汽車盤式制動(dòng)器時(shí)變穩(wěn)定性的分析與優(yōu)化?

王晗蓓，于德介，黃 亞

前言

制動(dòng)系統(tǒng)是底盤的重要組成部分，制動(dòng)工況下產(chǎn)生的制動(dòng)噪聲往往造成行人和乘客不適。制動(dòng)器部件的振動(dòng)也會(huì)加速結(jié)構(gòu)老化，增加故障率。由于制動(dòng)尖叫是制動(dòng)噪聲最主要的噪聲形式，其聲壓級(jí)大，所以目前絕大部分的研究工作都針對(duì)尖叫聲。

隨著有限元方法的引入，基于有限元的制動(dòng)噪聲分析也相繼展開(kāi)。Blaschke等[1]定義了制動(dòng)器摩擦界面的接觸屬性，采用復(fù)特征值方法分析了制動(dòng)器的尖叫傾向性。Liu等[2]考慮了制動(dòng)壓力、制動(dòng)盤轉(zhuǎn)速、摩擦因數(shù)等參數(shù)對(duì)系統(tǒng)特征值的影響，通過(guò)優(yōu)化特征值達(dá)到了消除制動(dòng)尖叫的目的。Guillaume等[3]利用制動(dòng)器的有限元模型進(jìn)行模態(tài)分析，采用復(fù)特征值方法分析制動(dòng)器的穩(wěn)定性，研究了阻尼系數(shù)變化對(duì)盤式制動(dòng)器穩(wěn)定性的影響。Francesco[4]采用簡(jiǎn)化的制動(dòng)器有限元模型，考慮摩擦接觸面摩擦的變化，對(duì)其進(jìn)行復(fù)特征值分析和瞬態(tài)非線性分析。孫振華等[5]用有限元方法對(duì)制動(dòng)器部件進(jìn)行模態(tài)綜合，分析了子結(jié)構(gòu)模態(tài)與耦合系統(tǒng)不穩(wěn)定模態(tài)的關(guān)系，找到了導(dǎo)致尖叫的關(guān)鍵因素。宿新東等[6]對(duì)制動(dòng)器進(jìn)行建模、仿真，通過(guò)參數(shù)優(yōu)化改善了結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性，最后驗(yàn)證了方法的有效性。文武等[7]用線性彈簧力描述制動(dòng)時(shí)摩擦面間的法向力，應(yīng)用Hess方法求解系統(tǒng)的復(fù)特征值，結(jié)果發(fā)現(xiàn)摩擦因數(shù)、閘片托的厚度等參數(shù)是影響制動(dòng)尖叫的重要因素，并通過(guò)優(yōu)化閘片托的厚度降低了制動(dòng)尖叫傾向。陳光雄等[8]分別采用ABAQUS和NASTRAN對(duì)制動(dòng)器進(jìn)行復(fù)特征值分析，結(jié)果表明即使兩者的邊界條件和網(wǎng)格類型相同，所得結(jié)果也不盡相同，采用NASTRAN通常只能預(yù)測(cè)到中高頻尖叫噪聲。呂輝等[9]基于復(fù)特征值分析，利用代理模型表示制動(dòng)器不穩(wěn)定模態(tài)的阻尼比，建立了制動(dòng)器制動(dòng)尖叫的參數(shù)化模型，并對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化，結(jié)果表明該方法能提高分析效率并有效降低制動(dòng)器的尖叫傾向性。管迪華等[10]通過(guò)對(duì)制動(dòng)器系統(tǒng)進(jìn)行復(fù)特征值分析、子結(jié)構(gòu)模態(tài)構(gòu)成分析、子結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)靈敏度分析和能量饋入分析等，找出了影響尖叫的關(guān)鍵子結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵模態(tài)，并證實(shí)修改制動(dòng)盤參數(shù)能有效抑制制動(dòng)噪聲。

