表貼式永磁電機(jī)磁場(chǎng)的解析計(jì)算與分析?

張河山，鄧兆祥，2，楊金歌，妥吉英，張 羽

前言

永磁電機(jī)具有高轉(zhuǎn)矩密度、高效率、高功率密度等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于電動(dòng)汽車、船舶等工業(yè)領(lǐng)域[1]。其結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)電機(jī)性能影響較大，因此，為設(shè)計(jì)性能優(yōu)異的電機(jī)需要改變和優(yōu)化電機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)，并采用有限元法或解析法分析其電磁場(chǎng)特性。有限元法可考慮材料非線性影響和分析較復(fù)雜結(jié)構(gòu)電機(jī)性能，但計(jì)算過程耗時(shí)、占用資源，且難以對(duì)電機(jī)特性及其影響因素進(jìn)行規(guī)律性研究，具有明顯局限性。電磁場(chǎng)數(shù)值解析法計(jì)算量較小，物理概念清晰，能清晰反映電機(jī)性能與設(shè)計(jì)參數(shù)的關(guān)系，適用于電機(jī)設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化，因此逐漸引起國內(nèi)外學(xué)者廣泛關(guān)注。

Bracikowski[2]和Chen[3]等利用集總參數(shù)磁路法建立永磁電機(jī)電磁場(chǎng)模型，可進(jìn)行平均磁場(chǎng)分析，計(jì)算量小，但無法分析磁場(chǎng)具體分布，計(jì)算準(zhǔn)確性受模型影響較大。Zhu等[4-5]基于拉普拉斯和泊松方程的磁位解析法對(duì)不考慮定子開槽時(shí)永磁無刷電機(jī)均勻氣隙磁場(chǎng)和電樞繞組磁場(chǎng)進(jìn)行建模與分析。在此基礎(chǔ)上，Chen等[6-7]引入相對(duì)比磁導(dǎo)函數(shù)來修正不考慮定子開槽時(shí)光滑氣隙磁密，可模擬定子開槽的影響，但無法考慮具體槽型和齒尖對(duì)磁場(chǎng)的影響。Zarko等[8-9]將定子槽深假設(shè)為無窮大，通過共形映射求解電機(jī)氣隙相對(duì)比磁導(dǎo)函數(shù)，可較準(zhǔn)確地刻畫電機(jī)齒槽效應(yīng)對(duì)氣隙磁場(chǎng)的影響，但是由于其不能考慮具體槽深對(duì)磁場(chǎng)的影響，也不能考慮定子槽間的相互影響，工程應(yīng)用較少。Zhu等[10]采用傅里葉級(jí)數(shù)法，將電機(jī)求解域劃分為多個(gè)子域，結(jié)合磁場(chǎng)邊界條件，將定子槽作為求解域，考慮了定子槽的實(shí)際尺寸，計(jì)算了永磁電機(jī)開路磁場(chǎng)，計(jì)算精度較高，但未建立定子槽開口子域模型。郭思源等[11]將子域法應(yīng)用到外轉(zhuǎn)子游標(biāo)電機(jī)，并考慮了徑向、平行和Halbach充磁方式，分別計(jì)算了氣隙磁密、空載反電勢(shì)和繞組電感，并通過有限元驗(yàn)證，但也未建立定子槽開口子域模型。Wu等[12-13]在文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)上考慮定子齒尖的影響，將定子槽開口作為求解子域，分析了考慮齒尖時(shí)永磁電機(jī)空載磁場(chǎng)和電樞繞組反應(yīng)場(chǎng)的分布情況，計(jì)算結(jié)果與有限元法吻合較好。Liang等[14]利用子域模型法分析輪輻式永磁同步電機(jī)，將磁橋作為求解子域，考慮了電樞反應(yīng)場(chǎng)對(duì)磁橋飽和的影響，將子域模型法推廣到更實(shí)際的工程應(yīng)用。

在文獻(xiàn)[12]和文獻(xiàn)[13]的基礎(chǔ)上，本文中以一臺(tái)在定子齒上開有輔助槽的永磁電機(jī)作為研究對(duì)象，在二維極坐標(biāo)平面，以矢量磁位為求解變量，在永磁體和定子槽子域建立泊松方程，在氣隙、定子槽開口和輔助槽子域建立拉普拉斯方程，通過分離變量法求解各子域矢量磁位通解，根據(jù)邊界條件和不同子域交界面條件求解各階次諧波系數(shù)。計(jì)算電機(jī)氣隙磁密、空載反電動(dòng)勢(shì)、齒槽轉(zhuǎn)矩和電磁轉(zhuǎn)矩等性能，應(yīng)用有限元驗(yàn)證解析法的準(zhǔn)確性。在此基礎(chǔ)上，研究了極弧系數(shù)、輔助槽尺寸和定子槽開口寬度對(duì)電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩和電磁轉(zhuǎn)矩的影響規(guī)律。另外，提出一種不等槽開口寬度配合的解析模型，可降低齒槽轉(zhuǎn)矩和電磁轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)。

