剪力及扭矩的作用，所以截面上的應(yīng)力包括彎曲正應(yīng)力、彎曲剪應(yīng)力、扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力、翹曲剪應(yīng)力、翹曲正應(yīng)力?？傉龖?yīng)力和總剪應(yīng)力為各項的線性疊加。下面來分析薄壁桿件解析解中的翹曲效應(yīng)對薄壁桿件的影響。

固定端右上角點最大正應(yīng)力：

σ=σz+σω=177.78-0.913 2=176.867（MPa）

固定端右腹板最大剪應(yīng)力：

τ=τw+τk+τω=1.54+1.667+0.467=3.674（MPa）

從上述解析解結(jié)果可以看出，翹曲正應(yīng)力占總應(yīng)力的0.913 2/176.867=0.52%，扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力占總應(yīng)力的2.134/3.674=58.1%。

2.3.1 正應(yīng)力數(shù)值解比較

單元結(jié)點22830處的總正應(yīng)力值是159.92 MPa,與解析解數(shù)值176.867 MPa比較，其誤差為9.6%。從2.1節(jié)的ANSYS計算結(jié)點22838數(shù)值解中,彎曲正應(yīng)力為284.09 MPa,總正應(yīng)力為283.84 MPa，所以固定端右上角點處的翹曲正應(yīng)力是σω=283.84-284.09=-0.25（MPa），其翹曲正應(yīng)力數(shù)值解與解析解相比，誤差為72.6%，誤差比較大。數(shù)值解的翹曲正應(yīng)力0.25 MPa占總正應(yīng)力283.84 MPa的比例約為0.09%，這一數(shù)值與解析解相比差別不大。

2.3.2 剪應(yīng)力數(shù)值解比較

單元結(jié)點91325處的總剪應(yīng)力值是3.378 MPa，從2.1節(jié)ANSYS計算的結(jié)點91325處數(shù)值解中,彎曲剪應(yīng)力為1.120 4MPa，所以右腹板中間處的扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力是 τn=3.378-1.102 4=2.275 6（MPa），其自由扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力數(shù)值解與解析解十分接近，誤差為13.7%。數(shù)值解的扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力2.275 6 MPa占總剪應(yīng)力3.378 MPa的比例約為60.7%，這也與解析解的比值接近。

3 兩種求解方法比較及原因分析

（1）閉口薄壁桿件在此假定基礎(chǔ)上，運用薄壁桿件理論計算公式，計算約束扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力及約束扭轉(zhuǎn)正應(yīng)力。但是在用ANSYS計算閉口薄壁桿件時，運算過程中不會考慮到平截面假定。由上述分析可知，薄壁桿件解析解理論不考慮截面外形輪廓線的變形，這與實際情況是不符的。而用有限元軟件ANSYS進(jìn)行數(shù)值計算反映了截面輪廓線的變形，所以兩者產(chǎn)生了較大的誤差。

（2）剪力滯后效應(yīng)會使ANSYS數(shù)值解在界面邊緣的值不均勻，使得角點處的最大值遠(yuǎn)大于解析解。如在第2節(jié)ANSYS數(shù)值解與解析解的比較中，由于橫力彎曲所引起的固定端正應(yīng)力在上下板上應(yīng)該是均勻分布的，但是從ANSYS數(shù)值解計算圖中可以看出在上下頂板上應(yīng)力分布是不均勻的，特別是靠近節(jié)點板處，在腹板和頂板的交界處最大，隨著離開節(jié)點距離的增大而逐漸減小，因此正應(yīng)力的橫向分布呈曲線形狀，使得頂、底板的中間小而兩邊大的分布狀態(tài)，使得彎曲正應(yīng)力呈現(xiàn)不均勻分布的現(xiàn)象。

（3）局部集中效應(yīng)會導(dǎo)致最大值出現(xiàn)在集中力作用點處，以及在腹板與頂、底板的交界處出現(xiàn)最大值。由于集中效應(yīng)所造成的應(yīng)力最大值與按薄壁桿件理論求得的解析解最大值有極大的誤差，所以比較力的作用點處的值是沒有意義的。根據(jù)圣維南原理，在遠(yuǎn)離力的作用點處的應(yīng)力值可以應(yīng)用等效荷載去求解，其與理論求解結(jié)果是相吻合的。在力的作用截面上，由于薄壁桿件的厚度較小，在截面上按照圣維南原理受到集中荷載的影響較大，其用ANSYS計算的數(shù)值解與理論解析解的誤差也是相當(dāng)大的。

4 結(jié)語

（1）用實體對閉口薄壁桿件建立有限元模型，可以很好地得出正應(yīng)力及剪應(yīng)力在截面上的分布情況，而且與用薄壁桿件理論得到的解析解分布相當(dāng)吻合，如圖10和圖11所示。

圖10 數(shù)值解與解析解吻合

圖11 ANSYS計算模型

在角點處有集中效應(yīng)、剪切滯后效應(yīng)現(xiàn)象出現(xiàn)，所以在角點處的應(yīng)力比數(shù)值解要大得多，應(yīng)力分布也不是線性分布。由于殼單元在處理上與實體單元存在差異，尤其是在角點處得到的數(shù)值解與解析解十分接近，誤差不會超過10%。以豎向力的橫力彎曲為例，解析解在有角點處的數(shù)值為44.4 MPa，用殼單元分析得到的數(shù)值解是45.698 MPa,兩者誤差僅為2.9%,是相當(dāng)吻合的。

（2）對于兩種荷載（豎向力、軸力）下的閉口薄壁桿件的翹曲效應(yīng)不一樣，在軸力作用下自由端的翹曲效應(yīng)比較大。解析解得到的翹曲正應(yīng)力占到了66.2%,用實體分析得到的結(jié)果是57.2%，用殼單元分析得到的結(jié)果是50.4%，兩種翹曲正應(yīng)力數(shù)值解所占比例都小于解析解結(jié)果。由于在集中荷載作用面上會有應(yīng)力集中,圣維南原理不適用，所得到的總應(yīng)力比實際情況偏大，并不是簡單的線性疊加。