國(guó)內(nèi)外關(guān)于確定性盤式制動(dòng)器的制動(dòng)噪聲分析已經(jīng)取得了豐碩成果。然而不確定性廣泛存在于各種工程結(jié)構(gòu)中，盡管某些領(lǐng)域的不確定性研究早已深入，但在制動(dòng)噪聲領(lǐng)域還處于起步階段。近年來(lái)不確定性盤式制動(dòng)器的制動(dòng)噪聲研究引起學(xué)界的關(guān)注。Matsushima等[11]針對(duì)制動(dòng)器系統(tǒng)中摩擦因數(shù)、接觸剛度和制動(dòng)壓力分布等的不確定性，提出一種概念設(shè)計(jì)優(yōu)化方法，通過(guò)修改制動(dòng)器部件幾何形狀降低制動(dòng)噪聲傾向性，試驗(yàn)驗(yàn)證了方法的可行性。呂輝等[12]結(jié)合響應(yīng)面法和復(fù)特征值分析法，提出了降低隨機(jī)和區(qū)間不確定制動(dòng)器系統(tǒng)制動(dòng)尖叫的分析方法，并利用蒙特卡洛法對(duì)系統(tǒng)的振動(dòng)穩(wěn)定性進(jìn)行參數(shù)靈敏度分析和可靠性分析，結(jié)果表明增加支撐背板剛度能減小制動(dòng)器尖叫傾向性。Sarrouy等[13]對(duì)簡(jiǎn)化的制動(dòng)器模型用隨機(jī)參數(shù)分別描述制動(dòng)器系統(tǒng)的摩擦因數(shù)和接觸剛度，基于多項(xiàng)式混沌展開(kāi)計(jì)算系統(tǒng)的隨機(jī)特征值，用以判斷制動(dòng)器的尖叫傾向性，并將分析結(jié)果與蒙特卡洛模擬法分析結(jié)果對(duì)比，證明了該方法的有效性。Tisona[14]將不確定性和魯棒性引入制動(dòng)尖叫的預(yù)測(cè)，采用隨機(jī)場(chǎng)理論描述制動(dòng)器接觸面的不確定性，基于概率計(jì)算分析和魯棒性準(zhǔn)則來(lái)研究制動(dòng)器的穩(wěn)定性，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了方法的可行性。Amir等[15]結(jié)合Kriging代理模型和復(fù)特征值分析，考慮制動(dòng)器卡鉗的彈性模量和摩擦因數(shù)的不確定性，進(jìn)行制動(dòng)器系統(tǒng)的可靠性分析，研究了制動(dòng)器參數(shù)對(duì)制動(dòng)噪聲的影響，并證實(shí)采用代理模型有助于提高計(jì)算效率。Nechak等[16]結(jié)合Kriging代理模型和全局靈敏度分析，考慮制動(dòng)器參數(shù)的不確定性，提出一種預(yù)測(cè)制動(dòng)尖叫和制動(dòng)器優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。

目前，針對(duì)制動(dòng)器的可靠性研究多數(shù)基于靜態(tài)模型，未考慮制動(dòng)器穩(wěn)定可靠性隨時(shí)間的變化。Liu等[17]雖對(duì)制動(dòng)器在時(shí)域內(nèi)的摩擦因數(shù)變化進(jìn)行了試驗(yàn)，但僅針對(duì)制動(dòng)過(guò)程中參數(shù)的變化，未對(duì)其穩(wěn)健性進(jìn)行研究。