1 解析計(jì)算模型

以內(nèi)轉(zhuǎn)子表貼式永磁電機(jī)進(jìn)行磁場(chǎng)解析計(jì)算，二維極坐標(biāo)系下結(jié)構(gòu)如圖1所示，將整個(gè)求解域劃分為5類子域:永磁體(子域Ⅰ)、氣隙(子域Ⅱ)、定子槽(子域Ⅲ)、槽開口(子域Ⅳ)和輔助槽(子域Ⅴ)。各子域矢量磁位分布的通解可通過求解子域內(nèi)的拉普拉斯方程或泊松方程得到。為便于數(shù)學(xué)建模，作如下假設(shè):

(1)忽略端部效應(yīng)；

(2)永磁體材料去磁曲線為線性；

(3)定、轉(zhuǎn)子鐵心材料的磁導(dǎo)率無窮大；

(4)定子槽內(nèi)線圈邊的電流密度Ji1和Ji2均勻分布。

磁場(chǎng)分布可用矢量磁位表示:

式中:A為矢量磁位；B為磁通密度；H為磁場(chǎng)強(qiáng)度；J為電流密度；M為永磁體剩余磁化強(qiáng)度。

1.1 永磁體子域通解

永磁體子域滿足泊松方程[15]為

式中:Mr和Mα分別為永磁體剩余磁化強(qiáng)度的徑向和切向分量:

圖1 電機(jī)幾何模型和子域設(shè)置

其中

當(dāng)永磁體徑向充磁時(shí)[16]:

當(dāng)永磁體平行充磁時(shí):

其中

由于假設(shè)定轉(zhuǎn)子鐵心磁導(dǎo)率為無窮大，可認(rèn)為磁力線垂直于鐵心表面，所以切向磁感應(yīng)強(qiáng)度和切向磁場(chǎng)強(qiáng)度皆為零[17]，因此滿足邊界條件:

由分離變量法可得永磁體子域通解為

其中

1.2 氣隙子域通解

氣隙子域滿足拉普拉斯方程[18]:

由分離變量法可得氣隙子域通解為

1.3 定子槽子域通解

定子槽子域滿足泊松方程:

因假設(shè)磁力線垂直于鐵心表面，故滿足邊界條件:

電樞繞組電流密度為

由分離變量法可得定子槽子域通解為

其中

1.4 定子槽開口子域通解

定子槽開口子域滿足拉普拉斯方程，即

其邊界條件為

由分離變量法可得槽開口子域通解為

1.5 輔助槽子域通解

輔助槽子域滿足拉普拉斯方程:

其邊界條件為

由分離變量法可得輔助槽子域通解為

2 邊界條件

在不同子域的交界面法向磁密和切向磁場(chǎng)強(qiáng)度具有連續(xù)性，上述各子域通解中的諧波系數(shù)可通過建立如下邊界條件確定。

(1)在永磁體子域和氣隙子域的交界面法向磁密和切向磁場(chǎng)強(qiáng)度相等，可得

(2)在定子槽子域與定子槽開口子域交界面法向磁密和切向磁場(chǎng)強(qiáng)度相等，可得

(3)在氣隙子域、定子槽開口子域和輔助槽開口的交界面法向磁通密度和切向磁場(chǎng)強(qiáng)度相等，可得:

利用式(41)～式(46)求解積分常數(shù)，將其改寫為矩陣形式，然后聯(lián)合求解可得到5類子域中各階次傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)。

3 電磁性能

電樞槽內(nèi)左側(cè)線圈邊的磁鏈可通過矢量磁位分布計(jì)算:

同理，另外一側(cè)線圈邊的磁鏈為

每個(gè)線圈邊的面積為

定子槽內(nèi)繞組布線可通過矩陣表示:

三相磁鏈為

A相反電動(dòng)勢(shì)為

齒槽轉(zhuǎn)矩為

電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩為

4 磁場(chǎng)計(jì)算與有限元驗(yàn)證

以一臺(tái)8極12槽的永磁電機(jī)為例，其主要參數(shù)如表1所示。

氣隙磁密的徑向和切向分量為

為驗(yàn)證上述理論推導(dǎo)的正確性，分別利用Matlab和Ansoft/Maxwell建立永磁電機(jī)磁場(chǎng)模型。圖2～圖5分別為用解析法和有限元法算得的空載氣隙磁密、反電動(dòng)勢(shì)、齒槽轉(zhuǎn)矩和電磁轉(zhuǎn)矩。可以看出，解析法與有限元法的計(jì)算結(jié)果吻合得較好，證明了解析法計(jì)算結(jié)果是可信的。

表1 電機(jī)主要參數(shù)

5 電磁特性影響因素研究

在驗(yàn)證解析計(jì)算結(jié)果正確的基礎(chǔ)上，研究了極弧系數(shù)、輔助槽寬度與深度和定子槽開口寬度對(duì)電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩和電磁轉(zhuǎn)矩的影響。

極弧系數(shù)是影響電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩和電磁轉(zhuǎn)矩的重要因素之一。圖6為電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩和電磁轉(zhuǎn)矩隨極弧系數(shù)的變化曲線。由圖6(a)可知，隨著極弧系數(shù)的增大，齒槽轉(zhuǎn)矩先減小后增大。當(dāng)極弧系數(shù)為0.76時(shí)，齒槽轉(zhuǎn)矩最小為0.054 9N·m；當(dāng)極弧系數(shù)為1時(shí)，齒槽轉(zhuǎn)矩最大為0.673N·m。由圖6(b)可知，隨著極弧系數(shù)的增大，電磁轉(zhuǎn)矩均值由5.339逐漸增大至6.812N·m，增幅為27.59%。因此在設(shè)計(jì)極弧系數(shù)時(shí)應(yīng)綜合考慮，在降低齒槽轉(zhuǎn)矩的同時(shí)保持有較大的電磁轉(zhuǎn)矩。

圖2 空載徑向和切向氣隙磁密

圖3 空載反電動(dòng)勢(shì)

圖4 齒槽轉(zhuǎn)矩

圖5 電磁轉(zhuǎn)矩

圖6 極弧系數(shù)對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩和電磁轉(zhuǎn)矩的影響

圖7 為電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩和電磁轉(zhuǎn)矩隨輔助槽寬度的變化曲線。由圖7(a)可知，隨著輔助槽寬度增大，齒槽轉(zhuǎn)矩呈現(xiàn)不規(guī)則的變化趨勢(shì)，當(dāng)輔助槽寬度與定子槽開口寬度比值為1.67時(shí)，齒槽轉(zhuǎn)矩最大，為0.884 7N·m；當(dāng)比值為3.33時(shí)，齒槽轉(zhuǎn)矩最小，為0.046 6N·m。由圖7(b)可知，隨著輔助槽寬度增大，電磁轉(zhuǎn)矩均值由6.514逐漸下降至4.966N·m，降幅為23.76%。因此只有合理選取輔助槽尺寸才能在有效降低齒槽轉(zhuǎn)矩的同時(shí)保持較好的電磁轉(zhuǎn)矩特性。

圖7 輔助槽寬度對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩和電磁轉(zhuǎn)矩的影響

圖8 輔助槽深度對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩和電磁轉(zhuǎn)矩的影響

圖8 為電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩和電磁轉(zhuǎn)矩隨輔助槽深度的變化曲線。由圖8(a)可以看出，齒槽轉(zhuǎn)矩隨輔助槽深度的增大而減小。當(dāng)輔助槽深度與定子槽開口高度比值小于0.5時(shí)，隨著輔助槽深度的增大，齒槽轉(zhuǎn)矩由0.371 5迅速下降至0.343 8N·m，降幅為7.46%；當(dāng)比值大于0.5后，齒槽轉(zhuǎn)矩基本保持不變。由圖8(b)可知，電磁轉(zhuǎn)矩隨輔助槽深度的增大而減小。當(dāng)輔助槽深度與定子槽開口高度比值小于0.5時(shí)，隨著輔助槽深度的增大，電磁轉(zhuǎn)矩均值由6.527 5下降至6.515N·m，降幅為0.191%，當(dāng)比值大于0.5后，電磁轉(zhuǎn)矩均值基本保持不變。在實(shí)際工程應(yīng)用中，輔助槽太淺，齒槽轉(zhuǎn)矩削弱不明顯，過深則會(huì)影響磁場(chǎng)分布和定子機(jī)械強(qiáng)度，因此應(yīng)合理設(shè)計(jì)輔助槽深度，在有效抑制齒槽轉(zhuǎn)矩的同時(shí)保證有較好的電磁轉(zhuǎn)矩特性。

定子槽開口是引起永磁電機(jī)氣隙磁導(dǎo)變化的一個(gè)重要因素，因此定子槽開口寬度大小會(huì)對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩和電磁轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生重要影響。圖9為電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩和電磁轉(zhuǎn)矩隨定子槽開口寬度的變化曲線。由圖9(a)可知，隨著槽開口寬度增大，齒槽轉(zhuǎn)矩先增大后減小，當(dāng)槽開口寬度為 10°時(shí)，齒槽轉(zhuǎn)矩最大為0.764 5N·m；當(dāng)槽開口寬度為20°時(shí)，齒槽轉(zhuǎn)矩最小為0.038 9N·m。由圖9(b)可知，隨著槽開口寬度的增大，電磁轉(zhuǎn)矩均值由6.588 6逐漸降低至5.149N·m，降幅為21.85%。

通常情況下，電樞槽的槽口寬度都相同，根據(jù)圖9定子槽開口寬度對(duì)電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩和電磁轉(zhuǎn)矩的影響情況，提出一種不等槽開口配合的解析模型，以圖削弱齒槽轉(zhuǎn)矩和電磁轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)，其電樞槽型示意圖見圖10。相距兩個(gè)齒距的兩槽的槽口寬度相等，而相鄰兩槽的槽口寬度不等，滿足:

圖9 定子槽開口寬度對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩和電磁轉(zhuǎn)矩的影響

圖10 不等槽開口配合示意圖

分別利用 3 種不等槽開口(4°與 18°，4°與 19°，4°與20°)與等槽開口的電機(jī)進(jìn)行對(duì)比，研究不等槽開口寬度配合對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩和電磁轉(zhuǎn)矩的影響，結(jié)果如圖11所示。由圖11(a)可知，對(duì)比等槽口結(jié)構(gòu)，隨著不等槽開口寬度從18°增大至20°時(shí)，齒槽轉(zhuǎn)矩峰值減小，分別為 0.379 8，0.328 2，0.271 1和0.223 2N·m，說明此方法可有效減小齒槽轉(zhuǎn)矩峰值。由圖11(b)可知，隨著不等槽開口寬度的增大，電磁轉(zhuǎn)矩減小。電磁轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)分別為0.734 5，0.364 9，0.379 5和0.389N·m。因此采用不等槽口寬度配合還可降低電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)，但電磁轉(zhuǎn)矩也相對(duì)減小。

圖11 不等槽開口寬度對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩和電磁轉(zhuǎn)矩的影響

綜上所述，改變電機(jī)尺寸和參數(shù)，采用不等槽開口寬度配合可有效減小齒槽轉(zhuǎn)矩，但同時(shí)也會(huì)減小電磁轉(zhuǎn)矩。在電機(jī)設(shè)計(jì)過程中，應(yīng)該綜合考慮電機(jī)電氣性能、沖模制造、定子機(jī)械強(qiáng)度和下線工藝等因素，合理確定電機(jī)尺寸和參數(shù)。

6 結(jié)論

基于傅里葉級(jí)數(shù)法將開有輔助槽的表貼式永磁電機(jī)求解域劃分為5個(gè)不同子域，利用邊界條件求解各子域通解表達(dá)式，計(jì)算了電機(jī)空載和負(fù)載特性，并通過有限元計(jì)算驗(yàn)證了解析模型的準(zhǔn)確性。

研究電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩和電磁轉(zhuǎn)矩隨極弧系數(shù)、輔助槽尺寸、定子槽開口寬度的變化規(guī)律，結(jié)果表明:通過合理選取設(shè)計(jì)變量可有效降低齒槽轉(zhuǎn)矩，且保持較好的電磁轉(zhuǎn)矩特性。此外，研究發(fā)現(xiàn)，不等槽開口寬配合方式可有效減小齒槽轉(zhuǎn)矩峰值和電磁轉(zhuǎn)矩的脈動(dòng)。

本研究將定轉(zhuǎn)子硅鋼片假設(shè)為理想材料，即定轉(zhuǎn)子鐵心的磁導(dǎo)率為無窮大，今后將進(jìn)一步研究鐵磁材料特性對(duì)電機(jī)性能的影響。