本文中針對(duì)制動(dòng)器在使用周期內(nèi)的磨損導(dǎo)致制動(dòng)器可靠度降低問(wèn)題，建立了含有隨機(jī)參數(shù)和隨機(jī)過(guò)程參數(shù)的制動(dòng)器時(shí)變不確定參數(shù)化模型；將時(shí)變可靠性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)可靠性問(wèn)題，提出了盤式制動(dòng)器系統(tǒng)的時(shí)變穩(wěn)定可靠性分析方法；以復(fù)特征值阻尼比最小化為優(yōu)化目標(biāo)，通過(guò)優(yōu)化制動(dòng)器系統(tǒng)參數(shù)，保證了制動(dòng)器系統(tǒng)在使用周期內(nèi)的穩(wěn)定可靠性。對(duì)某車浮鉗制動(dòng)器系統(tǒng)的研究表明，該方法能有效預(yù)測(cè)含時(shí)變和隨機(jī)參數(shù)制動(dòng)器系統(tǒng)的時(shí)變穩(wěn)定可靠性，尤其是提高制動(dòng)器使用后期的穩(wěn)定可靠度。

1 盤式制動(dòng)器參數(shù)化模型

1.1 復(fù)特征值分析方法

盤式制動(dòng)器系統(tǒng)處于制動(dòng)工況時(shí)，其有限元?jiǎng)恿W(xué)方程可表示為

式中:M，C和K為無(wú)摩擦作用時(shí)制動(dòng)器系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；f為制動(dòng)器系統(tǒng)的摩擦因數(shù)；Kf為摩擦接觸剛度矩陣；u，u·和u··為節(jié)點(diǎn)振動(dòng)位移矢量、速度矢量和加速度矢量。

接觸剛度會(huì)使系統(tǒng)剛度矩陣變成不對(duì)稱結(jié)構(gòu)，從而在一定條件下會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的模態(tài)頻率和模態(tài)振型是復(fù)數(shù)。工程實(shí)際中，對(duì)盤式制動(dòng)器模型進(jìn)行有限元分析時(shí)，通常不考慮系統(tǒng)的阻尼，故式(1)可寫成

設(shè)式(2)的解的形式為

將式(3)代入式(2)可得到其特征方程為

式中:s為系統(tǒng)復(fù)特征值；φ為對(duì)應(yīng)的特征向量。記

式中:a為系統(tǒng)的阻尼系數(shù)；b為系統(tǒng)的自然頻率。

根據(jù)文獻(xiàn)[12]，復(fù)特征值的阻尼比定義為

當(dāng)a＜0時(shí)阻尼比為正，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；當(dāng)a＞0時(shí)阻尼比為負(fù)，系統(tǒng)將不穩(wěn)定。

在工程實(shí)際中，由于對(duì)制動(dòng)器的仿真通常不考慮材料阻尼，得到的不穩(wěn)定模態(tài)比實(shí)際工程中的多，所以將判斷制動(dòng)器穩(wěn)定性的阻尼比[9]定義為

工程中通常根據(jù)阻尼比ζ?的正負(fù)性來(lái)判定盤式制動(dòng)器的穩(wěn)定性。

盤式制動(dòng)器參數(shù)通常存在不確定性，可運(yùn)用可靠性理論進(jìn)行穩(wěn)定性分析。在只含獨(dú)立隨機(jī)變量x的盤式制動(dòng)器模型中，可根據(jù)式(7)建立可靠性功能函數(shù):

1.2 制動(dòng)器可靠性功能函數(shù)的響應(yīng)面模型

為真實(shí)模擬制動(dòng)器的振動(dòng)特性，同時(shí)減小計(jì)算工作量，本文中利用Altair.Hypermesh軟件建立了某國(guó)產(chǎn)轎車的盤式制動(dòng)器簡(jiǎn)化模型，如圖1所示。

圖1 盤式制動(dòng)器的有限元模型

該簡(jiǎn)化模型包含制動(dòng)盤、制動(dòng)片、絕緣板、支撐背板等部件，共劃分成26 125個(gè)實(shí)體單元，37 043個(gè)節(jié)點(diǎn)，其中六面體單元(C3D8I)25 041個(gè)，五面體單元(C3D6)1 084個(gè)。在ABAQUS中定義約束條件，并在制動(dòng)片絕緣板上均勻施加制動(dòng)壓力，即可提交求解其復(fù)模態(tài)值。

選取制動(dòng)盤和制動(dòng)片的密度、厚度、摩擦因數(shù)等7個(gè)參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量，各參數(shù)取值范圍如表1所示。

表1 制動(dòng)器系統(tǒng)各參數(shù)試驗(yàn)設(shè)計(jì)取值范圍

利用響應(yīng)面方法[18](response surface methodology，RSM)構(gòu)建近似模型。該方法采用不同階次的多項(xiàng)式來(lái)近似表達(dá)響應(yīng)目標(biāo)與設(shè)計(jì)變量之間的關(guān)系，具有數(shù)學(xué)表達(dá)式簡(jiǎn)單、構(gòu)造效率高、計(jì)算量小和收斂速度快等特點(diǎn)。

采用拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法[19]在設(shè)計(jì)空間內(nèi)采樣，選取120組樣本點(diǎn)帶入到制動(dòng)器系統(tǒng)有限元模型中進(jìn)行計(jì)算，求得第7階模態(tài)的實(shí)部為正，為不穩(wěn)定模態(tài)。根據(jù)樣本的第7階模態(tài)特征值阻尼比，構(gòu)造出第7階模態(tài)復(fù)特征值阻尼比響應(yīng)面模型:

式中:c0和ci為待定系數(shù)；?(x)為基函數(shù)；N為基函數(shù)個(gè)數(shù)。

基于2階多項(xiàng)式響應(yīng)面模型，采用最小二乘法計(jì)算回歸系數(shù)矩陣，其基函數(shù)和相應(yīng)系數(shù)的計(jì)算結(jié)果如表2所示。

將表2中系數(shù)和基函數(shù)代入式(9)，則可得ζ1(x)的響應(yīng)面模型。對(duì)模型進(jìn)行誤差分析[20]，其中R檢驗(yàn)R2等于0.973，非常接近1；且均方根誤差(RMSE)僅為0.031，相對(duì)平均絕對(duì)誤差(RAAE)為0.022，兩者均較小。由此可知，復(fù)特征值阻尼比響應(yīng)面模型與真實(shí)的有限元模型逼近程度高，可在計(jì)算中代替真實(shí)有限元模型進(jìn)行計(jì)算。

表2 ζ1(x)的基函數(shù)及相應(yīng)系數(shù)取值

2 盤式制動(dòng)器的不確定參數(shù)

2.1 盤式制動(dòng)器的隨機(jī)參數(shù)

在盤式制動(dòng)器的使用過(guò)程中，隨著時(shí)間推移，制動(dòng)片和制動(dòng)盤厚度會(huì)變小，傳統(tǒng)方法用區(qū)間隨機(jī)變量描述制動(dòng)盤和制動(dòng)片的厚度，這一描述方式無(wú)法對(duì)制動(dòng)器的可靠性進(jìn)行動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)。本文中根據(jù)盤式制動(dòng)器系統(tǒng)特點(diǎn)，將隨機(jī)參數(shù)和隨機(jī)過(guò)程參數(shù)引入制動(dòng)器系統(tǒng)模型。

根據(jù)文獻(xiàn)[21]和文獻(xiàn)[23]中參數(shù)設(shè)置，采用獨(dú)立分布的隨機(jī)參數(shù)來(lái)描述部件材料密度、部分部件厚度和摩擦因數(shù)，則

式中μxi和σxi為第i個(gè)隨機(jī)變量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，其參數(shù)取值和分布類型如表3所示。

表3 盤式制動(dòng)器的隨機(jī)參數(shù)

2.2 盤式制動(dòng)器的隨機(jī)過(guò)程參數(shù)

為達(dá)到降低汽車速度的目的，制動(dòng)片與制動(dòng)盤之間通過(guò)摩擦提供阻力，將汽車的動(dòng)能轉(zhuǎn)換為熱能。因此，制動(dòng)盤和制動(dòng)片的磨損不可避免。在一定的制動(dòng)壓力下，根據(jù)文獻(xiàn)[24]，制動(dòng)片的磨損通常采用線性公式描述，其磨損值Δh1可近似為

式中:k0為磨損系數(shù)，取2.9×10-7m3/(N·m)；p為制動(dòng)壓力；p′為乘用車允許的最大制動(dòng)壓力，通常為8MPa；Ω為制動(dòng)器轉(zhuǎn)動(dòng)速度；r0為制動(dòng)盤的半徑中值；t為時(shí)間。

制動(dòng)盤的磨損比制動(dòng)片的磨損小，根據(jù)相關(guān)研究[25-26]，其磨損值 Δh2為

根據(jù)工程實(shí)際，制動(dòng)盤和制動(dòng)片的厚度均值隨時(shí)間而變化。本文中用隨機(jī)過(guò)程變量描述制動(dòng)盤和制動(dòng)片厚度的不確定性。將設(shè)計(jì)使用時(shí)間T分為s個(gè)相等的時(shí)間段[27]，每時(shí)間段為τ＝T/s，在每一時(shí)間段中選取某一時(shí)刻作為時(shí)間樣本，計(jì)算該時(shí)刻的制動(dòng)盤和制動(dòng)片厚度，作為此時(shí)間段內(nèi)隨機(jī)過(guò)程參數(shù)的均值，從而將隨機(jī)過(guò)程變量離散為s個(gè)正態(tài)分布的隨機(jī)向量Zr，即

式中:T為制動(dòng)器設(shè)計(jì)使用時(shí)間；Z(t)為含s個(gè)時(shí)間樣本的隨機(jī)過(guò)程變量；Zr為第r個(gè)時(shí)間樣本的隨機(jī)向量；xr2為第r個(gè)時(shí)間樣本，制動(dòng)盤厚度參數(shù)；xr4為第r個(gè)時(shí)間樣本，制動(dòng)片厚度參數(shù)；μri和 σri分別為的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，其參數(shù)取值如表4所示。

表4 盤式制動(dòng)器的隨機(jī)過(guò)程參數(shù)

3 盤式制動(dòng)器的時(shí)變穩(wěn)定可靠性分析

3.1 基于隨機(jī)參數(shù)的結(jié)構(gòu)可靠性分析

系統(tǒng)的可靠性是指系統(tǒng)滿足約束條件的概率，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)為隨機(jī)參數(shù)時(shí)，其可靠度計(jì)算公式為

式中:Pr(·)為系統(tǒng)可靠度概率；x為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量向量；f(x)為聯(lián)合概率密度函數(shù)；g(x)為功能函數(shù)。g(x)＝0為極限狀態(tài)面，可用失效點(diǎn)處的切平面近似表示為

可靠度指標(biāo)可表示為

式中:μg為功能函數(shù) g(x)的均值；δg為功能函數(shù)g(x)的標(biāo)準(zhǔn)差。

故有

由上可計(jì)算得系統(tǒng)的可靠度為

式中Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率累計(jì)函數(shù)。

3.2 盤式制動(dòng)器的時(shí)變穩(wěn)定可靠性分析

當(dāng)盤式制動(dòng)器中含有隨機(jī)過(guò)程變量和隨機(jī)變量時(shí)，其穩(wěn)定可靠度為

式中:g(·)為功能函數(shù)；X為獨(dú)立分布的隨機(jī)變量；Z(t)為獨(dú)立分布的隨機(jī)過(guò)程變量；T為設(shè)計(jì)使用時(shí)間。

對(duì)于時(shí)變可靠性分析問(wèn)題，將隨機(jī)過(guò)程變量離散為s個(gè)隨機(jī)向量Zr(r＝1，2，…s)，從而將時(shí)變可靠性問(wèn)題轉(zhuǎn)化成靜態(tài)可靠性問(wèn)題求解，根據(jù)串聯(lián)體系的可靠度理論，式(18)可變換為

盤式制動(dòng)器時(shí)變穩(wěn)定可靠性問(wèn)題的功能函數(shù)是顯式多項(xiàng)式函數(shù)，根據(jù)式(8)，功能函數(shù)定義為

功能函數(shù)值可采用蒙特卡洛方法[28]計(jì)算。盤式制動(dòng)器時(shí)變穩(wěn)定可靠性分析的主要步驟如下。

(1)取s＝6個(gè)時(shí)間樣本，用于分析盤式制動(dòng)器穩(wěn)定可靠性隨時(shí)間變化趨勢(shì)，即將設(shè)計(jì)時(shí)間T定義為6×7200s，在每一時(shí)間段內(nèi)取一時(shí)刻 tr(r＝1，…，6)，從式(13)有

(2) 對(duì)時(shí)間樣本 tr(r＝1，…，6)，根據(jù)式(21)和表4，計(jì)算xr2和xr4的概率分布，生成隨機(jī)樣本Zbr＝[，]T。對(duì)系統(tǒng)中制動(dòng)盤密度和摩擦因數(shù)等隨機(jī)參數(shù)，則根據(jù)式(10)和表3中概率分布，提取隨機(jī)樣本 Xb＝[xb1，xb3，x5b，xb6，x7b]。 將獲得的隨機(jī)樣本 Xb和代入式(20)制動(dòng)器系統(tǒng)極限狀態(tài)方程中，若g(Xb，Zbr)≥0，t∈[0，T]，則系統(tǒng)穩(wěn)定可靠次數(shù) ng＝ng＋1。

(3)重復(fù)步驟(2)，提取不同的隨機(jī)樣本，直到采樣次數(shù)達(dá)到nk＝106次，則在tr時(shí)間樣本下，制動(dòng)器的穩(wěn)定可靠度為

(4)根據(jù)式(22)計(jì)算全部時(shí)間樣本的制動(dòng)器可靠度，最終得到制動(dòng)器系統(tǒng)在其使用周期內(nèi)的穩(wěn)定可靠度[27]為

由以上步驟，計(jì)算得到隨時(shí)間變化的盤式制動(dòng)器系統(tǒng)復(fù)特征值阻尼比概率分布和隨時(shí)間變化的盤式制動(dòng)器穩(wěn)定可靠度指標(biāo)與可靠性，分別如圖2、圖3和表5所示。

綜合圖2、圖3和表5可知:隨著制動(dòng)盤和制動(dòng)盤的磨損，阻尼比的概率密度函數(shù)曲線左移，即制動(dòng)器在使用之初，系統(tǒng)穩(wěn)定性好，符合使用要求；但隨著制動(dòng)器的使用磨損，制動(dòng)器的穩(wěn)定可靠性逐漸降低，系統(tǒng)穩(wěn)定性逐漸變差，在t＝12h時(shí)，系統(tǒng)的可靠度指標(biāo)為-0.49，對(duì)應(yīng)的可靠度為31.21%。

圖2 第7階阻尼比概率密度函數(shù)隨時(shí)間變化曲線

圖3 系統(tǒng)穩(wěn)定可靠度指標(biāo)隨時(shí)間變化曲線

表5 隨時(shí)間變化的盤式制動(dòng)器穩(wěn)定可靠度指標(biāo)和可靠性

4 含時(shí)變參數(shù)盤式制動(dòng)器穩(wěn)定性優(yōu)化

4.1 時(shí)變穩(wěn)定性優(yōu)化模型

為獲得在設(shè)計(jì)使用周期中穩(wěn)定的制動(dòng)器系統(tǒng)，須對(duì)制動(dòng)器的關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。

根據(jù)盤式制動(dòng)器穩(wěn)定性分析結(jié)果，選取支撐背板的密度均值μx5和厚度均值μx6作為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量，取值范圍見(jiàn)表6。

表6 優(yōu)化設(shè)計(jì)變量取值范圍

盤式制動(dòng)器穩(wěn)定可靠性優(yōu)化的目的是增大不穩(wěn)定特征值的阻尼比，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。以制動(dòng)器系統(tǒng)的阻尼比為優(yōu)化目標(biāo)，根據(jù)式(9)，含時(shí)變參數(shù)盤式制動(dòng)器系統(tǒng)的阻尼比為

式中:x＝{d，X，Z(t)}為系統(tǒng)參數(shù)；d＝[x5，x6]為設(shè)計(jì)變量；X＝[x1，x3，x7]為隨機(jī)參數(shù)；Z(t)＝ [Z1，Z2，…，Zs]為含s個(gè)時(shí)間樣本的隨機(jī)過(guò)程向量；Zr＝[xr2，xr4]為時(shí)變隨機(jī)參數(shù)，r＝1，2，…，s。

制動(dòng)器時(shí)變穩(wěn)定可靠性的優(yōu)化目標(biāo)為

當(dāng)隨機(jī)過(guò)程向量Z(t)離散為s個(gè)時(shí)間樣本后，-ζ(x)轉(zhuǎn)化為一隨機(jī)變量，其均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為μ-ζ(x)和 σ-ζ(x)，且-ζ(x)將以 0.997 的概率分布在[μ-ζ(x)-3σ-ζ(x)，μ-ζ(x)＋3σ-ζ(x)]區(qū)間內(nèi)。 取其上限值為H(-ζ(x))，則 H(-ζ(x))滿足最小值條件即可，即式(25)所示的優(yōu)化目標(biāo)可近似等效為

制動(dòng)器時(shí)變穩(wěn)定可靠性的約束條件為

式中:gj(x)為第 j個(gè)約束函數(shù)；nj為約束函數(shù)的個(gè)數(shù)。

若 gj(x)在[μgj(x)-3σgj(x)，μgj(x)＋3σgj(x)]中的下限值為L(zhǎng) (gj(x))，則式(27)所示的約束條件可等效為

考慮制動(dòng)器的輕量化設(shè)計(jì)，通常要求優(yōu)化后的支撐背板質(zhì)量不高于其初始值的1.1倍[12]，可得到第2個(gè)約束條件為:1.1×6.6×7.85-x5x6≥0。

基于以上分析，制動(dòng)器時(shí)變穩(wěn)定可靠性的優(yōu)化模型可等效為式中:dR，dL為設(shè)計(jì)變量的上下限；T為制動(dòng)器設(shè)計(jì)使用時(shí)間；H(x5x6)為 x5x6的極大值；7.2≤μx5≤8.3；6.3≤μx6≤7.7。

式(29)所示的優(yōu)化模型為嵌套優(yōu)化模型，其外層為設(shè)計(jì)變量的尋優(yōu)，內(nèi)層為目標(biāo)函數(shù)H(-ζ(x))和約束函數(shù)L(gj(x))的求解。在不確定函數(shù)的顯式表達(dá)式已知情況下，可采用蒙特卡洛方法快速求解H(-ζ(x))和 L(gj(x))。

4.2 時(shí)變穩(wěn)定性優(yōu)化流程

對(duì)式(29)所示的模型進(jìn)行優(yōu)化，外層尋優(yōu)選擇遺傳算法，相關(guān)參數(shù)設(shè)置為:種群規(guī)模為100，代數(shù)為100，二進(jìn)制編碼為8，代溝為0.9，交叉概率為0.7，變異率為0.05；初始化設(shè)計(jì)變量，支撐背板厚度均值和支撐背板密度均值均選擇初始值；內(nèi)層的計(jì)算采用蒙特卡洛方法迭代108次。

圖4 盤式制動(dòng)器時(shí)變穩(wěn)定可靠性優(yōu)化流程圖

盤式制動(dòng)器時(shí)變穩(wěn)定可靠性優(yōu)化流程如圖4所示。圖4中，s為生成的時(shí)間樣本總數(shù)；在第r個(gè)時(shí)間樣本下，提取nk組隨機(jī)樣本；其中，dk0表示第k個(gè)設(shè)計(jì)變量樣本；Xk代表第k個(gè)隨機(jī)參數(shù)樣本；Zkr則代表第k個(gè)隨機(jī)過(guò)程參數(shù)樣本；為保證優(yōu)化過(guò)程的精度和效率，參照文獻(xiàn)[12]，取 s＝104，nk＝104。

4.3 時(shí)變穩(wěn)定性優(yōu)化結(jié)果分析

最終優(yōu)化得到設(shè)計(jì)變量的最優(yōu)值為:μx5＝7.23g/cm3，μx6＝7.35mm。以優(yōu)化后結(jié)果替換表3中相應(yīng)的支撐背板密度x5和厚度x6的均值，而制動(dòng)器的其他參數(shù)仍按表3取值，基于盤式制動(dòng)器時(shí)變穩(wěn)定可靠性分析理論，得到優(yōu)化后隨時(shí)間變化的盤式制動(dòng)器系統(tǒng)復(fù)特征值阻尼比概率分布和可靠度指標(biāo)與可靠度，如圖5、圖6和表7所示。

表7 優(yōu)化后隨時(shí)間變化的制動(dòng)器穩(wěn)定可靠度指標(biāo)和可靠性

綜合圖5、圖6和表7可知:優(yōu)化后阻尼比的概率密度函數(shù)曲線整體右移，在t＝12h時(shí)，概率密度函數(shù)圖像基本位于橫坐標(biāo)-0.01右側(cè)；在t∈[0，12h]，盡管系統(tǒng)的可靠度指標(biāo)隨著制動(dòng)器的磨損在減小，但當(dāng)t＝12h時(shí)，可靠度指標(biāo)為2.89，對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)穩(wěn)定可靠度從31.21%提升至99.81%，可以認(rèn)為系統(tǒng)足夠穩(wěn)定。故優(yōu)化后的制動(dòng)器系統(tǒng)在設(shè)計(jì)使用周期內(nèi)穩(wěn)定可靠，優(yōu)化的效果良好。

5 結(jié)論

針對(duì)制動(dòng)器在使用周期內(nèi)的磨損導(dǎo)致制動(dòng)器可靠度降低的問(wèn)題，本文中基于可靠性分析理論，提出了盤式制動(dòng)器時(shí)變穩(wěn)定可靠性分析方法和優(yōu)化方法，主要研究結(jié)論如下。

圖5 優(yōu)化后第7階阻尼比概率密度函數(shù)隨時(shí)間變化曲線

(1)采用隨機(jī)參數(shù)和隨機(jī)過(guò)程參數(shù)對(duì)制動(dòng)器系統(tǒng)進(jìn)行描述，將制動(dòng)盤和制動(dòng)片的厚度描述為時(shí)間t的函數(shù)，可建立含隨機(jī)參數(shù)和時(shí)變隨機(jī)參數(shù)的盤式制動(dòng)器穩(wěn)定可靠性模型，進(jìn)行制動(dòng)器在使用過(guò)程中的可靠性動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)。

(2)以復(fù)特征值阻尼比負(fù)值的最小化為優(yōu)化目標(biāo)，利用時(shí)變可靠性分析理論和遺傳優(yōu)化方法，對(duì)某車浮鉗制動(dòng)器系統(tǒng)的支撐背板的密度和厚度進(jìn)行優(yōu)化，成功提高了制動(dòng)器使用后期的穩(wěn)定可靠度，表明本文方法能有效用于提高制動(dòng)器系統(tǒng)在設(shè)計(jì)周期內(nèi)的穩(wěn)定可靠性。

圖6 優(yōu)化后系統(tǒng)穩(wěn)定可靠度指標(biāo)隨時(shí)間變化曲線